丁麗

“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)及思考

丁麗

環(huán)節(jié)一：（課前交流）初步體會(huì)用“雙軌跡”解決生活實(shí)際問(wèn)題的方式。

師：丁老師想在我們班找出這樣的同學(xué)：（課件出示）文章寫(xiě)得好、唱歌也很棒。他需要滿(mǎn)足幾個(gè)條件？

生：兩個(gè)，分別是會(huì)寫(xiě)文章、會(huì)唱歌。

師：上課之前，老師分別找我們班的語(yǔ)文老師和音樂(lè)老師要到了兩份名單，分別是文章寫(xiě)得好和唱歌很棒的同學(xué)名單。接下來(lái)，這個(gè)問(wèn)題可以解決了嗎？怎樣解決？

生：看兩份名單上是不是有相同的名字，如果有，就說(shuō)明找到了滿(mǎn)足兩個(gè)條件的同學(xué)。

師：正如你們所說(shuō)的，只要兩份名單上有相同的名字，就代表他同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件。我在想，有沒(méi)有可能只要一份名單？比如，我只找語(yǔ)文老師得到了一份名單。這個(gè)問(wèn)題可以被解決嗎？

生：不可以，只滿(mǎn)足一個(gè)條件呢。

師：真是這樣的嗎？我來(lái)看看這份名單，（假裝拿著一份名單，走到一個(gè)小組面前，逐一問(wèn)學(xué)生）名單上第一個(gè)是張小三。我采訪一下張小三，請(qǐng)問(wèn)你歌唱得好嗎？（生1靦腆地?fù)u頭）他很謙虛，沒(méi)關(guān)系，我繼續(xù)找。我找到李小四，小四同學(xué)你唱歌很棒吧？（生2也不好意思地?cái)[擺手）那么，像這樣，把名單上的人一個(gè)個(gè)找下去，當(dāng)然他們客觀地回答我的問(wèn)題的話(huà)，既滿(mǎn)足“文章寫(xiě)得好”也滿(mǎn)足“唱歌也很棒”的同學(xué)能被找到嗎？

生：能。

師：是的?，F(xiàn)在我們一起梳理剛才這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程。（從兩個(gè)條件到兩種問(wèn)題解決方式進(jìn)行回顧和整理）其實(shí)，像這樣解決生活中問(wèn)題的方法，還能解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢！來(lái)，一起看看吧。

環(huán)節(jié)二：（初步嘗試）學(xué)習(xí)用“雙軌跡”的方式解決基本的“雞兔同籠”問(wèn)題。

1.分析題意

課件出示條件：雞、兔共有9個(gè)頭，28條腿。

師：你知道題目說(shuō)的是什么意思嗎？

生1：雞和兔一共有9只，共有28條腿。

生2：這里還有一個(gè)藏起來(lái)的條件。每只雞2條腿，每只兔4條腿。

師：分析得很到位。那么題目要求的問(wèn)題我想大家也一定能想到。（出示問(wèn)題：雞、兔各有幾只？）我突然發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題和我們剛才找“文章寫(xiě)得好、唱歌也很棒”的同學(xué)有一些類(lèi)似，什么地方類(lèi)似呢？請(qǐng)同桌互相討論一下。

生：都有兩個(gè)條件。（師按照學(xué)生的描述板書(shū)）

2.帶領(lǐng)學(xué)生共同解答

師：9只動(dòng)物和28條腿，這兩個(gè)條件哪個(gè)更容易滿(mǎn)足？舉個(gè)例子試試看。

生3：我覺(jué)得頭數(shù)更容易滿(mǎn)足。算總腿數(shù)，還要考慮一只雞有2條腿，一只兔有4條腿。

生4：雞3只、兔6只，滿(mǎn)足一共9只動(dòng)物。

師：分析事情有理有據(jù)，真不錯(cuò)！像這樣滿(mǎn)足9只動(dòng)物的情況，只有一種嗎？誰(shuí)能有順序地羅列出來(lái)？（根據(jù)學(xué)生的回答一一板書(shū)，特別討論雞4只、兔5只與雞5只、兔4只是否為同一種情況）現(xiàn)在，我們將雞、兔共9只的情況按一定的順序列舉出來(lái)了。那么，這9種情況中，有沒(méi)有兩個(gè)條件都符合的呢？是哪一種？接下來(lái)，我們應(yīng)該做些什么？

