楊宏權(quán)

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數(shù)學(xué)課堂，“智慧生長”的好地方
——以蘇教版六下《面積的變化》的教學(xué)為例

楊宏權(quán)

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)課堂；智慧生長；智慧數(shù)學(xué)

科帶頭人。

數(shù)學(xué)的美蘊(yùn)藏著至簡至和的智慧，數(shù)學(xué)的理性蘊(yùn)藏著至真至通的智慧，數(shù)學(xué)的自由蘊(yùn)藏著創(chuàng)造探索的智慧。數(shù)學(xué)課堂則以系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識為載體去豐富學(xué)生的智慧，使學(xué)生變得更聰明，更睿智，可以這樣說，數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生“智慧生長”的好地方。江蘇省著名特級教師陳士文提出的“智慧數(shù)學(xué)”，其內(nèi)涵可概括為“六性”，即：整體性、多向性、探索性、簡潔性、抽象性、和諧性?！爸腔蹟?shù)學(xué)”的課堂凸顯數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，充分挖掘每個(gè)智慧點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生智慧成長。下面，筆者以蘇教版六下《面積的變化》一課的教學(xué)為例，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考。

一、從“一次爭論”說起

出示：3cm的線段和比例尺1∶1000。

學(xué)生回憶什么是比例尺，并算出3厘米線段的實(shí)際距離（板書：長度比）。

出示：活動室平面圖（如圖1）。

（圖1）

在解決“求活動室實(shí)際面積到底有多大”時(shí)，引出兩位同學(xué)的爭論。

生1：2×3=6（平方厘米），6×1000=6000（平方厘米），6000平方厘米=0.6平方米。

生2：2×3=6（平方厘米），6×1000×1000=6000000（平方厘米），6000000平方厘米=600平方米。

引出猜想：面積比與長度比，會有什么樣的關(guān)系呢？（板書：面積比）

通過 “你打算采用什么樣的方法來研究這個(gè)問題”，激發(fā)學(xué)生思考，通過生生互動交流，初步形成可以通過畫圖形、放大、算一算等方法進(jìn)行舉例判斷的探究途徑。

借助“爭論”暴露認(rèn)知沖突，激發(fā)好奇心，引發(fā)學(xué)生大膽猜想。有了猜想就會想方設(shè)法尋找解決問題的途徑，這樣不僅激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，同時(shí)也使學(xué)生明確了探究的目標(biāo)。

二、由長度比到面積比

以長方形為例（如圖2），讓學(xué)生選一選，哪個(gè)長方形是原長方形放大后的圖形？按什么比放大的？（板書：3∶1）

（圖2）

接著讓學(xué)生算一算大長方形與小長方形的面積比。從而得出：大長方形與小長方形的面積比是9∶1。（板書：9∶1）

以上例證，已讓學(xué)生明白 “長度比不等于面積比”，那“面積比可能與長度比存在怎樣的關(guān)系”呢？從而引發(fā)學(xué)生二次猜想 （面積比可能等于長度比的平方）。教師引導(dǎo)學(xué)生討論：根據(jù)一個(gè)例子我們能說面積比就一定等于長度比的平方嗎？（不能）從而得出：要想知道這一猜想是否具有普遍性，可以再舉些例子進(jìn)行驗(yàn)證。

出示：如果將小長方形按（）∶（）的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是（）∶（）。

學(xué)生自由選擇，獨(dú)立完成。得出：把一個(gè)長方形按n∶1的比放大，放大后與放大前長方形的面積比是n2∶1。

教師再次激疑：通過舉例驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律適合長方形，那它是否也適用于其他平面圖形呢？從而將學(xué)生的探索思維引向其他平面圖形。學(xué)生根據(jù)前面的探究經(jīng)驗(yàn)，選擇不同的平面圖形再次進(jìn)行驗(yàn)證，最后得出規(guī)律：把一個(gè)平面圖形按n∶1的比放大，放大后與放大前圖形的面積比是n2∶1。

以單一長方形作為規(guī)律研究對象，雖然改變了教材中所呈現(xiàn)的內(nèi)容，但它能聚焦問題，使學(xué)生較為容易地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)長方形的長度比與面積比的關(guān)系，以此積累豐富的探究經(jīng)驗(yàn)，為接下來多角度探究規(guī)律提供范式。在研究不同平面圖形長度比與面積比之間關(guān)系時(shí)，教者讓學(xué)生自主選擇材料，合作研究，共商探究結(jié)果，照顧了學(xué)生差異，培養(yǎng)了學(xué)生自主探究的能力和合作的意識，讓每個(gè)學(xué)生都能獲得最大限度的發(fā)展。

三、追根溯源，揭示規(guī)律本質(zhì)

教師引導(dǎo)：剛才我們得出的規(guī)律雖然已經(jīng)通過實(shí)踐的檢驗(yàn)，但是一個(gè)結(jié)論的得出還需通過科學(xué)的認(rèn)證。以長方形為例，出示平面圖（如圖3）。

（圖3）

引導(dǎo)學(xué)生對比上下這兩道算式，并用以前所學(xué)的知識來解釋面積的變化規(guī)律，得出：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大n倍，另一個(gè)因數(shù)也擴(kuò)大n倍，積就擴(kuò)大n2倍。從而通過積的變化規(guī)律，揭示面積變化規(guī)律中的奧秘。

教學(xué)中，我們不僅要讓學(xué)生知道“是什么”，更要帶領(lǐng)學(xué)生一起追溯現(xiàn)象的本質(zhì)，即規(guī)律的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？也就是我們通常所說的“為什么”。讓學(xué)生經(jīng)歷例證得出猜想，論證揭示本質(zhì)的全過程，使學(xué)生形成 “只有能根據(jù)確實(shí)可靠的已有知識進(jìn)行嚴(yán)格論證的猜想才是確實(shí)可靠的”科學(xué)認(rèn)知，逐步樹立科學(xué)研究的意識。

