多年來，高考數學北京卷一直堅持“簡潔、基礎、本質、創(chuàng)新”的風格：試題及其答案簡潔；注重對數學基礎知識、基本技能的全面考查；尤其注重對數學本質的考查，一般不會有過多的繁雜的計算；試題背景新穎、內涵豐富、亮點紛呈、解法靈活、思維深刻、銳意創(chuàng)新.

下面以2016年高考數學北京理科卷和文科卷為例，談談其“北京特色”.1“簡潔、基礎、本質、創(chuàng)新”是試卷的鮮明特色

1.1部分試題呈現

文科第7題已知A2，5，B4，1.若點Px，y在線段AB上，則2x-y的最大值為（）.

A.-1B.3C.7D.8

文科第9題已知向量a=1，3，b=3，1，則a與b夾角的大小為.

文科第10題函數f（x）=xx-1x≥2的最大值為.

文科第16題已知函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωxω>0的最小正周期為π.

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間.

文科第20題設函數f（x）=x3+ax2+bx+c.

（1）求曲線y=f（x）在點0，f0處的切線方程；

（2）設a=b=4，若函數f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；

（3）求證：a2-3b>0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件.

理科第2題若x，y滿足2x-y≤0，

x+y≤3，

x≥0，則2x+y的最大值為（）.

A.0B.3C.4D.5

理科第12題已知{an}為等差數列，Sn為其前n項和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=.

理科第15題在△ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大小；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

理科第18題設函數f（x）=xea-x+bx，曲線y=f（x）在點2，f2處的切線方程為y=e-1x+4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的單調區(qū)間.

1.2填空題答案呈現

文科：9.π6.102.11.32.121，2.131.14.①16；②29.

理科：9.-1.1060.112.126.132.14.①2；②（-∞，-1）.

1.3特色闡述

從以上列舉的試題來看，題目簡潔，不少選擇題、填空題都是句中沒有任何標點符號的一句話，比如文科第2，5，10題；不少解答題的設問也是句中沒有任何標點符號的一句話，比如文科第15（1），16（1），16（2）題，理科第15（1），15（2），18（2）題；不少解答題的設問都不超過10個字符，比如文科第15（1）題“求{an}的通項公式”，第16（1）題“求ω的值”，理科第15（1）題“求∠B的大小”，理科第18（1）題“求a，b的值”，理科第18（2）題“求f（x）的單調區(qū)間”.

在2016年高考數學北京卷中，文科第2，4～7，10，11，19，20題及理科第1～3，5，10，12～14，20題（題數占45%）只涉及到以下10個數據：

-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，12

并且理科第4題（平面向量）及文科第18題（立體幾何）題中不涉及數字（且它們的解答均不涉及計算），理科第8題中只出現了文字數量“一半”“三個”“兩個”“一個”.

所有填空題的答案均很簡潔，并且有兩空填“1”、五空填“2”.

在題目及答案中的這些數據都是命題專家精心雕琢的結果，體現了數學的簡潔美！

高考數學北京卷注重基礎是不爭的事實，但考查基礎的同時又注重了對數學學科本質的考查，比如文科第4題及理科第5題都是對基本初等函數單調性的考查、文科第6題是對古典概型求法的考查、文科第20題是對導數及其綜合應用的考查、理科第2題是對線性規(guī)劃的考查（以前多考含參數的線性規(guī)劃問題，就不是考查本質）、理科第12題是對等差數列基本量的考查.

高考數學北京卷，貌似真水無香，但實質上也是創(chuàng)新成分多，這不僅僅表現在選擇題、填空題和解答題的壓軸題上，有很多題都是背景新穎、內涵豐富、解法靈活、平中見奇、思維深刻（詳見后文的論述）.2部分試題的別解

文科第2題別解A.1+2i2-i=2i-i22-i=i（2-i）2-i=i.

注本題的常規(guī)解法是分子、分母同乘以分母的共軛復數進行分母實數化，而以上解法是逆用“i2=-1”通過約分進行分母實數.前者是通性通法，但后者也是通性通法并非“雕蟲小技”，且“i2=-1”是復數運算的本質.這樣看來，前者的解法卻充滿“技巧”，后者只是使用第一個發(fā)現者的“專利”而已.

文科第7題別解C.本題的常規(guī)解法是“減元”（先得線段AB的方程是y=9-2x（2≤x≤4）），但也可用線性規(guī)劃知識求解.