生5：剛剛我們滿(mǎn)足了9個(gè)頭的條件，接著可以看哪種情況是28條腿。

師：他的分析有道理嗎？那我們?cè)撛趺创_認(rèn)哪一種情況是28條腿呢？第一種情況雞1只、兔9只滿(mǎn)足嗎？

生6：用1乘2加上9乘4，算出總腿數(shù)是38，所以不符合。

師：接著怎么辦？

生6：再往下算。（學(xué)生一一推算，直到找到總腿數(shù)為28的情況，并且在推算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)每增加1只兔、減少1只雞，總腿數(shù)減少2及其原因，過(guò)程略）

3.小結(jié)問(wèn)題解決的步驟，構(gòu)建問(wèn)題解決的結(jié)構(gòu)

師：用之前找滿(mǎn)足兩個(gè)條件的同學(xué)那樣的方法，能把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決好嗎？

生：能。

師：現(xiàn)在我們回顧一下剛才解決問(wèn)題的辦法。同桌互相說(shuō)一說(shuō)我們做了哪些工作。

學(xué)生互議后，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起梳理，然后獨(dú)立解決問(wèn)題：（課件出示）2元紙幣和5元紙幣共12張，共39元，兩種紙幣各幾張？

學(xué)生板演，教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析。

環(huán)節(jié)三：（拓展提升）體驗(yàn)用“雙軌跡”的方式解決復(fù)雜的“雞兔同籠”問(wèn)題的普適性。

1.體會(huì)問(wèn)題在形式上的變化

（課件出示）：雞比兔多4只，雞和兔的腿共38條，雞、兔各幾只？

學(xué)生先討論并尋找題中隱藏的兩個(gè)需要同時(shí)滿(mǎn)足的條件，然后分小組合作并在集體反饋中談解題感受，進(jìn)一步體會(huì)用“雙軌跡”解決問(wèn)題的方式。

2.滲透文化

教師引導(dǎo)學(xué)生探討“雞兔同籠”問(wèn)題的歷史，滲透數(shù)學(xué)文化。用“雙軌跡”的方式作正三角形，進(jìn)一步體會(huì)用“雙軌跡”的方式解決問(wèn)題的價(jià)值。

3.留有余味，布置課后學(xué)習(xí)任務(wù)。

課件出示：張曉明和李亮在一起談?wù)撃挲g。李亮今年的年齡是張曉明的4倍，李亮4年前的年齡是張曉明的7倍。你知道他們兩人今年各幾歲嗎？

教學(xué)思考：

“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代名題，很多教材都引入了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的解題方法很多，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)研究也很多，可謂各美其美。新人教版四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材“數(shù)學(xué)廣角”中呈現(xiàn)了三種方法：猜測(cè)嘗試、列表和假設(shè)法。前人的研究中體現(xiàn)出一個(gè)共識(shí)，那就是教學(xué)“雞兔同籠”不僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題，更重要的是讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶。至于具體受到何種數(shù)學(xué)思想方法的熏陶則各有各的看法，而我側(cè)重模型思想。模型具有概括性，教材涉及的例題和練習(xí)題雖在情境上大不相同（龜鶴、租船、車(chē)輪等），但在模型意義上完全一致。波利亞在其名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究與教學(xué)》中提到了“雙軌跡”模型，并用這一模型概括了包括雞兔同籠在內(nèi)的系列問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題相當(dāng)于尋找同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件的對(duì)象。先滿(mǎn)足其中一個(gè)條件，即用一一列舉的方法羅列所有滿(mǎn)足的情況（亦可先按順序部分列舉或折中列舉），再尋求也滿(mǎn)足第二個(gè)條件的情況，問(wèn)題得以解決。本課自始至終貫徹這一原則。當(dāng)然，從代數(shù)的角度理解“雙軌跡”模型，即是解方程組。但作為滲透或者傳遞數(shù)學(xué)思想方法的題材，更樸素的意義在于讓學(xué)生感受到用簡(jiǎn)單易懂的方法解決復(fù)雜問(wèn)題的力量。因此，本課弱化了在列舉中凸顯列舉與假設(shè)的關(guān)聯(lián)，而重在學(xué)習(xí)具有樸素意義的問(wèn)題解決方法，可以將學(xué)生從解決一個(gè)問(wèn)題引向解決一類(lèi)問(wèn)題。數(shù)學(xué)是豐富多元的，帶領(lǐng)學(xué)生獲得解決問(wèn)題的普適性方法，不論對(duì)保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還是提升學(xué)習(xí)信心及學(xué)習(xí)質(zhì)量都是有積極意義的。

