華中科技大學(xué)附屬中學(xué)

馬　俊　　李青林　　(郵編：430074)

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誤讀教材成“規(guī)范”實(shí)際應(yīng)用無定則

華中科技大學(xué)附屬中學(xué)

馬俊李青林(郵編：430074)

在湖北省高考數(shù)學(xué)回歸全國(guó)卷的趨勢(shì)下，對(duì)全國(guó)卷的研究是必不可少的，而學(xué)生在面對(duì)全國(guó)卷的一道應(yīng)用題時(shí)出現(xiàn)了爭(zhēng)議，題目如下：

題目某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式.

(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

(ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由.

對(duì)于(ii)中問題，參考答案是計(jì)算出花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花當(dāng)天的利潤(rùn)期望E(x1)=76，而購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花當(dāng)天的利潤(rùn)期望E(x2)=76.4，由于E(x2)>E(x1)，所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，通過比較兩種情況當(dāng)天的利潤(rùn)期望，利潤(rùn)期望越高越好.

但有學(xué)生同時(shí)還比較了兩種情況的方差，在計(jì)算了購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花當(dāng)天的利潤(rùn)方差為D(x1)=44，而購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花當(dāng)天的利潤(rùn)方差D(x2)=112.04.學(xué)生提出了自己的想法，購(gòu)進(jìn)16枝更好，因?yàn)樵趦煞N情況下期望幾乎沒有區(qū)別，而D(x1)比D(x2)要小很多，說明獲得利潤(rùn)更加穩(wěn)定.

筆者認(rèn)為這兩種說法都是具有各自道理的，每個(gè)人所站的角度不一樣,所以選擇的方案顯然是有區(qū)別的.此外筆者在不少的教輔資料和試卷中發(fā)現(xiàn)了這類問題的一個(gè)“規(guī)范”解答流程：先比較期望，如果期望不同就能得出結(jié)果；如果期望相同再進(jìn)一步比較方差得出結(jié)果.若是生活中的問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)能夠如此“規(guī)范”地得出方案，想必決策這類的事情交給電腦便是再好不過了.而這種“規(guī)范”的模式是否有源可尋呢，筆者選擇回歸課本探求本源.

1　誤讀教材成“規(guī)范”

1.1比較期望型

教材中有道例題如下：根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一個(gè)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案；

方案1運(yùn)走設(shè)備，幫運(yùn)費(fèi)為3800元.

方案2建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水.

方案3不采取措施.

試比較哪一種方案好.

解用X1，X2，X3分別表示方案1，2，3的損失.

E(X1)=3800，E(X2)=2600，E(X3)=3100.

采取方案2的平均損失最小，因此可以選擇方案2.

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出來的.一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”；如果問題中的氣象情況多次發(fā)生，采用方案2將會(huì)使損失減小到最小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，因此對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案也不一定是最好的.

以上是教材上通過比較期望后對(duì)這個(gè)問題作出的解答，此時(shí)計(jì)算出來的期望不相同，從而直接通過期望的比較來選擇了方案，并沒有對(duì)方差進(jìn)行運(yùn)算.但是最后一段話卻值得我們思考，通過統(tǒng)計(jì)出來的結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測(cè)，得出的結(jié)果僅僅只是一個(gè)參考，而方案的確定仍然需要結(jié)合實(shí)際情況.

1.2期望相同比較方差型

教材中還有一道有關(guān)選手選拔類型的例題，如下：要從兩名同學(xué)中挑出一名，代表班級(jí)參加射擊比賽，根據(jù)以往的成績(jī)記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為

X15678910P0.030.090.200.310.270.10

第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為

X256789P0.010.050.200.410.33

解E(X1)=8，E(X2)=8，D(X1)=1.50，D(X2)=0.82.

因此，第一名同學(xué)的射擊成績(jī)穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊成績(jī)穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右.

思考如果其他班級(jí)參加選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右，本班應(yīng)該派哪一名選手參加，如果其他班級(jí)參加選手的射擊成績(jī)都在7環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？

以上是教材對(duì)于這道例題的解答，在期望相同的情況下，計(jì)算了方差，并通過比較方差說明了兩位同學(xué)的穩(wěn)定性，但是教材中并沒有由此得出哪位同學(xué)成績(jī)更好，更適合參加比賽.而是提出了一個(gè)思考——在不同層次的比賽中對(duì)選手的選擇.如果在參加選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右的情況下，此時(shí)就有了是追求選手穩(wěn)定性還是追求高分的一個(gè)博弈了，此時(shí)選擇第一名同學(xué)更易出高分，得到名次的可能性更大；而在參加選手的射擊成績(jī)都在7環(huán)左右時(shí)，選擇第二名同學(xué)穩(wěn)定性更高，更不容易失誤.這些選擇在體育競(jìng)技中是非常常見，根據(jù)場(chǎng)上的情況調(diào)整運(yùn)動(dòng)員的完成難度和運(yùn)動(dòng)員的上場(chǎng)時(shí)間等.

教材中還有道有關(guān)就業(yè)選擇的例題：有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：

甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1

乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P0.40.30.20.1

解E(X1)=1400，E(X2)=1400，D(X1)=4000，D(X2)=160000.

