晁冉冉　傅海倫

【摘要】

數(shù)學命題的學習要比數(shù)學概念的學習復雜得多，本文試以“排列”這一節(jié)為例，從知識掌握的領(lǐng)會、鞏固和應用三個階段對“排列”這一內(nèi)容進行教學設(shè)計研究，以說明如何進行數(shù)學命題學習理論下的學與教.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學命題；學習理論；排列組合；教學設(shè)計

教師只有深入地了解數(shù)學學習的內(nèi)部過程，把握其內(nèi)部機制，才能對數(shù)學學習過程中的各種現(xiàn)象的因果關(guān)系作出準確判斷，真正做到有的放矢.數(shù)學命題（原理）一般由若干個概念組成，數(shù)學命題的學習實際上就是數(shù)學概念之間關(guān)系的學習，然而數(shù)學命題的學習要比數(shù)學概念的學習復雜得多.下面就以“排列”為例，以說明如何進行數(shù)學命題學習理論下的學與教.1數(shù)學命題知識結(jié)構(gòu)的整體性

不同的數(shù)學原理有不同的概括水平，在每一概括水平上，儲存了可以用來區(qū)分其他水平的屬性.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法，因此它們儲存在最高水平；而排列、組合是兩類特殊的計數(shù)問題，而獲得排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基本思想和工具就是兩個計數(shù)原理，所以排列與排列數(shù)公式、組合與組合數(shù)公式儲存在比兩個基本原理低一級的水平；二項式定理是排列、組合知識的應用，因此它在排列、組合低一級的水平上[1].因此，要學好排列、組合問題，必須學好分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.筆者認為在引入排列、組合有關(guān)的命題時，要對兩個基本原理進行復習回憶.將新知識恰當?shù)厍度雽W生的原有認知結(jié)構(gòu)中.2數(shù)學命題知識過程的掌握環(huán)節(jié)

從奧蘇貝爾的有意義接受學習理論出發(fā)，我國著名心理學家馮仲良以此理論為基礎(chǔ)，提出了知識掌握的領(lǐng)會、鞏固、應用三階段理論.這種觀點認為，要掌握知識，首先應領(lǐng)會知識，然后在頭腦中將領(lǐng)會的知識加以鞏固，從而在實際中去應用知識，以便得到進一步的檢查和充實[2].

2.1“排列”學習的領(lǐng)會階段

學生知識掌握的領(lǐng)會階段又要經(jīng)歷三個環(huán)節(jié)，即聯(lián)結(jié)、精加工和組織.教師要針對這三個環(huán)節(jié)，進行不同的設(shè)置.

（1）聯(lián)結(jié)環(huán)節(jié)：學生在該環(huán)節(jié)，接受新知識的刺激，知覺到語言符號信息進入工作記憶，并激活長時記憶中的相關(guān)知識，這些新舊知識在工作記憶中被聯(lián)系起來構(gòu)成新命題（或形成假設(shè)）[3].在給出“排列”的定義時，學生長時記憶中的兩個基本原理等相關(guān)知識被激活，因此教師在給出“排列”以及“排列數(shù)”的定義時，要給學生留有思考的時間，讓學生思考“排列”與兩個基本原理的關(guān)系.

（2）精加工環(huán)節(jié)：學生在該環(huán)節(jié)中，要利用被激活的長時記憶中的相關(guān)知識對新命題的正確性進行邏輯推理論證而形成新的原理（定理、法則等），分析出新舊知識間的新聯(lián)系，使新舊知識融會貫通，形成組塊，同時要盡量推出新的命題，并不斷激活和吸納更多的已有知識參與加工，使新知識與已有認知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系更加緊密、全面[3].

教師利用兩個基本原理，讓學生經(jīng)歷推導出“排列數(shù)公式”的過程，讓學生了解到“排列”的本質(zhì)也是一種計數(shù)方法，“排列數(shù)公式”也是一種特殊的計數(shù)公式.將這一知識點和兩個計數(shù)基本原理建立新的聯(lián)系，使新舊知識融會貫通.

