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        淺析逆向思維在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        2016-08-10 01:16:13吳香娥山西省汾陽(yáng)市高級(jí)職業(yè)中學(xué)
        新課程(下) 2016年2期
        關(guān)鍵詞:集合逆向思維命題

        吳香娥(山西省汾陽(yáng)市高級(jí)職業(yè)中學(xué))

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        淺析逆向思維在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

        吳香娥
        (山西省汾陽(yáng)市高級(jí)職業(yè)中學(xué))

        摘要:逆向思維是一種在數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)習(xí)過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的創(chuàng)新能力,是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中關(guān)于創(chuàng)造性思維十分重要的組成部分。在解數(shù)學(xué)題時(shí),有些題目如果從正面入手很難找到思路,不妨變換角度,運(yùn)用逆向思維尋找解題突破口。逆向思維也是數(shù)學(xué)高考思維能力考查的一個(gè)要點(diǎn),從幾個(gè)方面淺談逆向思維在解題中的體現(xiàn)。

        關(guān)鍵詞:逆向思維;集合;命題

        對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科而言,數(shù)學(xué)思維是非常重要的一種能力。當(dāng)學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),就會(huì)以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行解決。而數(shù)學(xué)思維也根據(jù)其思維的方式分為正向思維與逆向思維,通常來(lái)說(shuō),學(xué)生都以一種正向思維的模式解決問(wèn)題,而在教育事業(yè)不斷發(fā)展的今天,運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題,在高中數(shù)學(xué)課堂中也有了其全新的價(jià)值。

        任何事物都有正反兩個(gè)方面,也有許多問(wèn)題正面入手困難重重,若改由反面入手卻常常能出奇制勝。逆向思維在許多情況下能夠幫助我們克服正常思維中出現(xiàn)的困難,拓展思路,開(kāi)拓認(rèn)識(shí)的新領(lǐng)域。正難則反易,數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也是這樣。下面從幾個(gè)方面談?wù)勎覍?duì)正難則反思想的體會(huì)。

        一、逆向思維在集合中為補(bǔ)集思想

        當(dāng)題目直接求解較繁、較復(fù)雜甚至不能求解時(shí),通過(guò)先求得問(wèn)題的反面進(jìn)而求其補(bǔ)集,以達(dá)到解決問(wèn)題之目的。

        例1.三個(gè)方程x2+4px-4p+3=0,x2+(p-1)x+p2=0,x2+2px-2p=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,試求p的范圍。

        分析:本題從正面入手應(yīng)分類(lèi)求解,繁不堪言,若從反面“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”思考,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)除去反面求得的解即為m的取值范圍。

        解:若三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根,則

        二、逆向思維在命題中為逆否命題

        邏輯學(xué)認(rèn)為原命題與它的逆否命題是等價(jià)的,也就是原命題真,則它的逆否命題也真。

        在一些命題的真假性或條件與結(jié)論的充分必要性的判斷中,正面判斷比較難或者不容易理解,那么不妨跳出思維框架,轉(zhuǎn)化為考慮逆否命題的真假性或者利用逆否命題判斷充分必要性。

        例2.(xy-2)2+(y-2)2≠0的充要條件是___________。

        分析:從正面入手,xy-2與y-2中至少有一個(gè)不等于0,這對(duì)很多學(xué)生而言都有一定的難度,但若從反面來(lái)看,(xy-2)2+(y-2)2=0的充要條件是:xy=2且y=2,能得到x=1且y=2。那么利用逆否命題就能得到(xy-2)2+(y-2)2≠0的充要條件是x≠1或y≠2。

        從逆否命題來(lái)處理確有茅塞頓開(kāi)、恍然大悟的感覺(jué)。

        三、逆向思維在證明中為反證法

        反證法是一種間接對(duì)問(wèn)題證明的方法,其解題思路就是:當(dāng)問(wèn)題的反面被否定之后,那么其正面就一定是正確的。具體來(lái)講,反證法就是從否定命題的結(jié)論入手,并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件,進(jìn)行正確的邏輯推理,使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾,則假設(shè)不成立,所以肯定了命題的結(jié)論,從而使命題獲得了證明。

        例3.已知:一個(gè)整數(shù)的平方能被2整除。求證:這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。

        證明:設(shè)整數(shù)a的平方能被2整除,假設(shè)a不是偶數(shù)。

        則a是奇數(shù),不妨設(shè)a=2k+1(k是整數(shù))

        ∴a2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1

        ∴a2是奇數(shù),與已知矛盾。

        ∴假設(shè)不成立,所以a是偶數(shù)。

        四、逆向思維在排列組合、概率中為間接法

        有些排列組合問(wèn)題,根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,需要變換觀察的視角,改變思考的路徑,采用“倒過(guò)來(lái)想“”正難則反”的逆向思維策略,以此來(lái)達(dá)到順暢解題的目的。

        例4.大街上有編號(hào)為1,2,3,4…10,11,12的十二盞燈,若關(guān)掉其中三盞燈,但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞,也不能關(guān)掉兩端的路燈,那么不同的關(guān)燈方式有()種。

        分析:本題若從正面探究,較為復(fù)雜,若調(diào)整解題角度,變?yōu)?個(gè)亮燈中間8個(gè)空隙中插入3個(gè)關(guān)掉的燈,易得關(guān)燈方式為:C38=56種。

        例5.袋中有12個(gè)不同的紅球和18個(gè)不同的白球,規(guī)定取出一個(gè)紅球得2分,取出一個(gè)白球得3分,如果從袋中取出若干個(gè)球得70分。試求這類(lèi)取法的不同種數(shù)。

        分析:若從正面考慮:取出若干個(gè)紅球或白球使其積分之和為70分,太復(fù)雜。于是從反面入手,假設(shè)將球全部取出的總分?jǐn)?shù)是2× 12+3×18=78分,比70分多8分,而8分的產(chǎn)生只有兩種情況:一是剩下4個(gè)紅球,二是剩下1個(gè)紅球和2個(gè)白球。根據(jù)取法等于剩法的原理,故這類(lèi)取法應(yīng)為

        在此類(lèi)問(wèn)題中如果善于運(yùn)用正難則反的思想,可以使問(wèn)題的解決事半功倍,而且減少了計(jì)算環(huán)節(jié),也能減少由計(jì)算帶來(lái)的不必要的錯(cuò)誤。

        通過(guò)以上分析,我們可以看出,逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中起著重要作用。對(duì)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大,不妨實(shí)行“正難則反”策略,轉(zhuǎn)化為考慮問(wèn)題的相反方面,往往能絕處逢生、開(kāi)拓解題思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。通過(guò)對(duì)逆向思維進(jìn)行恰當(dāng)應(yīng)用,能夠使很多以正常思維方式難以解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。同時(shí),逆向思維作為正向思維的補(bǔ)充,需要在教學(xué)中使學(xué)生品嘗到應(yīng)用正難則反思想的甜頭,就會(huì)進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,以達(dá)到拓展思維,增強(qiáng)解題技能,培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性之目的。

        參考文獻(xiàn):

        陶鵬.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2010(23).

        ·編輯李建軍

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