☉江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)　何麗華

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從“一題多解”走向“結(jié)構(gòu)洞察”
——以南通通州?？季淼?8題為例

☉江蘇省常州市金壇區(qū)白塔中學(xué)何麗華

一、寫在前面

根據(jù)筆者多年來(lái)對(duì)全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)卷的收集、分類、研究發(fā)現(xiàn)，以二次函數(shù)為背景的中考把關(guān)題占相當(dāng)大的比例，不少二次函數(shù)問(wèn)題除了初始設(shè)問(wèn)還與函數(shù)有關(guān)，之后的一些較難設(shè)問(wèn)往往以平面幾何中較為復(fù)雜的相似構(gòu)造作為解題障礙點(diǎn)，使得函數(shù)題的函數(shù)味道淡了，幾何味濃了.但是近來(lái)在網(wǎng)上檢索發(fā)現(xiàn)江蘇省南通市通州區(qū)中考一模試卷的把關(guān)題卻能很好地兼顧函數(shù)味、數(shù)學(xué)味，成為一道原創(chuàng)度很高的函數(shù)綜合題，本文先呈現(xiàn)該題及思路突破，最后給出相關(guān)教學(xué)和命題思考，供研討.

二、模考題的思路突破與解后反思

?？碱}（2016年4月江蘇省南通市通州區(qū)?？季?，第28題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a的對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3）.

（1）求a、b的值；

（3）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，C是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠ACB=45°，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）由（1）可知：a=-1，b=2，則拋物線為y=-x2+2x+3.聯(lián)立拋物線、直線的解析式后消元可得3），整理成關(guān)于x的一元二次方程：mx2-（2m+1）x-3m+3= 0，該方程兩實(shí)數(shù)根為x1、x2，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），得，于是，即動(dòng)點(diǎn)M（m，n）就是，這樣我們就獲得了重要進(jìn)展，它所形成的曲線為再把分別代入曲線中，可得y0=1，x0=2.最后根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)直線PQ的解析式為y=px+q，則解得即

（3）可以先構(gòu)思草圖分析，如圖1，設(shè)點(diǎn)C在拋物線上，連接AC、BC，則∠ACB應(yīng)該為45°.

圖1

然而這個(gè)問(wèn)題的思路是困難的，很少有模型直接轉(zhuǎn)化過(guò)去，也是解這道把關(guān)題最大的障礙所在.現(xiàn)在先給出一種突破的思路，比如過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，在x軸上取一點(diǎn)D，使得DE=CE，連接CD，容易確認(rèn)∠CDA=45°.

至此，應(yīng)該得出∠ACB=∠CDA，從而發(fā)現(xiàn)我們構(gòu)造出了△ACB∽△ADC，于是，即AC2=AB·AD.

圖2

圖3

設(shè)點(diǎn)C（x，y），其中y=-x2+2x+3＜0，則D（x-y，0），AD= x-y+1.又AB=4，AC2=（x+1）2+y2，則（x+1）2+y2=4（x-y+1），所以y2+4y-（-x2+2x+3）=0.而-x2+2x+3=y，所以y2+3y=0，解得y=-3或y=0（舍去）.當(dāng)y=-3時(shí)，-x2+2x+3=-3，解得x=.即點(diǎn)C的坐標(biāo)為或

殊途同歸：上面解法的主要難點(diǎn)在于構(gòu)造出△ACB∽△ADC，如果能受到“一線三等角”模式的啟發(fā)，也可以進(jìn)行如下構(gòu)造，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，如圖3.設(shè)點(diǎn)C為拋物線上符合題意的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線，交拋物線于另一點(diǎn)D，在直線CD上取點(diǎn)M、N，使∠AMC= ∠BNC=45°，于是構(gòu)造出“一線三等角”模型，則△AMC∽△CNB，從而有接著兩條直線方程需要解讀出來(lái)，即直線AM：y=x+1，直線BN：y=-x+3，這樣設(shè)點(diǎn)C（c，-c2+2c +3），代入比例式中，可得，這是一個(gè)高次方程，整體換元降次后，解得與上面的解答殊途同歸.