（3）組織環(huán)節(jié)：學生在該環(huán)節(jié)，需要將信息進行分類整理，并按照相互之間的類屬關(guān)系進行編碼，從而為一組信息建立一個合理有序的知識結(jié)構(gòu)，成為一個有機整體[3].學生在將新舊知識進行聯(lián)系后，原有的認知結(jié)構(gòu)進行重組，教師可以通過畫知識結(jié)構(gòu)框圖使學生的新舊知識成為一個有機整體.

2.2“排列”學習的鞏固階段

知識的鞏固是通過主動復習而實現(xiàn)的.如果不能及時地進行主動復習，新學習的知識可能會被遺忘，只有當再次復習時，新舊知識的聯(lián)系才更緊密.因此，教師在講完“排列與組合”這一節(jié)時，一定要給出適當?shù)木毩曇约霸诮窈蟮膶W習中及時地進行復習.

2.3“排列”學習的應用階段

知識的應用涉及知識的提取和重構(gòu).在解答問題、學習新知的過程中，必然需要應用已有知識，應用的實質(zhì)是知識的提取和重構(gòu)，這是通過激活的擴張而實現(xiàn)的.例如，在學習“排列”的有關(guān)知識后，讓學生解答：

“從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？”

學生通過知識的提取和重構(gòu)將問題轉(zhuǎn)化為“從除去第二個節(jié)目的位置后，剩下的9個位置選一個安排女演員的獨唱節(jié)目，安排下女演員的獨唱節(jié)目后，將剩下的5個節(jié)目隨機排列在其余的9個位置上”即得到A19A59=136080.3“排列”學習的教學設(shè)計

（一）教學目標

（1）能夠區(qū)分所研究問題是否是排列問題；

（2）掌握排列數(shù)的計算公式；

（3）熟練應用排列問題的常見解題方法，體會到數(shù)學方法的多樣性

（4）培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.

（二）教學重點

排列數(shù)在解決實際問題中的應用.

（三）教學難點

解決實際問題時的思路分析.

（四）教學過程

1、復習舊知，引入新知

師：上一節(jié)我們已經(jīng)學過分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，請同學們回憶一下，什么是分類加法計數(shù)原理？什么是分步乘法計數(shù)原理？

設(shè)計意圖（1）檢查學生和新課有關(guān)知識的掌握程度；（2）刺激學生的原有認知結(jié)構(gòu)，為新課與舊課的融會貫通埋下伏筆.

生1：分類加法計數(shù)原理是做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

生2：分步乘法原理是做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法.

師：這兩名同學回答的非常好，現(xiàn)在我相信在這兩個同學回答的同時，其他的同學也都掌握了這兩個基本原理，現(xiàn)在我們來分析兩個問題，看看有沒有更簡單的計數(shù)方法？

問題1從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？

觀察、分析學生的解題方法：學生在看到此題時，迅速對自己的知識進行提取與重組，將問題轉(zhuǎn)化為：從甲、乙、丙3名同學中每次選出2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法.

在了解學生的解題方法的同時，老師明白了學生的思考過程，如果某些學生不能很好地將以前的知識進行提取，老師要進行適當?shù)奶崾?最后，老師進行統(tǒng)一講解：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，先選參加上午活動的同學共有3種選法，再選參加下午活動的同學共有2種選法，因此要想完成這件事情，共有3×2=6種選法.

師：上面這個問題如果我們把具體的選法寫出來就是：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.像這樣我們就可以說，從3個不同的元素中取2個，然后按照一定的順序排成一列，一共有3×2=6種不同的排列方法.

問題2從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出三個排成一個三位數(shù)，一共可得到多少個不同的三位數(shù)？

師：問題2與問題1有相似之處，這個問題我們可不可以轉(zhuǎn)化為：從4個數(shù)字中，每次取出3個，按“百”、“十”、“個”位的順序排成一列，就得到一個三位數(shù)，因此，有多少不同的排法就有多少不同的三位數(shù)？

設(shè)計意圖用疑問的語氣提出此問題，既為學生做了適當?shù)奶崾?，又可以讓學生積極思考老師的話是否正確.

在老師的提示下，學生給出答案：4×3×2=24種.

師：我們一起寫出所有的三位數(shù)為：

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.

