楊文慶 徐曉燕(寧夏石嘴山市光明中學(xué))
?
函數(shù)零點(diǎn)問題的探究
楊文慶徐曉燕
(寧夏石嘴山市光明中學(xué))
1.人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)1》(必修)第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1學(xué)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)的概念:對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。這樣,函數(shù)y= f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,也是y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
能用公式法求根的方程f(x)=0的函數(shù),我們可以求根得到函數(shù)的零點(diǎn)。
對于不能用公式法求根的方程f(x)=0的函數(shù),教材是這樣解決的:先根據(jù)根的存在性定理,判斷函數(shù)y=f(x)是否有零點(diǎn),再利用二分法找出零點(diǎn)。
根的存在性定理:一般的,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(x)=0,這個(gè)c也就是方程y=f(x)的根。
存在問題:
(1)f(a)·f(b)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn),有幾個(gè)需進(jìn)一步加以判斷;
(2)f(a)·f(b)≥0時(shí),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有無零點(diǎn),仍需探究;
(3)函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)情況及如何判斷。
2.在近幾年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)問題。因此,對函數(shù)的零點(diǎn)問題有必要進(jìn)行全面系統(tǒng)的探究和歸納提升。
對于不能用公式法求根的方程f(x)=0,函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)情況,我們可從以下三方面進(jìn)行探討:(1)是否有零點(diǎn);(2)有零點(diǎn)時(shí),有幾個(gè);(3)怎么找出這些零點(diǎn)。
人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)2-2》(選修)第一章,我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,對于函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)問題,我們可利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合二分法得到圓滿解決。
下面筆者將以2014年的兩道高考題為例,擴(kuò)展開來對此加以說明。
例1.[2014天津卷理科20題]設(shè)f(x)=x-aex(a∈R),x∈R。已知函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1<x2。(1)求a的取值范圍;
分析擴(kuò)展:由f(x)=x-aex,可得f′(x)=1-aex.
下面分兩種情況討論:
(1)a≤0時(shí),f′(x)>0在R上恒成立,可得f(x)在R上單調(diào)遞增,不合題意。
(2)a>0時(shí),令f′(x)>0得,x<-lna。
令f′(x)<0得,x>-lna。
∴函數(shù)y=f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞增,(-lna,+∞)上單調(diào)遞減。
當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→-∞;當(dāng)x→-∞時(shí),(+x)→-∞
利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)上升下降的示意圖可知
(1)當(dāng)f(-lna)<0時(shí),函數(shù)y=f(x)沒有零點(diǎn);
(2)當(dāng)f(-lna)=0時(shí),函數(shù)y=f(x)有一個(gè)零點(diǎn)-lna;
(3)當(dāng)f(-lna)>0時(shí),函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2,x1<-lna,x2>-lna。
而且由圖像知,顯然存在區(qū)間(a,b),使x1∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零點(diǎn)x1,同理求出零點(diǎn)x2。
例2.[2014北京卷文科20題]已知函數(shù)f(x)=2x3-3x。
(2)若過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;
分析擴(kuò)展:設(shè)過點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0),
則y0=-3x0,且切線斜率為k=-3,
所以切線方程為y-y0=(-3)(x-x0),
因此t-y0=(6x20-3)(1-x0),
設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,
則“過點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”。
g′(x)=12x2-12x=12x(x-1)。
令g′(x)>0得x>1或x<0,
令g′(x)<0得0<x<1。
所以函數(shù)g(x)在(1,+∞),(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減。
當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→+∞;當(dāng)x→-∞時(shí),g(x)→-∞
利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)升降的示意圖可知
而且由圖像知,顯然存在區(qū)間(a,b),使x∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零點(diǎn)x。
而且由圖像知,顯然存在區(qū)間(a,b),使x∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零點(diǎn)x。
(3)g(0)=0時(shí),函數(shù)y=g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)零點(diǎn)是0,另一個(gè)零點(diǎn)x>1,可用二分法得出零點(diǎn)x。
(4)g(1)=0時(shí),函數(shù)y=g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)零點(diǎn)是1,另一個(gè)零點(diǎn)x<0,可用二分法得出零點(diǎn)x。
x1<0,0<x2<1,x3>1,由圖知三個(gè)零點(diǎn)都可用二分法得到。
由以上兩題的分析可知借助導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合極值、端點(diǎn)值的正負(fù),可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的零點(diǎn)分布情況,再利用二分法可得出函數(shù)所有的零點(diǎn)。
參考文獻(xiàn):
李志邊.函數(shù)的零點(diǎn)問題的探究[J].文中數(shù)學(xué)教與學(xué),2012(3).
·編輯杜嫣然