劉書霞

【摘要】要科學(xué)有效地進(jìn)行高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，需要教師對(duì)《考試說(shuō)明》《高考大綱》理解深透、研究深入、把握到位.教師的講解、學(xué)生的練習(xí)體現(xiàn)階段性、層次性和漸進(jìn)性，做到減少重復(fù)、重點(diǎn)突出，讓大部分學(xué)生學(xué)有新意、學(xué)有收獲、學(xué)有發(fā)展.知識(shí)講解和練習(xí)檢測(cè)的內(nèi)容要具有科學(xué)性和針對(duì)性，概念清晰，查漏補(bǔ)缺，使學(xué)生形成系統(tǒng)化和條理化.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；設(shè)點(diǎn)；設(shè)斜率；定點(diǎn)；定值

有人說(shuō)：“高中是一本太匆促的書，在不知不覺(jué)之間，三年的時(shí)光，一千多頁(yè)就會(huì)這樣匆匆翻過(guò).”高三的時(shí)光更是尤顯短而快，而高三的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)充滿了敬畏的心，會(huì)花很多的時(shí)間，但效果很不明顯.高三數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)面廣、量大、時(shí)間緊，如何科學(xué)有效地進(jìn)行高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，是每一位教師值得深思的問(wèn)題.這里我就高三二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)，以解析幾何的課堂復(fù)習(xí)為背景進(jìn)行探討.（筆者所帶的班級(jí)是全年級(jí)理科最好的班級(jí)，本節(jié)課是鎮(zhèn)江丹徒中學(xué)全體數(shù)學(xué)教師來(lái)學(xué)習(xí)交流的一節(jié)課）

課堂鈴聲響起時(shí)，我找了成績(jī)?cè)诎嗉?jí)中等的三名學(xué)生到黑板上板書，題目如下：

設(shè)A，B分別為x21a2+y21b2=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)，1，312為橢圓上一點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距.

（1）求橢圓的方程；

（2）在準(zhǔn)線上任取點(diǎn)P（異于準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M，N，求證∠PBM為銳角.

生甲：（1）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x1，y1）準(zhǔn)線方程l：x=a21c=4，設(shè)P（4，t），A（-2，0），則AP：y=t16（x+2），聯(lián)立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韋達(dá)定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27.

同理可得N2t2-61t2+3，-6t1t2+3，

故有BM=-4t21t2+27，18t1t2+27，BN=-121t2+3，-6t1t2+3，

BM·BN=-4t21t2+27·-121t2+3+18t1t2+27·-6t1t2+3=-60t21（t2+27）（t2+3）<0，故有∠PBM為銳角.

生乙：（1）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x1，y1）準(zhǔn)線方程l：x=a21c=4，設(shè)P（4，t），A（-2，0），則AP：y=t16（x+2），聯(lián)立y=t16（x+2），

x214+y213=1，

得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0.

由韋達(dá)定理得-2+x1=-4t21t2+27，

解得x1=54-2t21t2+27，y1=t16（x1+2）=18t1t2+27，

故M54-2t21t2+27，18t1t2+27，故有BP=4+t2，

BM=54-2t21t2+27-22+18t1t2+272，

MP=54-2t21t2+27-42+18t1t2+27-t2.

但這名學(xué)生沒(méi)能繼續(xù)進(jìn)行下去.

生丙：（1）x214+y213=1；

（2）由題意知直線AP的斜率一定存在，故設(shè)直線AP：y=k（x+2），聯(lián)立y=k（x+2），

x214+y213=1，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0.

設(shè)M（x1，y1），由韋達(dá)定理得-2+x1=-16k213+4k2，

解得x1=6-8k213+4k2，y1=k（x1+2）=1213+4k2，

故有M6-8k213+4k2，1213+4k2，

聯(lián)立y=k（x+2），

x=4， 解得P（4，6k）.

故有BP=（2，6k），BM=-16k213+4k2，1213+4k2，

BP·BM=2·-16k213+4k2+6k·1213+4k2<0，

故有∠PBM為銳角.

學(xué)生大概花了十分鐘左右就完成了題目的解答，回到了座位上.這時(shí)我就拿到了題目與學(xué)生進(jìn)行分析.