像這樣我們就可以說，從4個不同的元素中取3個，然后按照一定的順序排成一列，一共有4×3×2=24種不同的排列方法.

師：問題1和問題2的共同特點是什么，能將它們推廣到一般情形嗎？

設(shè)計意圖老師提問，學生自己歸納，從而提高學生的歸納、分析問題的能力以及數(shù)學語言表達的能力.最后在學生歸納的基礎(chǔ)上總結(jié)、完善排列的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個排列.

為了使學生了解“排列”這一定義的本質(zhì)，講解問題2中的，123與134因為數(shù)字取得不同因此是不同的排列，123與132即使數(shù)字完全相同，因為順序不同，也是不同的排列.

師：所有不同的排列個數(shù)就稱為排列數(shù)，即從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Amn表示.

2、探究公式，理解本質(zhì)

師：在前面兩個問題中，我們可以知道A23=6，A34=24.那么A2n、A3n、Amn，各是多少呢？聯(lián)系問題1和問題2，小組討論一下，A2n我們可以把它看成什么？

設(shè)計意圖這一抽象的數(shù)學符號不好理解，讓學生嘗試把它還原到實際情景的問題中，就能容易理解.然后經(jīng)過小組討論與合作，在激烈的爭論中，使自己的認知結(jié)構(gòu)在同化和順應的基礎(chǔ)上，達到暫時的平衡.

生3：可以看成從n個元素中取2個元素，得到的排列數(shù)，可以用分步乘法計數(shù)原理，分為兩步，可以得到A2n=n（n-1）；同理A3n可以看成從n個元素中取3個元素，得到的排列數(shù)，可以用分步乘法計數(shù)原理，分為三步，得到A3n=n（n-1）（n-2）.

師：非常好，一般地我們就可以得到Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），這里n，m都是正整數(shù)，并且m≤n.這個公式就叫做排列數(shù)公式.特別地，當m=n時，即從n個不同的元素中全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，記為Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1.

3、練習鞏固，學以致用

例1：（1）寫出從4個不同的元素中任取2個元素的所有排列；

（2）寫出從5個不同的元素中任取3個元素的所有排列.

設(shè)計意圖雖然此題比較簡單，但是卻能讓學生理解排列的本質(zhì)是什么（即排列也是一種計數(shù)方式）；并且讓學生明白只有滿足什么條件時才是一種排列.

例2：（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5本不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？

設(shè)計意圖讓學生分析這兩個問題的區(qū)別，并且說出哪個是排列問題？哪個不是？為什么？可以提高學生的辨別能力，促進學生的理解.

例3：用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？盡可能嘗試用不同的解法.

設(shè)計意圖使學生從不同的思路去思考解答此題，訓練學生分析問題的能力.

例4：證明：Amn=n?。╪-m）！.

設(shè)計意圖此公式在以后的學習中有著廣泛的用途，是概率統(tǒng)計問題的工具，因此作為例題的形式，使學生不但記住，而且會推導.

（五）鞏固練習，加強記憶

在此環(huán)節(jié)，教師可根據(jù)學生課堂的反映情況，對不同的學生進行針對性的訓練（這里不再進行習題的設(shè)置），以鞏固新知.

（六）回顧總結(jié)，歸納提升

在這節(jié)課的結(jié)束前，教師應領(lǐng)著學生進行回顧總結(jié)這一節(jié)課學習的內(nèi)容，可以先讓學生敘述這一節(jié)課學習的主要內(nèi)容，然后教師再進行總結(jié)、歸納和提升，將新學習的知識納入原有的知識體系之中.即便教學設(shè)計再完美，一堂課也不可能完全照教案下來，此時教師一定要在此基礎(chǔ)上，查缺補漏，幫助學生明白自己的學習目標，應該了解什么，理解什么，掌握什么，還會應用什么，以幫助學生在建構(gòu)關(guān)于“排列”的合理有序的知識結(jié)構(gòu)的前提下，通過積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，最終形成學生良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

參考文獻

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：146

[2]趙維和，雷鳳蘭，任曙光等.一種新的知識掌握階段理論[J].湖南中學物理·教育前沿，2009（5）：46-47

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：148