四、由n2∶1想到的……

教師再次激疑：根據(jù)長度比，如果給你大膽猜想的機(jī)會，你還會有哪些猜想呢？引導(dǎo)學(xué)生從面積，想到周長，再從平面圖形想到立體圖形，并得出如下知識網(wǎng)絡(luò)。

學(xué)生有了猜想后，可試著讓學(xué)生驗(yàn)證一下。

全班匯報(bào)、交流。

從面積的變化（二維空間），回顧到周長變化（一維空間），再拓展到體積變化（三維空間），豐富了學(xué)生觀察物體的角度，豐滿了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)也拓寬了學(xué)生的思維空間。

【教后反思】

1從“一維”走向“三維”。

世界是一個(gè)有聯(lián)系的整體，我們的教材設(shè)計(jì)要從整體出發(fā)，在知識的來龍去脈中培養(yǎng)學(xué)生整體的眼光、整體的思維，感悟智慧的生長?！睹娣e的變化》這節(jié)課教材介紹了從長度比向面積比的規(guī)律探索。長度屬于一維空間的范疇，而面積則屬于二維空間，它是由長度和寬度（在幾何學(xué)中為x軸和y軸）兩個(gè)要素所組成的平面空間。從長度比向面積比，其實(shí)是一維空間向二維空間的探索過程，由于此時(shí)的學(xué)生已建立了立體圖形的概念（即三維空間），從整體性的角度思考，我們能不能從長度比再引導(dǎo)學(xué)生向三維空間（立體圖形）的體積比進(jìn)行探索呢？教學(xué)實(shí)踐告訴我們完全可行。為此，課始我們通過比例尺的復(fù)習(xí)（一維空間），過渡到面積比的探索（二維空間），再到最后的知識總結(jié)與提升階段，激發(fā)學(xué)生對體積比產(chǎn)生新的猜想，將學(xué)生的思維引向三維空間，數(shù)學(xué)智慧就在此得以生長。

2.從“是什么”走向“為什么”。

數(shù)學(xué)不是停留在“生活劇”中，數(shù)學(xué)追求深度思考的價(jià)值，不是停留在簡單的表面現(xiàn)象或是實(shí)際應(yīng)用上?！睹娣e的變化》這部分內(nèi)容在比例尺的知識基礎(chǔ)上，通過對比例尺1∶n的圖上面積與實(shí)際面積的比的研究，推理歸納出他們的面積比是1∶n2。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教師也往往通過計(jì)算平面圖形的圖上面積和實(shí)際面積的比，來找到變化的規(guī)律，對規(guī)律背后的本質(zhì)問題，為什么會這樣變化卻只字不提。這種研究僅僅局限在找現(xiàn)象規(guī)律，而數(shù)學(xué)是對現(xiàn)象的本質(zhì)分析和探索，用數(shù)學(xué)方法研究這種現(xiàn)象，揭示現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是我們每個(gè)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該追尋的。面積屬于二維空間，它的大小決定于長度和寬度兩個(gè)變化量，這種變化的本質(zhì)其實(shí)源起學(xué)生已學(xué)的積的變化規(guī)律。為此在學(xué)生通過歸納得出面積比的規(guī)律后，通過教師引導(dǎo)，追溯到規(guī)律的數(shù)學(xué)本質(zhì)是積的變化規(guī)律。這種讓學(xué)生探究現(xiàn)象背后數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程，能促進(jìn)學(xué)生舉一反三，提高學(xué)習(xí)效率，更能讓每個(gè)學(xué)生獲得更大的思維發(fā)展。

3.從“知識傳授”走向“素養(yǎng)形成”。

數(shù)學(xué)教學(xué)活動是一種探索活動，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、想象、直覺、猜測、檢驗(yàn)等活動，經(jīng)歷智慧的生長過程。而智慧的生長僅僅靠知識的傳授是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，為此，我們就在思考，在教學(xué)《面積的變化》內(nèi)容的同時(shí)，我們應(yīng)如何促進(jìn)學(xué)生的智慧生長？教學(xué)時(shí)，我們通過“爭論”引發(fā)學(xué)生的思考沖突，并通過長方形放大前后的比較引導(dǎo)學(xué)生直覺猜想，并通過計(jì)算比較，佐證猜想的正確。此時(shí)，又告訴學(xué)生一個(gè)特例的正確，還不能完全證明猜想正確性。從而引發(fā)學(xué)生用不同平面圖形的面積變化進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證猜想的合理性。然后又通過激發(fā)學(xué)生通過舊知，即積的變化規(guī)律進(jìn)一步論證猜想的科學(xué)性，最后通過總結(jié)得出縝密的規(guī)律。這樣讓學(xué)生經(jīng)歷 “猜想—檢驗(yàn)—論證—總結(jié)”的四個(gè)環(huán)節(jié)，循序漸進(jìn)，步步深入，直覺思維與邏輯思維相互映照，這是學(xué)生形成科學(xué)研究素養(yǎng)的過程。在這一挑戰(zhàn)自我的過程中，學(xué)生的問題意識得以形成，科學(xué)方法論得以體驗(yàn)，創(chuàng)新意識得以迸發(fā)，智慧得以生長。

【中圖分類號】G623.5

【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A

【文章編號】1005-6009（2016）26-0061-03

【作者簡介】楊宏權(quán)，江蘇省揚(yáng)州市育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇揚(yáng)州，225000），高級教師，揚(yáng)州市數(shù)學(xué)學(xué)