安徽省和縣第二中學(xué)

傅香平　　(郵編：238200)安徽省和縣第三中學(xué)　　范世祥　　(郵編：238200)

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教學(xué)參考

研磨教學(xué)設(shè)計(jì)光大課堂生成

——“充分條件與必要條件”的教學(xué)實(shí)踐與反思

安徽省和縣第二中學(xué)

傅香平(郵編：238200)安徽省和縣第三中學(xué)范世祥(郵編：238200)

新課改以來，概念教學(xué)的重要性日益提高，但一提到概念教學(xué)，很多教師就覺得難教，往往就走走過場(chǎng)，“給出定義，解釋說明，幾點(diǎn)注意，大量練習(xí)”.李邦河院士說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”概念是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)源地，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該確立概念教學(xué)的核心地位，概念教學(xué)需要讓學(xué)生經(jīng)歷如下環(huán)節(jié)：概念的引入—概念的形成—概念的明確—概念的表示—概念的鞏固與應(yīng)用.筆者據(jù)此理念設(shè)計(jì)本課例如下.

1　內(nèi)容解讀與目標(biāo)指向

本節(jié)課是人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第一章“常用邏輯用語”第二節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，屬于概念課．通過實(shí)例，講述充分條件、必要條件的有關(guān)概念，它們是研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的重要工具，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一.

本節(jié)課的內(nèi)容屬于“常用邏輯用語”系列概念之一，讓學(xué)生體會(huì)使用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性.在本節(jié)內(nèi)容前，教材安排了“命題及其關(guān)系”作為必要的知識(shí)鋪墊.本節(jié)課是第一課時(shí)，集中精力突破充分條件和必要條件這兩個(gè)概念，以及如何通過集合思想方法來判斷，因?yàn)榻鉀Q了這兩個(gè)重要的概念，就可以比較容易理解后面的充要條件的概念，故本節(jié)課不涉及充要條件和既不充分也不必要條件，這也是教材設(shè)計(jì)者的用意之一.

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容解析和學(xué)生學(xué)情分析制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)如下.本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生初步理解充分條件、必要條件的概念，掌握幾種基本類型的判定方法，熟練利用“?”解決具體問題；從實(shí)例探究中感知概念；從原命題及逆否命題的對(duì)比分析中形成概念；從發(fā)散練習(xí)題的構(gòu)造中理解概念；從集合的角度深化概念；提高數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用能力和邏輯推斷能力；在對(duì)命題的條件與結(jié)論間邏輯關(guān)系的探究中培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受“在生活中數(shù)學(xué)地思維”，增加對(duì)學(xué)習(xí)邏輯知識(shí)的興趣和信心，提升閱讀理解能力、邏輯推理能力和歸納總結(jié)的能力.教學(xué)重點(diǎn)為充分條件、必要條件概念的理解和判斷.教學(xué)難點(diǎn)為充分條件、必要條件概念的生成，特別是對(duì)必要條件概念的理解.

2　設(shè)計(jì)理念與教學(xué)策略

針對(duì)上述情況，在課堂教學(xué)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探究，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，思想方法的滲透與應(yīng)用，以達(dá)到加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.先從實(shí)際問題引出概念，再詳細(xì)討論概念，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念中的關(guān)鍵詞，最后應(yīng)用概念解決問題.為了突破此難點(diǎn)，先引導(dǎo)學(xué)生分清什么是充分條件和必要條件，立足點(diǎn)放在概念上，同時(shí)注意一些常見命題的正確性判斷.

由于這節(jié)課概念性、理論性較強(qiáng)，內(nèi)容相對(duì)比較抽象，學(xué)生較難理解和掌握，一般的教學(xué)方式容易使學(xué)生感到枯燥乏味.為此，采用探究式教學(xué)法，通過師生互動(dòng)來實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).對(duì)學(xué)生的要求，不可追求一步到位，要有一個(gè)隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步提高、完善的過程.由于這是充分條件與必要條件的概念課，文字信息量較普通的數(shù)學(xué)課要大得多，因此用軟件自制課件，以簡(jiǎn)化教師板書工作，增加課堂教學(xué)的信息容量，保證學(xué)生的活動(dòng)空間和思維空間，努力提高單位教學(xué)效益.

3　教學(xué)環(huán)節(jié)與設(shè)計(jì)意圖

3.1創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)入

前不久新聞媒體有幾則類似于“我爸是我爸”的新聞報(bào)道，其實(shí)，有關(guān)部門要求出示相關(guān)的證明材料那也是“必須的”，而公安部門卻說，做下DNA親子鑒定不就充分保證了嘛！今天這節(jié)課，我們來共同學(xué)習(xí)“充分條件與必要條件”.