結(jié)構(gòu)揭示：上面對(duì)于（3）的求解需要較強(qiáng)的構(gòu)造、轉(zhuǎn)化能力，而且對(duì)問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)也缺少必要的揭示.以下再圍繞45°這個(gè)重要的信息，基于圓周角與圓心角的關(guān)系揭示該題的深層結(jié)構(gòu).

如圖4，在拋物線對(duì)稱軸（直線x=1）上取一點(diǎn)G，使△ABG為等腰直角三角形，此時(shí)G（1，-2），以點(diǎn)G為圓心、GA為半徑作圓G，則該圓與拋物線相交于4個(gè)點(diǎn)A、 B、C、C′.根據(jù)圓周角等圓心角的一半45°，于是可以確認(rèn)點(diǎn)C、C′為所求.接下來(lái)就是設(shè)法求出點(diǎn)C的坐標(biāo)（另一個(gè)點(diǎn)C′可以根據(jù)對(duì)稱性獲得）.

圖4

圖5

如圖5，構(gòu)造Rt△GCH，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x，-x2+2x+ 3），則用含x的式子表示出GH、CH的長(zhǎng)，分別是：GH=-2-（-x2+2x+3），CH=x-1，而GC是圓G的半徑，由勾股定理可得方程解這個(gè)高次方程得，x3=-1，x4=3.即C的坐標(biāo)為（1+或

三、導(dǎo)向之思

1.中考復(fù)習(xí)要重視“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題

據(jù)我們對(duì)各地中考題的關(guān)注和研究，當(dāng)前一種“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題較為“流行”，往往需要運(yùn)用待定系數(shù)法，逐個(gè)解出待定參數(shù)，有時(shí)待定參數(shù)不一定全部能得到求解，但是可以得到部分解決，比如原來(lái)有三個(gè)參數(shù)，但經(jīng)過(guò)分析可以將三個(gè)參數(shù)消元成一個(gè)參數(shù).教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，不少學(xué)生對(duì)“多參數(shù)”的函數(shù)綜合題適應(yīng)性不夠，主要原因是因?yàn)椤岸鄥?shù)”的偽裝，使得學(xué)生不易看到問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，甚至函數(shù)圖像在沒(méi)有確定時(shí)也不能有效構(gòu)造草圖分析，從而造成解題障礙.所以中考復(fù)習(xí)期間要循序漸進(jìn)式地訓(xùn)練“多參數(shù)”的綜合題，可以先安排1個(gè)參數(shù)的問(wèn)題，再逐漸過(guò)渡到2個(gè)或3個(gè)直至多個(gè)參數(shù)的問(wèn)題，讓學(xué)生熟練這類考題的突破策略.

2.拋物線與幾何綜合題突破要重視幾何模型

雖然有些專業(yè)雜志（如《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》）上散見(jiàn)批判偽拋物線考題的命題取向，從“理解數(shù)學(xué)”的高度看，把拋物線與平面幾何中較難的問(wèn)題組合在一起，往往考題的難點(diǎn)不是函數(shù)問(wèn)題，而是幾何圖形的構(gòu)造與識(shí)別，很多學(xué)生往往不能排除干擾，凸顯幾何模型，從而耗費(fèi)解題時(shí)間，難有突破.對(duì)于這類考題，應(yīng)對(duì)的策略就是要在平時(shí)解題教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)排除函數(shù)圖像的干擾，重新分離圖形、識(shí)別幾何模型.

四、命題商榷

命題也是遺憾的藝術(shù)，對(duì)于一道綜合題下的系列設(shè)問(wèn)如果不能緊密關(guān)聯(lián)，而是拼湊離散，則放在一個(gè)綜合題中就如同3個(gè)獨(dú)立小題，這種命題方式值得商榷.作為文末，本著命題改編的興趣，筆者也給出一種命題打磨，供研討.

打磨題：如圖6，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx-3a與x軸交于A、B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=1，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3）.

圖6

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（3）若Q是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，∠AQB=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

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3.季衛(wèi)東.變式取向：從“標(biāo)準(zhǔn)模式”到“非標(biāo)準(zhǔn)模式”——以“軸對(duì)稱最值問(wèn)題”解題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（3）.

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