丁麗
“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)及思考
丁麗
師:丁老師想在我們班找出這樣的同學(xué):(課件出示)文章寫(xiě)得好、唱歌也很棒。他需要滿(mǎn)足幾個(gè)條件?
生:兩個(gè),分別是會(huì)寫(xiě)文章、會(huì)唱歌。
師:上課之前,老師分別找我們班的語(yǔ)文老師和音樂(lè)老師要到了兩份名單,分別是文章寫(xiě)得好和唱歌很棒的同學(xué)名單。接下來(lái),這個(gè)問(wèn)題可以解決了嗎?怎樣解決?
生:看兩份名單上是不是有相同的名字,如果有,就說(shuō)明找到了滿(mǎn)足兩個(gè)條件的同學(xué)。
師:正如你們所說(shuō)的,只要兩份名單上有相同的名字,就代表他同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件。我在想,有沒(méi)有可能只要一份名單?比如,我只找語(yǔ)文老師得到了一份名單。這個(gè)問(wèn)題可以被解決嗎?
生:不可以,只滿(mǎn)足一個(gè)條件呢。
師:真是這樣的嗎?我來(lái)看看這份名單,(假裝拿著一份名單,走到一個(gè)小組面前,逐一問(wèn)學(xué)生)名單上第一個(gè)是張小三。我采訪一下張小三,請(qǐng)問(wèn)你歌唱得好嗎?(生1靦腆地?fù)u頭)他很謙虛,沒(méi)關(guān)系,我繼續(xù)找。我找到李小四,小四同學(xué)你唱歌很棒吧?(生2也不好意思地?cái)[擺手)那么,像這樣,把名單上的人一個(gè)個(gè)找下去,當(dāng)然他們客觀地回答我的問(wèn)題的話(huà),既滿(mǎn)足“文章寫(xiě)得好”也滿(mǎn)足“唱歌也很棒”的同學(xué)能被找到嗎?
生:能。
師:是的?,F(xiàn)在我們一起梳理剛才這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程。(從兩個(gè)條件到兩種問(wèn)題解決方式進(jìn)行回顧和整理)其實(shí),像這樣解決生活中問(wèn)題的方法,還能解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢!來(lái),一起看看吧。
1.分析題意
課件出示條件:雞、兔共有9個(gè)頭,28條腿。
師:你知道題目說(shuō)的是什么意思嗎?
生1:雞和兔一共有9只,共有28條腿。
生2:這里還有一個(gè)藏起來(lái)的條件。每只雞2條腿,每只兔4條腿。
師:分析得很到位。那么題目要求的問(wèn)題我想大家也一定能想到。(出示問(wèn)題:雞、兔各有幾只?)我突然發(fā)現(xiàn),這個(gè)問(wèn)題和我們剛才找“文章寫(xiě)得好、唱歌也很棒”的同學(xué)有一些類(lèi)似,什么地方類(lèi)似呢?請(qǐng)同桌互相討論一下。
生:都有兩個(gè)條件。(師按照學(xué)生的描述板書(shū))
2.帶領(lǐng)學(xué)生共同解答
師:9只動(dòng)物和28條腿,這兩個(gè)條件哪個(gè)更容易滿(mǎn)足?舉個(gè)例子試試看。
生3:我覺(jué)得頭數(shù)更容易滿(mǎn)足。算總腿數(shù),還要考慮一只雞有2條腿,一只兔有4條腿。
生4:雞3只、兔6只,滿(mǎn)足一共9只動(dòng)物。
師:分析事情有理有據(jù),真不錯(cuò)!像這樣滿(mǎn)足9只動(dòng)物的情況,只有一種嗎?誰(shuí)能有順序地羅列出來(lái)?(根據(jù)學(xué)生的回答一一板書(shū),特別討論雞4只、兔5只與雞5只、兔4只是否為同一種情況)現(xiàn)在,我們將雞、兔共9只的情況按一定的順序列舉出來(lái)了。那么,這9種情況中,有沒(méi)有兩個(gè)條件都符合的呢?是哪一種?接下來(lái),我們應(yīng)該做些什么?
生5:剛剛我們滿(mǎn)足了9個(gè)頭的條件,接著可以看哪種情況是28條腿。
師:他的分析有道理嗎?那我們?cè)撛趺创_認(rèn)哪一種情況是28條腿呢?第一種情況雞1只、兔9只滿(mǎn)足嗎?