今天的課，首先我們從一個(gè)具體問題開始說起：

問題1“若小明是蕪湖人，則小明是安徽人”作為原命題，請(qǐng)同學(xué)們思考并說出它的逆命題，否命題以及逆否命題，并判斷真假.

教師在黑板上書寫兩個(gè)真命題：

①若小明是蕪湖人，則小明是安徽人；

②若小明不是安徽人，則小明不是蕪湖人.

設(shè)計(jì)意圖一段開場(chǎng)白，引發(fā)學(xué)生興趣，緩解學(xué)生緊張的氣氛，進(jìn)而引出本節(jié)課的課題.接著從一個(gè)簡(jiǎn)單的問題出發(fā)，調(diào)動(dòng)學(xué)生上一節(jié)課的四種命題知識(shí)來分析，學(xué)生很輕松地融入課堂之中，為接下來的概念生成作好鋪墊.

3.2實(shí)例探究，生成概念

(1)探究一：“充分條件概念的生成”

同學(xué)們，我們知道一句話的意思可以有多種表達(dá)方式，首先我們來看原命題有哪些表達(dá)的方式呢？

為了研究的方便，我們不妨記作，p：小明是蕪湖人；q：小明是安徽人.

現(xiàn)在我們來看原命題：若小明是蕪湖人，則小明是安徽人；

原命題“若p,則q”為真命題.表達(dá)1如果p,那么q;只要p,就有q;由p通過推理可以得出q.符號(hào)表達(dá)p?q表達(dá)2只要有p就能充分地保證q的成立.簡(jiǎn)潔地說,p是q的充分條件.

這樣我們就可以說：“小明是蕪湖人”是“小明是安徽人”的充分條件.

即時(shí)鞏固：判斷下列命題，p是q的充分條件嗎？

pq(1)x=1x2-4x+3=0(2)f(x)=xf(x)在R上為增函數(shù)(3)x為無理數(shù)x2為無理數(shù)

此例題的功能有：

①追問(1)中x=1改為x=3，還是充分條件嗎？借此說明充分條件不一定唯一；

②判斷p是q的充分條件，關(guān)鍵是判斷p?q能否成立，命題正確要給出論證，錯(cuò)誤要舉出反例；

③借助(3)的p?/q，學(xué)生自然表達(dá)出：p不是q的充分條件.

(2)探究二：“必要條件概念的生成”

接下來我們?cè)賮硌芯克哪娣衩}：若小明不是安徽人，則小明不是蕪湖人；

原命題“若p,則q”為真命題逆否命題“若?q,則?p”是真命題表達(dá)1如果沒有q,那么就沒有p.符號(hào)表達(dá)?q??p表達(dá)2q是p成立必須要有的條件,簡(jiǎn)潔地說,q是p的必要條件.

這樣我們又可以說：“小明是安徽人”是“小明是蕪湖人”的必要條件.

即時(shí)鞏固：判斷下列命題，q是p的必要條件嗎？

pq(1)x=yx2=y2(2)兩個(gè)三角形全等這兩個(gè)三角形的面積相等(3)a>bac>bc

此例題的功能有：

①追問(1)中x2=y2改為x3=y3，還是必要條件嗎？借此說明必要條件不一定唯一；

②判斷q是p的必要條件，關(guān)鍵是判斷p?q能否成立，命題正確要給出論證，錯(cuò)誤要舉出反例；

③借助(3)的p?/q，學(xué)生自然表達(dá)出：q不是p的必要條件.

3.3明確概念，即時(shí)鞏固

(1)明確概念

我們知道，數(shù)學(xué)有自己的符號(hào)體系和表達(dá)方式，它使人們能方便、簡(jiǎn)捷地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和成果.今天這堂課，我們又使我們的符號(hào)體系和表達(dá)方式增添了新成員.對(duì)于兩個(gè)語句“p，q”而言，如果有p?q，我們有以下兩個(gè)表述方式：

符號(hào)表達(dá)邏輯表達(dá)p?qp是q的充分條件q是p的必要條件

一個(gè)意思的兩種表達(dá)，就如：一對(duì)父子，甲是父親，乙是兒子，我們可以說，甲是乙的父親，也可以說，乙是甲的兒子.

(2)即時(shí)鞏固

練習(xí)1(請(qǐng)學(xué)生用“充分”或“必要”口答)：

①已知A?B，我們可以說，A是B的__________條件；

②已知D?C，我們可以說，D是C的__________條件.

練習(xí)2

①若A是B的必要條件，如何用“?”符號(hào)來連接A、B；

②若F的必要條件是E，如何用“?”符號(hào)來連接E、F.

設(shè)計(jì)意圖變換敘述形式，也是防止學(xué)生死記硬背、克服形式主義教學(xué)的重要措施，是檢測(cè)學(xué)生理解程度的手段，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)形式的多樣性.