文科第9題別解π6.如圖1所示，先在平面直角坐標系xOy中作出向量a=OA與b=OB，再作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D.在Rt△AOC，Rt△BOD中可得∠AOC=π3，∠BOD=π6，所以a與b夾角的大小為∠AOB=∠AOC-∠BOD=π3-π6=π6.

注別解方法只用到向量夾角的概念，概念就是本質！

文科第19題已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A2，0，B0，1兩點.

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.

別解先作出本題的圖形如圖2所示：

（1）橢圓C的方程是x24+y2=1，離心率是32.

（2）可設P（2cosθ，sinθ）π<θ<3π2，再求得M0，sinθ1-cosθ，N2cosθ1-sinθ，0.

再由凸四邊形ABNM的對角線互相垂直，可得

S四邊形ABNM=12AN·BM=122-2cosθ1-sinθ1-sinθ1-cosθ

=（sinθ+cosθ-1）2（1-sinθ）（1-cosθ）=2-2sinθ-2cosθ+2sinθcosθ1-sinθ-cosθ+sinθcosθ=2.

所以四邊形ABNM的面積為定值.

注同第（2）問的解法，還可證得以下結論：

若點P在橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，橢圓C的右頂點、上頂點分別是A，B，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N則AN·BM=2ab.

理科第19題與本題實質相同，是一對姊妹題.

理科第2題別解C.因為2x+y=13（2x-y）+43（x+y）≤13·0+43·3=4，所以當且僅當2x-y=0，

x+y=3，即（x，y）=（1，2）（滿足x≥0）時，（2x+y）max=4.

理科第6題某三棱錐的三視圖如圖3所示，則該三棱錐的體積為（）.

A.16B.13C.12D.1

別解A.如圖4所示，題中的三棱錐即長、寬、高分別為2，1，1的長方體中的四面體ABCD，所以其體積為13S△BCD·1=1312·1·1·1=16.

注若考生不認真審題，會誤認為三棱錐的底面積就是俯視圖的面積12（1+1）·1=1，而錯選成B.

筆者在文獻[1]中詳述了以上解法：把幾何體放置在長方體中來求解三視圖問題是一種好方法.

理科第11題在極坐標系中，直線ρcosθ-3ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則AB=.

本題的常規(guī)解法是：先把極坐標系中的方程化成平面直角坐標系中的方程，再通過解方程組求出交點A，B的坐標后用兩點的距離公式可求AB；或用垂徑定理和勾股定理求解.

別解2.在平面直角坐標系中，題中的直線與圓的方程分別是x-3y-1=0，x2+y2=2x.

因為圓x2+y2=2x即（x-1）2+y2=1的圓心1，0在直線x-3y-1=0上，所以AB為此圓的直徑，得AB=2.

理科第12題別解6.由a3+a5=0，可得a3+a5=a2+a6=a4+a4=0，a4=0，所以

S6=a1+（a2+a6）+a4+（a3+a5）=a1=6

注由理科11，12題，我們可以看出它們貌似真水無香，但實質上也是創(chuàng)新成分多：解法靈活、平中見奇、思維深刻.3部分創(chuàng)新題的解法

文科第8題某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊.

在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（）.

A.2號學生進入30秒跳繩決賽B.5號學生進入30秒跳繩決賽

C.8號學生進入30秒跳繩決賽D.9號學生進入30秒跳繩決賽

解B.由題意知，進入立定跳遠決賽的8人是1號到8號，又同時進入立定跳遠決賽

和30秒跳繩決賽的有6人，所以1號到8號中僅有2人30秒跳繩沒有進入決賽.

假設30秒跳繩63次沒有進入決賽，則必有1號、4號、5號這3人沒有進入決賽.

前后矛盾！所以30秒跳繩63次必進入決賽，選B.

理科第8題袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）.

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

解法1B.設袋中的紅球、黑球各n（n∈N*）個，最后甲盒中的紅球、黑球個數分別是x1，y1；乙盒中的紅球、黑球個數分別是x2，y2；丙盒中的紅球、黑球個數分別是x3，y3.

因為“每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒”，所以

x1+y1=n，x2+y2+x3+y3=n

x2+y2=x1①

x3+y3=y1②

還可得三個盒子中紅球、黑球的總個數都是n，即

x1+x2+x3=n③

y1+y2+y3=n④

①-②+③-④，可得x2=y3，即乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多.

