湖北省陽新縣高級中學

鄒生書　　(郵編：435200)

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初數(shù)研究

圓錐曲線相交切線性質(zhì)再探

湖北省陽新縣高級中學

鄒生書(郵編：435200)

2016年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽湖北省預賽已落下帷幕，高二年級第13題也就是最后一道題，是一道拋物線雙切線性質(zhì)的證明題，筆者感覺似曾相識卻又有幾分陌生，題目與解答如下：

性質(zhì)1過拋物線y2=2px(p>0)外一點P向拋物線作兩條切線，切點為M、N、F為拋物線的焦點，則(1)FP2=FM·FN；(2)∠PFM=∠PFN；(3)∠PMF=∠FPN，∠PNF=∠FPM.

類比、推廣、特殊化、化歸等是數(shù)學思考的常用邏輯方法，是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而探索問題和解答問題的重要途徑.這是筆者曾在文中所研究過的問題，下面通過特殊化、類比和歸納等思維方法對圓錐曲線兩相交切線的性質(zhì)進行再探討.

對于性質(zhì)1中拋物線雙切線的優(yōu)美性質(zhì)，在橢圓和雙曲線中是否仍然有類似的性質(zhì)呢？

于是橢圓的兩條相交切線有如下性質(zhì)：

對于雙曲線的兩條相交切線通過探究我們有如下性質(zhì)：

對于雙曲線，只需將橢圓探究過程中b2換成-b2即可.與橢圓一樣，F(xiàn)P2=FM·FN，∠PMF=∠FPN，∠PNF=∠FPM都不恒成立.

故當點M、N在雙曲線的同一支時，cos∠PFM=cos∠PFN， ∠PFM=∠PFN；當點M、N分別在雙曲線的兩支時，cos∠PFM=-cos∠PFN，∠PFM+∠PFN=180°.

評注對于性質(zhì)3中的兩個角∠PFM,∠PFN，筆者在文中只有相等這個結(jié)論，高慧明老師在文中指出了這兩個角還有互補的情形，并在文中用雙曲線的光學性質(zhì)和平面幾何知識給出了證明.

綜合歸納拋物線、橢圓和雙曲線的以上性質(zhì)，可得圓錐曲線相交切線有如下統(tǒng)一性質(zhì)：

性質(zhì)4設(shè)點F是圓錐曲線C的焦點，若過點P的直線PM、PN分別與曲線C相切于M、N兩點(當曲線C為雙曲線時，點M、N在同一支上)，則∠PFM=∠PFN.

1鄒生書.圓錐曲線切線的一個優(yōu)美性質(zhì),數(shù)學通訊(下半月),2009(1)

2高慧明.圓錐曲線的優(yōu)美性質(zhì)再思考，中小學數(shù)學高中版，2009(7—8)

3鄒生書.圓錐曲線互相垂直切線交點的軌跡,中學數(shù)學研究(南昌),2011(4)

2016-05-26)