生6:用1乘2加上9乘4,算出總腿數(shù)是38,所以不符合。
師:接著怎么辦?
生6:再往下算。(學(xué)生一一推算,直到找到總腿數(shù)為28的情況,并且在推算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)每增加1只兔、減少1只雞,總腿數(shù)減少2及其原因,過(guò)程略)
3.小結(jié)問(wèn)題解決的步驟,構(gòu)建問(wèn)題解決的結(jié)構(gòu)
師:用之前找滿(mǎn)足兩個(gè)條件的同學(xué)那樣的方法,能把數(shù)學(xué)問(wèn)題解決好嗎?
生:能。
師:現(xiàn)在我們回顧一下剛才解決問(wèn)題的辦法。同桌互相說(shuō)一說(shuō)我們做了哪些工作。
學(xué)生互議后,教師帶領(lǐng)學(xué)生一起梳理,然后獨(dú)立解決問(wèn)題:(課件出示)2元紙幣和5元紙幣共12張,共39元,兩種紙幣各幾張?
學(xué)生板演,教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析。
1.體會(huì)問(wèn)題在形式上的變化
(課件出示):雞比兔多4只,雞和兔的腿共38條,雞、兔各幾只?
學(xué)生先討論并尋找題中隱藏的兩個(gè)需要同時(shí)滿(mǎn)足的條件,然后分小組合作并在集體反饋中談解題感受,進(jìn)一步體會(huì)用“雙軌跡”解決問(wèn)題的方式。
2.滲透文化
教師引導(dǎo)學(xué)生探討“雞兔同籠”問(wèn)題的歷史,滲透數(shù)學(xué)文化。用“雙軌跡”的方式作正三角形,進(jìn)一步體會(huì)用“雙軌跡”的方式解決問(wèn)題的價(jià)值。
3.留有余味,布置課后學(xué)習(xí)任務(wù)。
課件出示:張曉明和李亮在一起談?wù)撃挲g。李亮今年的年齡是張曉明的4倍,李亮4年前的年齡是張曉明的7倍。你知道他們兩人今年各幾歲嗎?
教學(xué)思考:
“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代名題,很多教材都引入了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的解題方法很多,對(duì)這個(gè)問(wèn)題的教學(xué)研究也很多,可謂各美其美。新人教版四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材“數(shù)學(xué)廣角”中呈現(xiàn)了三種方法:猜測(cè)嘗試、列表和假設(shè)法。前人的研究中體現(xiàn)出一個(gè)共識(shí),那就是教學(xué)“雞兔同籠”不僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題,更重要的是讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶。至于具體受到何種數(shù)學(xué)思想方法的熏陶則各有各的看法,而我側(cè)重模型思想。模型具有概括性,教材涉及的例題和練習(xí)題雖在情境上大不相同(龜鶴、租船、車(chē)輪等),但在模型意義上完全一致。波利亞在其名著《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究與教學(xué)》中提到了“雙軌跡”模型,并用這一模型概括了包括雞兔同籠在內(nèi)的系列問(wèn)題:解決這類(lèi)問(wèn)題相當(dāng)于尋找同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件的對(duì)象。先滿(mǎn)足其中一個(gè)條件,即用一一列舉的方法羅列所有滿(mǎn)足的情況(亦可先按順序部分列舉或折中列舉),再尋求也滿(mǎn)足第二個(gè)條件的情況,問(wèn)題得以解決。本課自始至終貫徹這一原則。當(dāng)然,從代數(shù)的角度理解“雙軌跡”模型,即是解方程組。但作為滲透或者傳遞數(shù)學(xué)思想方法的題材,更樸素的意義在于讓學(xué)生感受到用簡(jiǎn)單易懂的方法解決復(fù)雜問(wèn)題的力量。因此,本課弱化了在列舉中凸顯列舉與假設(shè)的關(guān)聯(lián),而重在學(xué)習(xí)具有樸素意義的問(wèn)題解決方法,可以將學(xué)生從解決一個(gè)問(wèn)題引向解決一類(lèi)問(wèn)題。數(shù)學(xué)是豐富多元的,帶領(lǐng)學(xué)生獲得解決問(wèn)題的普適性方法,不論對(duì)保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還是提升學(xué)習(xí)信心及學(xué)習(xí)質(zhì)量都是有積極意義的。