解法2B.從袋中取兩個球往盒子中放共有4種情形：

①取出的是兩個紅球，得乙盒中紅球數增加1個；

②取出的是兩個黑球，得丙盒中黑球數增加1個；

③取出的是一個紅球和一個黑球且紅球放入甲盒中，得乙盒中黑球數增加1個；

④取出的是一個紅球和一個黑球且黑球放入甲盒中，得丙盒中紅球數增加1個.

因為紅球和黑球個數一樣，所以①和②的情形一樣多，③和④的情形隨機出現.

③和④對選項B中的乙盒中的紅球數與丙盒中的黑球數無影響.

①和②出現的次數是一樣的，所以對選項B中的乙盒中的紅球數與丙盒中的黑球數的影響次數一樣.

綜上所述可得，本題選B.

注文科、理科第8題（還包括文科第18題）對考生的閱讀能力考查較深，源于生活.復習備考時，若只埋頭于“題海戰(zhàn)術”而不注重于數學素養(yǎng)的提高，對于此類問題就毫無辦法.

文科第14題某網店統計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網店

①第一天售出但第二天未售出的商品有種；

②這三天售出的商品最少有種.

14.①16；②29.

解如圖5所示，區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品種類；區(qū)域Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ分別表示在第一天與第二天、第二天與第三天、第一天與第三天售出的商品種類；區(qū)域Ⅶ表示在三天都售出的商品種類.

第②問：可得這三天售出的商品種數為19+13+18-（3+4+x6+x7）+x7=43-x6，

由③⑤可得x3+x6=14≥x6，所以這三天售出的商品種數43-x6≥43-14=29.

進而還可得，當且僅當

（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）=（2，6，0，3，4，14，0），（2，7，0，2，3，14，1），

（2，8，0，1，2，14，2），或（2，9，0，0，1，14，3）

時，這三天售出的商品總數取到最小值29.

注本題第②問的背景是容斥原理.

理科第14題設函數f（x）=x3-3x，x≤a，

-2x，x>a.

（1）若a=0，則f（x）的最大值為；

（2）若f（x）無最大值，則實數a的取值范圍是.

解（1）2；（2）（-∞，-1）.

設函數y=x3-3x（x∈R），得y′=3（x+1）（x-1），所以函數y在（-∞，-1），（1，+∞）上均是增函數，在（-1，1）上是減函數，當且僅當x=-1時y極大值=2，當且僅當x=1時y極小值=-2.

從而可作出函數y=x3-3x（x∈R）及y=-2x（x∈R）的圖象如圖6所示：

由圖6可得兩問的答案：

（1）f（x）max=f-1=2.

（2）當a<-1時，函數y=-2x在x>a時無最大值，且-2a>（x3-3x）max，得此時f（x）無最大值.當-1≤a<2時，函數f（x）有最大值且最大值是f（-1）=2；當a≥2時，函數f（x）有最大值且最大值是f（a）.綜上所述，可得所求實數a的取值范圍是（-∞，-1）.

注本題的解法就是數形結合與分類討論.

理科第16題A，B，C三個班共有100名學生，為調查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數據如下表（單位：小時）；

（1）（2）略.

（3）再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學生，他們在該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記μ1，表格中數據的平均數記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小.（結論不要求證明）

解（3）μ0>μ1.因為在表中容易看出A班，B班，C班所給數據的平均數分別是7，9，8.25，所以表格中數據的平均數為μ0=5×7+7×9+8×8.255+7+8=16420=8.2.

而新加的三個數據7，9，8.25的平均數約為8.08，比μ0小，所以μ0>μ1.

注“（結論不要求證明）”一直是近幾年高考數學北京卷的又一特色，從表面上來看貌似減輕了考生的書寫負擔、對表達能力要求極低，而實際上對考生的判斷能力（包括合情推理、邏輯推理）、數學素養(yǎng)要求卻很高，甚至高到沒有上限.4高考復習備考建議

關于高三復習備考，筆者在文獻[2—4]中已闡述了一些有益的建議；關于數學教學，筆者在文獻[5—9]中也作了較為詳盡的論述.讀者研讀它們后，可能會有所裨益.下面再強調五點：

（1）第一輪復習要夯實基礎.

