安徽省合肥市第六中學(xué)

黃海波　　(郵編：230001)

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一道2015年安徽高考題的背景分析與深入探究

安徽省合肥市第六中學(xué)

黃海波(郵編：230001)

2015年安徽高考理科填空壓軸題第15題是：

設(shè)x3+ax+b=0，其中a、b均為實(shí)數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是______(寫出所有正確條件的編號(hào))．

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2；⑤a=1,b=2．

該題以實(shí)系數(shù)的三次方程為依托，考查利用導(dǎo)數(shù)研究(三次)函數(shù)性質(zhì)的一般方法，考查數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想，背景看似平凡但卻蘊(yùn)含深意，有其豐富的高等數(shù)學(xué)背景，下文將具體闡述．

本文首先給出該題的解答，并由解答出發(fā)，討論一般情形下的三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判別準(zhǔn)則以及三次函數(shù)零點(diǎn)的分布特征．

1　試題的解答

記f(x)=x3+ax+b，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，考慮f′(x)=3x2+a．

(i)當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，于是，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)增，故函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，于是，條件④、⑤均滿足題意．

2　實(shí)系數(shù)三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判別準(zhǔn)則

一般地，記f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)，則f′(x)=3ax2+2bx+c，其判別式△=4(b2-3ac)，當(dāng)△≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)；當(dāng)△ >0時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2(x1

我們有如下的：

證明當(dāng)△≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，函數(shù)在R上恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)△ >0時(shí)，分別如圖1(a>0)，圖2(a<0)所示，應(yīng)有兩個(gè)極值同號(hào)，f(x1)f(x2)>0.反之亦然，證畢．

證明當(dāng)△ >0時(shí)，函數(shù)f(x)的極值f(x1)≠f(x2)，當(dāng)其中一個(gè)為零時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(x1)f(x2)=0，分別如圖3(a>0)，圖4(a<0)所示．反之亦然，證畢．

證明當(dāng)△ >0時(shí)，若函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值f(x1)、f(x2)異號(hào)，即f(x1)f(x2)<0，分別如圖5(a>0)，圖6(a<0)所示．反之亦然，證畢．

3　試題的背景及實(shí)系數(shù)三次函數(shù)零點(diǎn)的分布特征

注意到我們目的是討論三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0)的零點(diǎn)，所以函數(shù)解析式可以簡化成f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)．

我們先給出下面的引理：

至此，我們看到，考題給出的三次方程x3+ax+b=0貌似不具備三次方程的一般形式．事實(shí)上，卻涵蓋了一般情形．從這里能看到命題人的良苦用心．

另一方面，由引理，我們也可以將所有三次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題簡化成研究函數(shù)g(x)=x3+mx+n(m,n∈R)的零點(diǎn)分布．

g′(x)=3x2+m．

① 當(dāng)m≥0時(shí)，g′(x)≥0恒成立，于是，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)增，故函數(shù)g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)．結(jié)合函數(shù)圖象容易看到：

(i)當(dāng)n>0時(shí)，函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)為負(fù)實(shí)數(shù)；

(ii)當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)為0；

(iii)當(dāng)n<0時(shí)，函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)為正實(shí)數(shù)；

結(jié)合圖象，如圖7所示，我們對(duì)極大值W和極小值w分類討論如下：

(i)當(dāng)n>0時(shí)，

若w<0，函數(shù)g(x)恰有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)和兩個(gè)正零點(diǎn)；

若w=0，函數(shù)g(x)恰有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)和一個(gè)正零點(diǎn)；

若w>0，函數(shù)g(x)恰有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)．

同理，我們有如下結(jié)論：

(ii)當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為零，還有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)和一個(gè)正零點(diǎn)．

(iii)當(dāng)n<0時(shí)，

若W<0，函數(shù)g(x)恰有一個(gè)正零點(diǎn)；

若W=0，函數(shù)g(x)恰有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)和一個(gè)正零點(diǎn)；

若W>0，函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)負(fù)零點(diǎn)和一個(gè)正零點(diǎn)．

這樣，我們完整地解決了一個(gè)三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判別及零點(diǎn)的分布問題．

1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析(上)(第四版).北京:高等教育出版社，2010

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