安徽省淮南市第二中學(xué)

王　勇　　(郵編：232038)

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崇理求實(shí)創(chuàng)新

——《等差數(shù)列》情境引入的教學(xué)與反思

安徽省淮南市第二中學(xué)

王勇(郵編：232038)

等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要概念，而對(duì)等差數(shù)列概念的理解是學(xué)好等差數(shù)列的基礎(chǔ)．本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，從實(shí)際生活情境和函數(shù)的角度對(duì)等差數(shù)列的概念進(jìn)行引入，并對(duì)兩種方式做了深刻的反思，目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解等差數(shù)列概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．

等差數(shù)列；教學(xué)片段；反思

人民教育出版社章建躍博士指出，數(shù)學(xué)教育要著力于“三個(gè)理解” ：理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)．“理解數(shù)學(xué)”是立教之本，要從學(xué)科的角度整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)；“理解學(xué)生”就是要理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律；“理解教學(xué)”就是尋找適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的、具有“數(shù)學(xué)味”的方式傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)意識(shí)．在當(dāng)今信息社會(huì)里，教師能夠利用的教學(xué)資源比較豐富，教材對(duì)教學(xué)過(guò)程的體現(xiàn)也比較具體．但教學(xué)時(shí)間和學(xué)生的認(rèn)知能力是有限的，所以教師要有對(duì)教材進(jìn)行大膽取舍或改編的能力和勇氣，要不斷對(duì)教材進(jìn)行深鉆研，對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思、提煉，以期把復(fù)雜抽象的教學(xué)內(nèi)容以更為簡(jiǎn)明具體的形式呈現(xiàn)給學(xué)生．

關(guān)于《等差數(shù)列》的教學(xué)，在現(xiàn)行的教材中，雖然版本不同，但都是以生活片段為背景來(lái)引入等差數(shù)列概念的．這里以人教版為例：我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：

0,5，______，______，______，______，…

2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目．該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別，其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列(單位：kg)：

48,53,58,63

水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類(lèi)有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫(kù)的辦法清理水庫(kù)中的雜魚(yú)．如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18m，自然放水每天水位降低2．5m，最低降至5m．那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列(單位：m):

18,15．5,13,10．5,8, 5．5

我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息計(jì)入本金計(jì)算下一期的利息．按照單利計(jì)算本利和的公式是：

本利和=本金×(1+利率×存期)．

例如，按活期存入10000元錢(qián)，年利率是0.72%，那么按照單利，各年末的本利和(單位：元)組成了數(shù)列：

10072,10144,10216,10288,10360．

筆者在本節(jié)的引入時(shí)也是采用了人教版的引入方式(筆者所在的地區(qū)采用的是人教版教材)．下面呈現(xiàn)教學(xué)片斷：

通過(guò)大屏幕展示教材中的四個(gè)生活情境，在黑板上抽象出以下四個(gè)數(shù)列：

①0，5，10，15，20，…

②48,53,58,63

③18,15．5,13,10．5,8,5．5

④10072,10144,10216,10288,10360．

請(qǐng)學(xué)生觀察上述數(shù)列的特點(diǎn)，由于筆者沒(méi)有安排學(xué)生預(yù)習(xí)，也沒(méi)有板書(shū)課題，且③④兩個(gè)數(shù)列數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，約3分鐘后才有一名同學(xué)舉手說(shuō)：這四個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)．顯然，他的回答不是筆者預(yù)期的結(jié)果．只有讓他們進(jìn)一步觀察，約1分鐘后有一名成績(jī)優(yōu)異者遲疑地看著我說(shuō)：四個(gè)數(shù)列好像每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的差是定值，比如：第一個(gè)數(shù)列該定值是-5，第二個(gè)數(shù)列該定值是-5，第三個(gè)數(shù)列該定值是2.5，第四個(gè)數(shù)列該定值是-72．不得不說(shuō)他的觀察是很獨(dú)到的，也很深刻，但是沒(méi)有得到等差數(shù)列的概念．我擔(dān)心其他同學(xué)受其影響不再做思考，也考慮到課堂時(shí)間有限，不得不自己總結(jié)并得出等差數(shù)列的定義．