當前高中教學的流行做法是，兩年結束新課，一年全面復習.但在高一、高二學習數學新課時，確實有因教學內容多、進度快而使學生沒有掌握好基礎知識的可能不在少數，所以在第一輪復習時要彌補這些不足，要注重基礎，逐步提高學生的解題能力，開始的題目不能過難，要增強學生的自信心，不要出現從一開始班上就有幾個學生決定放棄學數學的情形，而應出現從一開始班上就有不少學生因上新課時沒有學好而通過第一輪復習對數學越來越有信心了.也就是說，第一輪復習時，還是要注重培養(yǎng)學生的興趣和自信心.

給學生布置作業(yè)時，要注意習題的難易順序.一般來說，對于某一知識，簡單題沒做好，難題一定做不好；若難題已經做好了，簡單題就不必再做了.所以應當先做簡單題，再做難題，最后做綜合題.老師的教學（包括解題教學），不可“深一腳淺一腳”，這樣會導致“學生很怕數學”.

（2）要注重回歸課本，不要過多地依賴于教輔資料，更不能迷戀于題海戰(zhàn)術.

高三師生不能只顧忙于做題：做、講（聽）完一本資料又一本資料，這樣才放心.實際上，這是最低效的高三復習備考，也會使高三老師變得越來越懶惰，越來越沒有創(chuàng)造力，越來越平庸！老師應當根據復習內容重新備知識點備學生、精心選題（高考題、模擬題也不一定適合當前的復習，應有一定數量的課本改編題和原創(chuàng)題，可鼓勵學生參與原創(chuàng)題的編擬），提高復習備考效率，不要做無用功甚至是反效的事.

另外，老師在選題講題時要注重通性通法和概念教學，淡化特技.對于難題要多鉆研，盡量找到思路自然的解法，不要過多地依賴于參考答案，別讓參考答案禁錮了解題者的思維[10].

（3）復習備考要讓學生感到心里有底，這是高效復習和減輕學生學習負擔的重要途徑之一和必由之路.

怎樣的復習可以使學生感到心里有底呢？關鍵在老師，老師要能把解法、思想、技巧講清楚、說明白，決不可把參考答案照本宣科（老師做題不看答案是替學生著想的表現，講解才可能自然），老師要多做研究，盡量使你的解法能適合一類題目，學生才可能感到心里有底.

比如，對于數列求和的錯位相減法，如何復習，按照文獻[11]的復習就可使學生感到心里有底.

（4）注重主干知識、聚焦核心考點、重視高頻考點.

我們要清楚，在每份高考試卷中絕大部分題都很基礎，所以在復習備考時要特別重視高頻考點，不要把高三復習備考變成了競賽輔導.到了高三后期，老師不要對學生做過多的統一講解，應以個別答疑、輔導為主.

（5）高中數學教學永遠要做好的四個關鍵詞：夯實基礎、激發(fā)興趣、著眼高考、適當提高.

參考文獻

[1]甘志國.把幾何體放置在長方體中來求解三視圖問題是一種好方法[J].數學教學，2015（12）：23-26

[2]甘志國.應對高考需要研究性備考——兼評2008年高考試題陜西卷（理科）壓軸題[J].中學數學研究（廣州），2009（5）：28-30

[3]甘志國.2011年湖北高考數學卷創(chuàng)新點預測[J].數學通訊，2011（3下）：45-50

[4]甘志國.為2010年的高考數學湖北卷叫好[J].數學通訊，2010（8下）：46-50

[5]甘志國.數學教學要注意有效性原則和可接受性原則[J].數學教學，2010（5）：8-9，封底

[6]甘志國.“思、探、練、變、提”的解題教學[J].中小學數學（高中）：2009（12）：7

[7]甘志國.數學教學更需要“慢教育”[J].中學數學月刊，2010（3）：22-23

[8]甘志國.教育者也要關注另一個1%——談數學特困生的成長[J].中國數學教育（高中）2011（1～2）：16-19

[9]甘志國.利滾利、漂洗衣服與題海戰(zhàn)術[J].中小學數學（高中）：2011（3）：8-10

[10]甘志國.別讓參考答案禁錮了解題者的思維[J].數學教學研究，2012（7）：37-42

[11]甘志國.用裂項法和待定系數法求Sn是通法[J].中學數學研究（廣州），2012（12）：29-33