3.4概念應(yīng)用，深化理解

(1)p是q的充分條件嗎？

(2)p是q的必要條件嗎？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究問題的解決.按照波利亞的解題四步驟：弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)施計(jì)劃、回顧反思，帶領(lǐng)學(xué)生一起分析問題、解決問題，最后讓學(xué)生自主總結(jié)歸納：如何判定p是q的什么條件？論證和舉反例都由學(xué)生來完成.

例2(2013年上海高考題)錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的______條件. (用“充分”與“必要”填空)

設(shè)計(jì)意圖給學(xué)生提供活動(dòng)的時(shí)(思維時(shí)間)空(思維空間)，讓主體主動(dòng)構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，通過分組交流、思辨，幫助學(xué)生深化理解并運(yùn)用定義，同時(shí)讓學(xué)生在這一過程中獲得成功的喜悅.具體實(shí)施步驟是：學(xué)生先行，交流在中，歸納在后.這里的例2的意圖是讓學(xué)生體會(huì)可以先利用逆否等價(jià)來判定.

例3寫出x>3的一個(gè)充分條件：__________.

設(shè)計(jì)意圖例3設(shè)置了一個(gè)開放型題目，而且換了一種句式，增加了題目難度，同時(shí)能培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度和對(duì)問題本質(zhì)的理解. 因?yàn)閷W(xué)生發(fā)現(xiàn)答案的不唯一，而且學(xué)生自然發(fā)現(xiàn)集合間的關(guān)系，此處自然引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度進(jìn)行分析，借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行直觀詮釋與理解，拓寬了對(duì)概念的理解途徑.

之后，問題可變式為x>3的一個(gè)必要條件是__________.

例4請(qǐng)同學(xué)們舉例說明，說出充分條件與必要條件.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生舉例，是檢測(cè)、反饋學(xué)生理解概念程度的重要手段.在對(duì)概念學(xué)習(xí)后，教師不僅要進(jìn)行一般性的解釋，而且也應(yīng)讓學(xué)生自己舉出例子來.這樣，從概念的形成到明確概念，再到舉出實(shí)例形成一個(gè)完整的概念認(rèn)知過程.此外，會(huì)正確敘述定義，并會(huì)舉出符合定義的實(shí)例，這兩者的結(jié)合是防止學(xué)生死記硬背、克服形式主義教學(xué)的有效措施.

3.5互動(dòng)回顧，深化認(rèn)識(shí)

至此，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶整個(gè)課堂教學(xué)過程，與學(xué)生共同從以下三個(gè)方面進(jìn)行課堂小結(jié).

(1)歸納本課內(nèi)容：學(xué)習(xí)充分條件和必要條件的定義，并學(xué)會(huì)判斷充分條件和必要條件的方法；

(2)提煉思想方法：充分條件和必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系問題，并利用了互為逆否命題的命題真值相同進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想；

總結(jié)知識(shí)和方法，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生總結(jié)提煉重點(diǎn)的能力，通過學(xué)習(xí)提高推理的準(zhǔn)確性、嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

設(shè)計(jì)意圖回避了教師“走過場(chǎng)”式的小結(jié)，還學(xué)生以學(xué)習(xí)主體的地位，讓他們自己談體會(huì)、談收獲、談疑惑.一方面，帶領(lǐng)學(xué)生回憶整節(jié)課的內(nèi)容以加深印象，融合知識(shí)，深化理解，另一方面，檢驗(yàn)一下教學(xué)效果，為今后的教學(xué)安排提供依據(jù).

3.6布置作業(yè)，拓展延伸

(1)書面作業(yè)：教材第10頁練習(xí)第2、3、4題；

(2)拓展類作業(yè)：

設(shè)計(jì)意圖通過一個(gè)與本節(jié)課相關(guān)的延伸問題，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)課后自主探究的平臺(tái)，使學(xué)生能更全面、深入地理解有關(guān)充分條件與必要條件的概念，最終我們是追求完美的充要條件，指出求參數(shù)的取值范圍都是指充要條件，既無不法分子，也無漏網(wǎng)之魚，也為后續(xù)深入研究和問題解決做好鋪墊.

4　思考與感悟

4.1理解數(shù)學(xué)

正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會(huì)公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)，無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自己的思維.本節(jié)課的充分條件與必要條件就是命題“條件”與“結(jié)論”邏輯關(guān)系的一種表述，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用邏輯用語表述數(shù)學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)潔性.