這節(jié)課的情境導(dǎo)入無(wú)疑是失敗的，至少是不成功的．教材在得出這幾個(gè)數(shù)列后讓學(xué)生觀察它們的共同特征，事實(shí)上這樣的問(wèn)題屬于無(wú)效提問(wèn)．因?yàn)檫@樣的提問(wèn)目的性和指向性并不夠明確，因此學(xué)生思維的著力點(diǎn)也就不明確，所以就會(huì)出現(xiàn)如第一個(gè)同學(xué)的回答結(jié)果，就會(huì)與我們的課堂預(yù)期相距甚遠(yuǎn)．如果直接改為請(qǐng)同學(xué)觀察上述數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，對(duì)于這樣的提問(wèn)學(xué)生在思維上就得不到任何訓(xùn)練．但這種做法也并不是一無(wú)是處，這樣的實(shí)例直接、感性，但是學(xué)生對(duì)概念的把握和理解還有待提高．受上述引入的影響，對(duì)《等差數(shù)列》這節(jié)課如何引入筆者進(jìn)行了思考．高二的學(xué)生，經(jīng)過(guò)一年的學(xué)習(xí)，對(duì)函數(shù)、方程思想體會(huì)深刻，他們的思維正屬于由經(jīng)驗(yàn)性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，數(shù)列是離散函數(shù)的典型代表，具備函數(shù)的很多性質(zhì)．由此，經(jīng)過(guò)深入思考，我換了一種引入方式，下面是教學(xué)片斷：

生1：常數(shù)數(shù)列．

生2：正比例數(shù)列．

生3：反比例數(shù)列．

生4：一次數(shù)列．

生5；指數(shù)數(shù)列．

這時(shí)我說(shuō)：那我們今天來(lái)研究所謂的“一次數(shù)列” ，“一次數(shù)列”的通項(xiàng)公式如何？

生6：an=kn+b.

師：很好！比如：an=2n-1，an=-3n+2，an=5n，an=-n+2，我們一起寫(xiě)出它們的前五項(xiàng)：

①1，3，5，7，9

②-1,-4,-7,-10,-13

③5,10,15,20,25

④1,0,-1,-2,-3

觀察上述數(shù)列的特點(diǎn)．

生7：每一項(xiàng)與后一項(xiàng)的差是定值．

生8：每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差也是定值，而且這個(gè)定值就是一次項(xiàng)系數(shù)．

師：兩位同學(xué)都觀察出這類(lèi)數(shù)列的特征，哪位同學(xué)觀察得更深刻呢？

生：第二位．

師：是的，第二位同學(xué)不僅找到了上述數(shù)列的規(guī)律，而且還把數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)．由于數(shù)列的首項(xiàng)沒(méi)有前一項(xiàng)，所以這類(lèi)數(shù)列的規(guī)律該如何表述？

……

上述引入雖然脫離了生活情境，但學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的本質(zhì)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，也能真正理解知識(shí)間的聯(lián)系．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn))》要求學(xué)生“崇尚數(shù)學(xué)理性精神” ,“養(yǎng)成求實(shí)、說(shuō)理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習(xí)慣和鍥而不舍的追求真理的精神” ．縱觀整個(gè)引入過(guò)程，“理”字為先：通過(guò)一次函數(shù)過(guò)渡到等差數(shù)列合“理” ，通過(guò)an=2n-1、an=-3n+2、an=5n、an=-n+2寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)通“理” ，通過(guò)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)到等差數(shù)列的公差講“理” ，通過(guò)類(lèi)比、歸納、總結(jié)得到等差數(shù)列的定義順“理” ．布魯納強(qiáng)調(diào)：知識(shí)的轉(zhuǎn)化是對(duì)新知識(shí)的進(jìn)一步分析和概括，使之轉(zhuǎn)化為另一種形式，以適應(yīng)新的任務(wù)．”教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，科學(xué)合理的設(shè)置教學(xué)情境．本引入不僅使學(xué)生對(duì)于上節(jié)函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系有了進(jìn)一步更為直觀的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)研究等比數(shù)列也有一定的借鑒意義．“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”絕不是一句空話，只有對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解了，對(duì)學(xué)生實(shí)際情況真實(shí)掌握了才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的真實(shí)課堂，才能使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，真正理解數(shù)學(xué)奧妙、欣賞數(shù)學(xué)，進(jìn)而積極主動(dòng)探索數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．所以，教師要勇于探索教育規(guī)律，對(duì)教材的結(jié)構(gòu)提出合理改革，創(chuàng)新教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生多方位、多角度思考問(wèn)題，使學(xué)生找到知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系與內(nèi)在規(guī)律．體會(huì)自然世界的奇妙，讓數(shù)學(xué)課堂為學(xué)生的終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)！

1章建躍．聚焦中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法課堂教學(xué)設(shè)計(jì)[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上半月)，2008(11)

2雷曉莉．新課引入的教學(xué)研究[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上半月)，2011(3)

3中華人民共和國(guó)教育部制定．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn))．北京：人民教育出版社，2003

2016-02-26)