程國云

二次函數(shù)y=a（x-m）2+n，x∈[t，s]求最值的問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一大難點(diǎn)，也是高考重點(diǎn)考查的問題之一。一般地，解決此類問題的基本思路：根據(jù)對稱軸相對定義域區(qū)間的位置，利用分類討論思想方法。為做到分類時(shí)不重不漏，可畫對稱軸相對于定義域區(qū)間的簡圖分類。

①表示對稱軸在區(qū)間[t，s]的左側(cè)，②表示對稱軸在區(qū)間[t，s]內(nèi)且靠近區(qū)間的左端點(diǎn)，③表示對稱軸在區(qū)間內(nèi)且靠近區(qū)間的右端點(diǎn)，④表示對稱軸在區(qū)間[t，s]的右側(cè)。然后根據(jù)口訣“開口向上，近則小、遠(yuǎn)則大”；“開口向下，近則大、遠(yuǎn)則小”即可快速求出最值。

含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問題大致分為三種題型，無論哪種題型都圍繞著對稱軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論。

題型一：“動(dòng)軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值

例1 已知函數(shù)g（x）=-x2+2tx-t+1在區(qū)間[0，1]上的最大值G（t）及最小值H（t）；求最大值G（t）及最小值H（t）的表達(dá)式。

解析：g（x）=-x2+2tx-t+1=-（x-t）2+（t2-t+1），

顯然g（x）的對稱軸為x=t，

由化簡后的表達(dá)式可知g（x）的圖像開口向下，函數(shù)在對稱軸處取得最高點(diǎn)，則x∈[0，1]。

①若t≤0，則函數(shù)g（x）在[0，1]上遞減，故有G（t）=-t+1；H（t）=t

②若t≥1，則函數(shù)g（x）在[0，1]上遞增，故有G（t）=t；H（t）=-t+1

③若t∈[0，1]，可知當(dāng)x=t時(shí)取最大值：G（t）=t2-t+1

上述為二次項(xiàng)系數(shù)小于0的情況，用同樣的方法還可以求二次項(xiàng)系數(shù)大于0的情況。

例如，已知函數(shù)g（x）=x2-2tx+t-1在區(qū)間[0，1]的最大值G（t）及最小值H（t），求最大值G（t）及最小值H（t）的表達(dá)式。在這里就不詳解了。

評注：此類題屬于“動(dòng)軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決此類問題的關(guān)鍵是討論對稱軸相對于定義域區(qū)間的位置，討論時(shí)做到不重不漏。

題型二：“動(dòng)區(qū)間定軸”型的二次函數(shù)最值

例2 求函數(shù)f（x）=x2-2x+3在x∈[k，k+2]上的最值。

解：f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2

∴此函數(shù)圖像開口向上，對稱軸x=1

①當(dāng)k>1時(shí)，k距對稱軸x=1最近，k+2距x=1最遠(yuǎn)，

∴當(dāng)x=k時(shí)，ymin=-k2+3，x=k+2時(shí)，ymax=k2+2k+3

②當(dāng)0

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=2，x=k+2時(shí)，ymax=k2+2k+3

③當(dāng)-1

∴當(dāng)x=1時(shí)，ymin=2，x=k時(shí)，ymax=k2-2k+3

④當(dāng)k≤-1時(shí)，k+2距對稱軸x=1最近，k距x=1最遠(yuǎn)，

∴當(dāng)x=k+2時(shí)，ymin=k2+2k+3；x=k時(shí)，ymax=k2-2k+3

評注：此題屬于“動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決的關(guān)鍵是討論對稱軸與定義域區(qū)間的位置更便于我們分類討論，然后依據(jù)口訣，很快就可解決問題。

最后，我們在用分類討論方法解題中要注意兩個(gè)原則：一是分類不重不漏；二是一次分類只能按已確定的同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。