（作者單位：長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)博才寄宿小學(xué)）

點(diǎn)評(píng)：“雞兔同籠”是經(jīng)典問(wèn)題，其解法很多，典型的有列舉法、假設(shè)法、方程法等。據(jù)說(shuō)有專(zhuān)家就解決“雞兔同籠”問(wèn)題的上述三種方法分別向小學(xué)數(shù)學(xué)老師、中學(xué)數(shù)學(xué)老師和大學(xué)數(shù)學(xué)老師作調(diào)查，問(wèn)他們各自最喜歡哪一種。結(jié)果顯示：小學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡假設(shè)法，中學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡方程法，大學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡列舉法。小學(xué)數(shù)學(xué)老師喜歡假設(shè)法不難理解，因?yàn)檫@種方法特別符合我們對(duì)解題的審美標(biāo)準(zhǔn)：思路清晰，表達(dá)有條理，一個(gè)一個(gè)的算式，前面算式運(yùn)算的結(jié)果是后面算式的運(yùn)算對(duì)象，最后一個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果就是問(wèn)題的答案。中學(xué)數(shù)學(xué)老師喜歡方程法也是理所當(dāng)然，方程是中學(xué)數(shù)學(xué)老師教學(xué)的看家本領(lǐng)之一?？蔀槭裁创髮W(xué)數(shù)學(xué)老師會(huì)喜歡列舉法呢？列舉法看起來(lái)是那么笨拙，那么低效，甚至看不出多少思維含量。與之相對(duì)的，我們似乎有很“漂亮”的解法。比如一個(gè)段子所描述的：大體是說(shuō)，以“雞、兔8只，腳26只”為例，吹一聲口哨，雞、兔均抬起一只腳，還剩18只腳，再吹一聲口哨，雞、兔再抬起一只腳，此時(shí)還剩10只腳，可雞已經(jīng)一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳站著，于是兔子有5只。這樣的解法多漂亮，多有趣？

其實(shí)，解決問(wèn)題的方法有通法和巧法之分。一般而言，適應(yīng)范圍廣、思路自然、易被推廣的方法為通法，適應(yīng)范圍窄、思路奇特的方法為巧法。從這個(gè)角度而言，方程法和列舉法無(wú)疑是通法，那個(gè)抬腳法則是巧法。假設(shè)法應(yīng)介于這兩者之間。于是，我們可以理解大學(xué)數(shù)學(xué)老師之所以選擇列舉法，是基于對(duì)通法的價(jià)值認(rèn)同。當(dāng)然，在此也需說(shuō)明，巧妙的解法有其獨(dú)特的價(jià)值，比如激發(fā)興趣等。但我們需要認(rèn)識(shí)到的是，很多巧法的價(jià)值恰恰不在解決問(wèn)題。

丁老師的課，在關(guān)注通法（即列舉法）的基礎(chǔ)上又向前走了一步：將列舉這一具體的方法與“雙軌跡”模型結(jié)合起來(lái)。這是很有價(jià)值的一步。一方面，在“雙軌跡”模型的指導(dǎo)下，如何列舉？列舉是如何解決這個(gè)問(wèn)題的？這些都得到了很好的詮釋。另一方面，在這一節(jié)課中，學(xué)生對(duì)模型會(huì)有更好的認(rèn)識(shí)。之前，學(xué)生也許能意識(shí)到“雞、兔8只，腳26只”只不過(guò)是一類(lèi)叫“雞兔同籠”問(wèn)題的特例。而今天認(rèn)識(shí)了“雙軌跡”模型，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到，“雞兔同籠”問(wèn)題也只不過(guò)是這一模型的一個(gè)特例而已。有了這種認(rèn)識(shí)，學(xué)生能解的就不僅僅是“雞兔同籠”問(wèn)題或其平凡推廣后的問(wèn)題了（所謂平凡推廣，是指在數(shù)量關(guān)系不變的前提下，將“雞兔同籠”問(wèn)題通過(guò)改變一下情境而變成一個(gè)新的問(wèn)題），而是能解決一系列看起來(lái)完全不同的問(wèn)題。這種認(rèn)識(shí)的形成當(dāng)然不是一朝一夕的，其形成過(guò)程恰恰是這種課堂的一次又一次熏陶的過(guò)程。

（長(zhǎng)沙市教育科學(xué)研究院張新春）