向利平

數學是一門求簡的學問

向利平

道家哲學中有一個大道至簡的大道理。所謂大道至簡，就是大道理是極其簡單的，簡單到一句話、幾個字就能說明白。

數學所追求的就是至簡，力求用最簡單的方法研究數量關系和空間形式，力求用最簡潔的方式詮釋數量關系和空間形式。

現(xiàn)實世界中有形態(tài)各異、豐富多彩的物體，它們構成了我們的生活空間，也給我們帶來了很多值得研究的問題。各種各樣的物體除了具有顏色、質量、材質等性質外，還具有形狀、大小和位置關系。如何用最簡單的方式簡潔地表示物體的形狀、大小、位置關系這些本質的事情呢？于是，數學便拋開顏色、質量、材質等屬性，用虛擬的點、線、面將具體的物體抽象成幾何體，數學也隨之有了一片廣闊的天地。

為了表示數量關系，數學引入了字母，用字母表示數，并輔之相應的表示關系的符號。于是，復雜的數量關系便可用簡單明了的數學表達式來描述。于是，簡單的a=b×c具有了普遍性意義，包含了更豐富的實際背景。數學就是力求用簡潔的表達式表示一般性規(guī)律。

簡單的一句“兩點之間，線段最短”背后蘊含著大道理?！皟蓴迪喑耍柕谜?、異號得負，并把絕對值相乘”，加一個字顯得多余，少一個字便不嚴謹。數學的文字語言講究的就是簡潔，簡潔中又不失嚴謹，簡潔中描述具有普遍意義的規(guī)律，簡潔中詮釋數學中的大道理。

數學研究中常常會遇到一類特殊的問題，1× 2×3×…×n、1+2+3+…+n，書寫起來很不方便，于是我們引入了階乘符號！和求和符號∑，用簡潔的符號表達復雜的數學式子。用Rt△表示直角三角，用//表示平行，用≌表示形狀相同、大小相等的全等。數學符號產生和發(fā)展的歷史就是一部數學求簡的歷史。

三個角、三條邊對應相等的兩個三角形當然全等，但是這里的條件太多了，顯得有些復雜，能不能將條件減少一些呢？于是，我們嘗試找最少的條件。為了使找的工作簡單些，既要保證不遺漏，又要不做重復勞動，我們便對三條邊、三個角這6個條件進行有序分類。先把一邊對應相等，兩邊對應相等，三邊對應相等，兩邊、一角對應相等，一邊、兩角對應相等，三角對應相等一一列出來，然后逐條否定或肯定，最終得出了全等三角形判定的方法“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”和“角角邊”。

北宋詩人蘇軾的《題西林壁》有一句“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”告訴我們，不論是看一件事情還是認識一個物體，從一方面看往往是不全面的，很有可能發(fā)生誤判。數學中認識幾何體也一樣，僅從一個方向看（比如說正面），你往往看不到這個幾何體的全面。當然，我們可以從上、下、左、右各個方向去看，甚至可從更多的方向去看。數學求簡的特點自然引出了這樣的話題——能否既使所看的方向最少又能準確地認識幾何體呢？順著這一求簡的思路，數學中提出了主視圖、左視圖和俯視圖。數學就是這樣追求用最少的條件認識所研究的對象。

為了求解方程ax2+bx+c=0（a≠0），我們想到了配方法——將方程左邊配成含有未知數的平方式，常數項放在方程的右邊，根據平方根的意義可以得到方程的兩個根但每次都這樣配方顯得麻煩，于是便將這個具有普遍意義的結論作為一元二次方程的求根公式，使求解變得簡單易行。在進行多項式與多項式相乘時，我們發(fā)現(xiàn)運算結論簡潔易記。為了減少再次運算時各項都相乘的麻煩，便有了平方差、立方和（差）公式。有了這些公式，將類似的多項式分解成兩個因式的乘積形式便呼之即出了。數學中之所以規(guī)定一些公式、定理，用一些公式和定理推導得出新的公式和定理，本質上是為了減少推導過程中的機械重復勞動，也就是求簡。

為了求得兩堆物體的總量有多少個，最原始的辦法是一個一個往下數，直至全部數完。是不是可以將數的過程簡化呢？我們引入了加法運算——求兩個數的和。

在進行加法運算時，有時我們會遇到一類特殊的問題——已知和，求其中一個加數。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的加數，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了減法。因為減法是已知和去求加數的運算，我們也就將減法叫做加法的逆運算。

在進行加法運算時，我們經常會遇到一類特殊的問題，如2+2+2+2+2+2+…+2這樣求很多個相同加數的和。當然，我們可以一個一個不斷地相加，但這樣做實在是太麻煩，書寫起來也不方便。能不能簡單一點呢？為此，我們定義了乘法——幾個相同加數的和的運算，并引入相應的運算符號×，隨后經過不斷總結和歸納，得出了既簡潔又讀起來朗朗上口的乘法口訣。

在進行乘法運算時，有時我們會遇到一類特殊的問題——已知積，求其中一個因數。為此，我們必須倒過來思考，反過來尋找要求的因數，總是這樣做是比較麻煩的，為此我們定義了除法——已知積，求其中一個因數。因為除法是已知積求因數的運算，我們也就將除法叫做乘法的逆運算。

在進行乘法運算時，我們經常會遇到一類特殊的問題，如2×2×2×2×2×2×…×2這樣求很多個相同因數的積。當然，我們可以一個一個不斷地相乘，但這樣做太麻煩，書寫起來也不方便。為了求簡，我們定義了乘方運算。

加法、乘法都有相應的逆運算，乘方有沒有逆運算呢？已知冪與指數求底數，已知冪與底數求指數都可以看成是乘方的逆運算。為了解決這兩個逆運算問題，數學便引入了開方運算和對數運算。

方程、函數、集合模型的建立，微積分、概率論等數學領域的形成和發(fā)展，無一不體現(xiàn)求簡的思維方式。

數學就是這樣一門不斷求簡的學問，在不懈地求簡中孕育出一片又一片廣闊而神奇的新領域。在數學教學中，我們是否可以花點時間，讓學生體會體會數學求簡的魅力呢？

（作者單位：長沙市岳麓區(qū)教研室）