(作者單位:長(zhǎng)沙市岳麓區(qū)博才寄宿小學(xué))
點(diǎn)評(píng):“雞兔同籠”是經(jīng)典問(wèn)題,其解法很多,典型的有列舉法、假設(shè)法、方程法等。據(jù)說(shuō)有專(zhuān)家就解決“雞兔同籠”問(wèn)題的上述三種方法分別向小學(xué)數(shù)學(xué)老師、中學(xué)數(shù)學(xué)老師和大學(xué)數(shù)學(xué)老師作調(diào)查,問(wèn)他們各自最喜歡哪一種。結(jié)果顯示:小學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡假設(shè)法,中學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡方程法,大學(xué)數(shù)學(xué)老師最喜歡列舉法。小學(xué)數(shù)學(xué)老師喜歡假設(shè)法不難理解,因?yàn)檫@種方法特別符合我們對(duì)解題的審美標(biāo)準(zhǔn):思路清晰,表達(dá)有條理,一個(gè)一個(gè)的算式,前面算式運(yùn)算的結(jié)果是后面算式的運(yùn)算對(duì)象,最后一個(gè)算式的運(yùn)算結(jié)果就是問(wèn)題的答案。中學(xué)數(shù)學(xué)老師喜歡方程法也是理所當(dāng)然,方程是中學(xué)數(shù)學(xué)老師教學(xué)的看家本領(lǐng)之一??蔀槭裁创髮W(xué)數(shù)學(xué)老師會(huì)喜歡列舉法呢?列舉法看起來(lái)是那么笨拙,那么低效,甚至看不出多少思維含量。與之相對(duì)的,我們似乎有很“漂亮”的解法。比如一個(gè)段子所描述的:大體是說(shuō),以“雞、兔8只,腳26只”為例,吹一聲口哨,雞、兔均抬起一只腳,還剩18只腳,再吹一聲口哨,雞、兔再抬起一只腳,此時(shí)還剩10只腳,可雞已經(jīng)一屁股坐地上了,兔子還有兩只腳站著,于是兔子有5只。這樣的解法多漂亮,多有趣?
其實(shí),解決問(wèn)題的方法有通法和巧法之分。一般而言,適應(yīng)范圍廣、思路自然、易被推廣的方法為通法,適應(yīng)范圍窄、思路奇特的方法為巧法。從這個(gè)角度而言,方程法和列舉法無(wú)疑是通法,那個(gè)抬腳法則是巧法。假設(shè)法應(yīng)介于這兩者之間。于是,我們可以理解大學(xué)數(shù)學(xué)老師之所以選擇列舉法,是基于對(duì)通法的價(jià)值認(rèn)同。當(dāng)然,在此也需說(shuō)明,巧妙的解法有其獨(dú)特的價(jià)值,比如激發(fā)興趣等。但我們需要認(rèn)識(shí)到的是,很多巧法的價(jià)值恰恰不在解決問(wèn)題。
丁老師的課,在關(guān)注通法(即列舉法)的基礎(chǔ)上又向前走了一步:將列舉這一具體的方法與“雙軌跡”模型結(jié)合起來(lái)。這是很有價(jià)值的一步。一方面,在“雙軌跡”模型的指導(dǎo)下,如何列舉?列舉是如何解決這個(gè)問(wèn)題的?這些都得到了很好的詮釋。另一方面,在這一節(jié)課中,學(xué)生對(duì)模型會(huì)有更好的認(rèn)識(shí)。之前,學(xué)生也許能意識(shí)到“雞、兔8只,腳26只”只不過(guò)是一類(lèi)叫“雞兔同籠”問(wèn)題的特例。而今天認(rèn)識(shí)了“雙軌跡”模型,學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到,“雞兔同籠”問(wèn)題也只不過(guò)是這一模型的一個(gè)特例而已。有了這種認(rèn)識(shí),學(xué)生能解的就不僅僅是“雞兔同籠”問(wèn)題或其平凡推廣后的問(wèn)題了(所謂平凡推廣,是指在數(shù)量關(guān)系不變的前提下,將“雞兔同籠”問(wèn)題通過(guò)改變一下情境而變成一個(gè)新的問(wèn)題),而是能解決一系列看起來(lái)完全不同的問(wèn)題。這種認(rèn)識(shí)的形成當(dāng)然不是一朝一夕的,其形成過(guò)程恰恰是這種課堂的一次又一次熏陶的過(guò)程。
(長(zhǎng)沙市教育科學(xué)研究院張新春)