人教A版的主編寄語中寫道：“數(shù)學(xué)概念的起源和發(fā)展都是自然的.”這節(jié)課采用簡(jiǎn)潔的引入，借助生活中的實(shí)例，蕪湖人與安徽人的邏輯關(guān)系來導(dǎo)入新課，簡(jiǎn)潔自然，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)(四種命題)設(shè)置問題，學(xué)生很輕松地融入課堂之中，為接下來的概念生成作好鋪墊.值得一提的是，筆者并沒有按照教材的順序同時(shí)給出充分條件和必要條件的定義，而是引導(dǎo)學(xué)生從日常生活中的“充分”和“必要”性出發(fā)，對(duì)新知有所了解.結(jié)合學(xué)生熟知的數(shù)學(xué)命題，發(fā)現(xiàn)、歸納新知識(shí)，同時(shí)在應(yīng)用新知的過程中，將所學(xué)的知識(shí)條理化，使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更趨合理.這樣講述筆者認(rèn)為會(huì)比教材中同時(shí)突兀給出充分條件和必要條件的概念，更自然，更容易使學(xué)生接受、理解，從而達(dá)到實(shí)效.這節(jié)課筆者打破常規(guī)，也對(duì)“用教材教而不是教教材”這句話有了更深的感悟.

本節(jié)課就是一種符號(hào)表達(dá)“p?q”以及兩個(gè)邏輯表達(dá)“充分條件”與“必要條件”，這些概念對(duì)于學(xué)生來說不是困難的事情，難點(diǎn)在于概念的理解，體會(huì)概念的本質(zhì)屬性，所以本節(jié)課沒有在推理上加大例題的難度，筆者認(rèn)為如果在p?q的過程中加大例題難度，勢(shì)必會(huì)沖淡了概念的主題.

4.2理解學(xué)生

“生動(dòng)”課堂的一種詮釋是生“動(dòng)”.一般意義的生動(dòng)課堂指教師講得生動(dòng)，但是在新課改形勢(shì)下，生動(dòng)課堂的內(nèi)涵還應(yīng)該覆蓋學(xué)生的表現(xiàn)，要看學(xué)生是否積極參與了課堂，即“生動(dòng)”課堂要求是生“動(dòng)”.

本節(jié)課中在探究部分和例題部分，幾乎都是由學(xué)生來完成的，三個(gè)例題的處理，都是遵循“學(xué)生先行，交流在中，歸納在后”的教學(xué)流程，尤其是學(xué)生歸納小結(jié)環(huán)節(jié)，有了更多學(xué)生的感悟融入其中.真正做到了教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，把課堂留給了學(xué)生，這種“生”動(dòng)不僅體現(xiàn)了學(xué)生的“說和做”，還體現(xiàn)了學(xué)生的“思和想”.在學(xué)生積極參與的情況下，課堂氣氛相當(dāng)活躍，這也盡可能抓住了更多學(xué)生的注意力，從而提高了課堂效率.

學(xué)生對(duì)于充分條件和必要條件的理解，需要經(jīng)過一定時(shí)間的體會(huì)，先給學(xué)生對(duì)于充分條件和必要條件一個(gè)準(zhǔn)確規(guī)范的表述，及對(duì)充分條件和必要條件進(jìn)行判斷的方法及步驟，教學(xué)中不要急于求成，而應(yīng)在后續(xù)的教學(xué)中經(jīng)常借助這些概念表述、闡述和分析數(shù)學(xué)問題.

4.3理解教學(xué)

由于這節(jié)課概念性、理論性較強(qiáng)，一般的教學(xué)方式會(huì)使學(xué)生感到枯燥乏味，為此，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是關(guān)鍵.教學(xué)中始終要注意以學(xué)生為主，讓學(xué)生在自我思考、相互交流中去總結(jié)概念、“下定義”，去體會(huì)概念的本質(zhì)屬性.

概念教學(xué)貴在“自圓其說”. “自圓其說”不是胡編亂造，更不是歪曲事實(shí).為了能夠“自圓其說”，可以探索數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，可以探索數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，可以探索數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系.這節(jié)課的概念講述就輔以了具體的現(xiàn)實(shí)問題，如“蕪湖人和安徽人”的關(guān)系，這些簡(jiǎn)單易懂的生活實(shí)例可以幫助理解概念.

總之，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.教師一定要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，注重概念的形成過程，保證數(shù)學(xué)概念教學(xué)的質(zhì)量，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.目前高中階段多數(shù)判定充分與必要條件的試題，表達(dá)這兩個(gè)概念并不困難，難點(diǎn)設(shè)置在推理上.于是多數(shù)教學(xué)忽視了概念的形成過程，而將重點(diǎn)放在了應(yīng)用或推理方法上，這難免使概念教學(xué)出現(xiàn)一定偏差.所以，我們的教學(xué)應(yīng)該更加關(guān)注概念的形成過程，關(guān)注邏輯關(guān)系的表達(dá)，提高學(xué)生的邏輯用語素養(yǎng)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).使我們的教學(xué)“發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益”.

2016-02-16)