浙江省舟山市普陀區(qū)教育局教研室

俞　凱　　(郵編：316100)

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用好“三個一”講好一道題

浙江省舟山市普陀區(qū)教育局教研室

俞凱(郵編：316100)

題不在多而在精，對選定的每一個例題深入鉆研精益求精，站在系統(tǒng)的高度，時時注意尋找知識之間的聯系.一題多解，一題多變，又要多題歸一，從中尋求共性，總結思維規(guī)律，這才是解題教學的靈魂.

解題教學；一題多解；一題多變；多題歸一

在數學解題教學中，重視“以例及類”，關注基本思路的獲得以及解題經驗的運用，站在知識系統(tǒng)的角度看問題，力求“一題多解，一題多變，多題歸一”．善于用“普遍聯系”的觀點思考問題，啟發(fā)學生思維，從而達到融會貫通和觸類旁通的效果．

1　一題多解——發(fā)現與總結思維規(guī)律

一題多解的實質是解題或證題以不同的方式反映條件與結論之間的本質聯系，從不同的角度，不同的方位思考問題，探求不同的解答方案，從而達到拓寬思路，使思維向多方向發(fā)散，有利于理清各知識間的聯系．

本題作為選擇題的最后一題，“簡約”而不簡單，有難度，知識綜合性強，能力要求高；突出核心知識、思想和方法的考查．

1.1從“分解題目條件”出發(fā)，降低解題難度

解題是分化困難因素，分解討論，有時可先解決一部分的過程．

首先，從條件來看，如圖2，

(1)⊙P的圓心是(3，a)，半徑為3，故圓心P到y(tǒng)軸的距離PO等于半徑，⊙P與y軸相切；

(2)函數y=x的圖象與x軸、y軸的夾角都為45°，即∠DOB=45°

其次，從結果來看，求點P的縱坐標，即求OD的長．

1.2從“基本圖形”分解中,探索解題方向

在對題目的分析過程中，首先從幾何直觀出發(fā)回憶已經解決的問題，以期從中獲得啟發(fā).于是我們想到“基本圖形”，在基本圖形的分解中分析問題．

(1)向外補形——將問題轉化為直角三角形問題

(2)向內分割——將問題轉化為平行四邊形和直角三角形問題

解法2如圖4，過點P作PF∥OE，交y軸于點F，得Rt△PDF和直角梯形PEOF，再過點P作PG∥OD交OE于點G．則四邊形ODPE被分割為平行四邊形PFOG和Rt△PDF、Rt△PGE．解Rt△PDF、Rt△PGE即可．

(3)“割”、“補”結合——將問題轉化為矩形和直角三角形問題

解法3如圖5，過點 P作PC∥OD，交x軸、OE于點C、F，則四邊形OCPD為矩形，問題轉化為解Rt△PEF、Rt△OCF．

(4)“交軌法”

從點P到直線y=x的距離等于1出發(fā)，想到與y=x平行的兩條直線，求這個交點．

本題解法頗多，探究自然順暢.其實，利用“割”、“補”結合與交軌法最簡單，且有較高的教學價值．若將題目稍改變條件，就能挖掘出許多新的題目．

2　一題多變——尋求聯系與歸納共性

以原題為基本題型，適當改變條件，或提出另一形式的問題．從而得到既與原題相類似，又不失聯系的新問題，予以求解．這樣的變式教學，在數學教學中經常被我們所用．

2.1從“基本經驗”出發(fā)，尋找解題通性通法

我們又發(fā)現需要用到解決問題的“基本經驗”，最后回到原點，直指結論，需要“基本思想”進行轉化，提煉出“直觀后的理性分析”是解題的最佳策略．

分析解決動點問題的關鍵在哪里？構圖，有切點，連半徑，得垂直．從結果來看，求點P的縱坐標，即求OD的長，過點P作x軸的垂線段．又點P在雙曲線上，可轉化為在雙曲線上找一點到直線y=x的距離等于2．因此，利用“割”、“補”結合或交軌法，這兩種方法學生自然會想到的．

請學生自主完成第2問，因動點在雙曲線上，考慮問題要慎重(分類討論)．

2.2從“基本經驗”出發(fā)，尋求知識之間的聯系

若將雙曲線改為拋物線，則改為新的題目．

對變式2解法(略)，學生通過上題解答，積累了解題經驗，從而自然想到尋找解題的通法．歸結到變式1的解法上，或將四邊形轉化為特殊的平行四邊形和直角三角形來解，更多的是學生的直觀和經驗，這應該是學生最容易想到的．最容易想到的，也許最靠近最近發(fā)展區(qū)．而這一點，在解題教學中特別重要，它是解題教學的靈魂．

3　多題歸一——提煉共性與多題通解

在解題過程中，時時注意尋求知識之間的聯系，把同類的問題進行歸納整理，通過“多題歸一”(這里“歸一”指的是找到一類題目的本源)，提煉共性，尋找解題通法．更主要的還是提煉分析題目的策略，思考問題的方法(數學思想、思維方式)．

本題實質上就是：已知四邊形ODPE的兩邊長PD=3，PE=1，四個內角即∠D=∠E=90°，∠DOE=45°，∠DPE=135°，求第三邊OD的長．

例題及變式1、變式2的解答可歸結為：已知四邊形ODPE的兩邊和四角，求未知邊長．也就是說，此題的實質是解四邊形．解四邊形模型的建立，不僅為問題的解決提供了“模型”，而且有助于解法的探索，問題的解決和問題本質的揭示．變式1、變式2的改編和解答歸結到例題的解法，達到多題歸一的目的．可見，多題歸一可以讓學生知其解法，曉其變法，通其精髓，教會學生的不僅僅是會解一題，而是一類，達到“做一題、會一類、通一片”的教學效果．

綜上所述，從一題多解、一題多變到多題歸一，均有利于開闊學生解決問題的視野，發(fā)展學生的數學思維．但要強調的是，無論我們運用哪種解題教學模式，都不應只停留在解題或編題上．如果我們能引導學生進一步反思，一道題為何能多解？多題歸一背后的深層次結構是什么？這才是提升學生解題能力的關鍵所在，也是我們在解題教學中值得反思的問題！

2016-06-15)