因?yàn)?E(X1)=E(X2)，D(X1)

以上同樣是教材對(duì)這道例題的解答，同樣在期望相同的情況下比較了方差，但是同樣沒有說明選擇哪個(gè)單位更好？而是站在求職者對(duì)于工作的期望的角度給出了不同的建議.

分析教材中的三個(gè)例子，似乎驗(yàn)證了“規(guī)范”的解答：期望不同時(shí)，分析比較期望即可，不研究方差；只有在期望相同時(shí)，再進(jìn)一步比較方差.但是細(xì)細(xì)體會(huì)不難發(fā)現(xiàn)，期望和方差所代表的含義是不相同的，是通過兩種不同的角度來衡量一組數(shù)據(jù).其次，期望和方差兩者之間也沒有必然聯(lián)系，因此，所謂的“規(guī)范”解答顯然十分牽強(qiáng).通過對(duì)教材的分析，不難體會(huì)到教材的例題設(shè)置是為了逐步加深學(xué)生對(duì)期望和方差概念的理解，以及在實(shí)際應(yīng)用中通過期望和方差對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解讀，并且主張?jiān)趯?shí)際中多角度來思考問題.可是不少教輔資料誤將課本中例題解答的“巧合”視作了“規(guī)范”——先比較期望，期望相同時(shí)方差小的優(yōu)先，卻忽視了教材中對(duì)每個(gè)模型的分析.我們要知道實(shí)際中問題解決的主體是人，而每個(gè)人的特異性決定了一件事完成的最優(yōu)解是相對(duì)的.因此，在面對(duì)數(shù)學(xué)模型所計(jì)算出的結(jié)果時(shí)，要知道數(shù)據(jù)是死的，而人是活的，數(shù)學(xué)的應(yīng)用永遠(yuǎn)不能脫離實(shí)際而強(qiáng)調(diào)所謂的“規(guī)范”.

2　實(shí)際應(yīng)用無定則

下面有個(gè)例題能讓我們對(duì)此有一個(gè)更深的理解，這是一道取自香港數(shù)學(xué)教科書中的一道例題，名字叫做“公說公有理，婆說婆有理”，這道例題在當(dāng)時(shí)教育界產(chǎn)生了非凡的影響.無論是教師還是教育家，都不知道如何完美地回答這個(gè)問題.下面是這個(gè)例題的詳細(xì)信息.

題目某企業(yè)有5個(gè)股東，100名工人，年底公布經(jīng)營(yíng)業(yè)績(jī)，如表1所示：

表1

圖1是老板所畫，“有福同享有難同當(dāng)，股東和工人收入平行增長(zhǎng)”.圖2是工會(huì)主席所畫，“股東股紅翻了一番，工人工資只增加了50%”.圖3是一工人所畫，“股東股紅從1萬(wàn)美元增至2萬(wàn)美元，工人工資從1000美元增至1500美元，工資太低了”.同樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，通過不同的圖象給我們展示了在不同視角下對(duì)于同一數(shù)據(jù)的解讀是不同的.在實(shí)際生活中我們經(jīng)常能見到這類情況，相同的事件卻有多種觀點(diǎn)，正如“一千個(gè)讀者，就有一千個(gè)哈姆雷特”，其中并沒有所謂的對(duì)錯(cuò)之分.

數(shù)學(xué)源于生活，而數(shù)學(xué)的價(jià)值更是在于回歸生活.數(shù)學(xué)作為一門應(yīng)用性極強(qiáng)的學(xué)科，其產(chǎn)生與發(fā)展都是與解決問題密不可分的，但是在實(shí)際教學(xué)中往往將應(yīng)用問題也變得教條化了.這與我國(guó)教學(xué)歷史是有息息相關(guān)的聯(lián)系的，我國(guó)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)課程是前蘇聯(lián)的單一的“邏輯演繹推理”形式的教學(xué)課程，課程體系的邏輯性、系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性成了課程設(shè)置和教材編排的首要原則，如今，這種現(xiàn)象仍然存在，導(dǎo)致了學(xué)生偏

離實(shí)際情景而單純地從邏輯思維出發(fā)解決問題.

數(shù)學(xué)是用來解決實(shí)際問題的，其實(shí)數(shù)學(xué)問題就產(chǎn)生于生活中.陶行知先生曾說過：“教育可以是書本的，與生活隔絕的，其力量極小.拿全部生活去做教育對(duì)象，然后教育的力量才能偉大”.數(shù)學(xué)課程改革的綱領(lǐng)性文件《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，明確提出學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)必須是“有價(jià)值的”“必需的”，而且通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，“使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展”.數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗萊登爾主張“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，教學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，而不是拿著數(shù)學(xué)過程去按部就班的解決實(shí)際問題.因此在解決實(shí)際問題更應(yīng)注重其實(shí)際意義，若是糾結(jié)于所謂的“規(guī)范”而限制了思維，難免會(huì)變成舍本逐末.

3　疑問與思考

筆者在與學(xué)生交流中對(duì)于一個(gè)方差的比較產(chǎn)生了疑問，方差代表的是數(shù)據(jù)的離散程度，反映的是穩(wěn)定程度，那么方差之間的比較在實(shí)際中的差別如何衡量.如玫瑰花題中的D(x1)=44比D(x2)=112.04要小，但是差距到底有多大？如何判斷？是否有一個(gè)如同獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式和標(biāo)準(zhǔn)來衡量？歡迎廣大同仁指點(diǎn)！

2016-06-04)