第（1）問(wèn)是基本量的計(jì)算，沒(méi)有什么大的問(wèn)題，足夠細(xì)心就可以解決.第（2）問(wèn)要證明“∠PBM為銳角”，這一問(wèn)法是不是可以換成別的問(wèn)法，最后題目的本質(zhì)或解法不發(fā)生變化.學(xué)生就踴躍站起來(lái)說(shuō)出了自己的看法，如，B在以MP為直徑的圓外；延長(zhǎng)PB交橢圓于E，則∠MBE為鈍角；B在以ME為直徑的圓內(nèi).目的是培養(yǎng)學(xué)生自己在深刻理解題意后，學(xué)會(huì)改編題目，培養(yǎng)自己出題的能力.要證明“∠PBM為銳角”，生乙處理的方法有些不同，生乙想求出BP，PM，BM三邊長(zhǎng)，利用余弦定理來(lái)解決的，但是沒(méi)有進(jìn)行下去，主要還是計(jì)算能力不過(guò)關(guān)，不夠自信，導(dǎo)致最后失敗，生甲和生丙將∠PBM為銳角轉(zhuǎn)化為BM，BP的夾角為銳角的情況，計(jì)算量相對(duì)于乙要小一些，最后都證明出來(lái)了.但在具體處理的過(guò)程中甲和丙還是有區(qū)別的，甲設(shè)點(diǎn)，但是請(qǐng)學(xué)生們思考一下有沒(méi)有更好的設(shè)法，這時(shí)立馬有生丁提出設(shè)M更好，理由：設(shè)M可以避免直線與橢圓聯(lián)立求點(diǎn)，而直接是直線和直線聯(lián)立求P.“很好！”我?guī)ь^讓學(xué)生們?yōu)樗恼?然后我投影了該學(xué)生的解題過(guò)程.

生?。海?）x214+y213=1；

（2）設(shè)M（x0，y0），因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，

所以有y20=314（4-x20）.（1）

又因?yàn)辄c(diǎn)M異于頂點(diǎn)A，B，所以有-2

聯(lián)立y=y01x0+2（x+2），

x=4， 解得P4，6y01x0+2，

則有BM=（x0-2，y0），BP=2，6y01x0+2，

BP·BM=2x0-4+6y201x0+2.（2）

將（1）式代入（2）式化簡(jiǎn)得BP·BM=512（2-x0）.

又因?yàn)?20，

故有∠PBM為銳角.

看完了投影，全體學(xué)生為生丁鼓掌.所以，在課堂上我們要引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探索、去比較不同的設(shè)法和解法，從中體會(huì)解法的優(yōu)劣，不斷地積累自己所需要的方法.下面我又將題目的條件不變，問(wèn)題改了一下，來(lái)講解解析幾何里的定點(diǎn)、定值問(wèn)題.

變式1kMB·kPB是否為定值，若是，求出該定值，若不是，求出其取值范圍.

變式2延長(zhǎng)PB交橢圓于N，直線MN是否過(guò)某定點(diǎn).

變式3延長(zhǎng)MB交準(zhǔn)線于Q，求證以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

將班級(jí)學(xué)生分成三個(gè)小組，每組給出十分鐘的時(shí)間做各自小組的題，然后由各自小組代表上臺(tái)進(jìn)行講解和展示.

第一組的成員：我們第一感覺(jué)就發(fā)現(xiàn)在橢圓中有結(jié)論kMA·kMB=-114，但在證明該題為定值時(shí)，同組成員有設(shè)斜率也有設(shè)點(diǎn)的，都能很快解決.最后結(jié)合kMA·kMB=-114與kMB·kPB=-314，得出kBP=3kMA.這個(gè)過(guò)程也培養(yǎng)了學(xué)生去發(fā)現(xiàn)同樣的題干在斜率方面還有不同的結(jié)論的能力，從而能夠體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣.

其實(shí)這是研究我們解析幾何里的定值問(wèn)題的方法，我們一般采用：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算、推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

第二組的成員：我們組有兩種方法.

法一：根據(jù)對(duì)稱性，我們發(fā)現(xiàn)直線MN若過(guò)定點(diǎn)，必定過(guò)x軸上的某個(gè)點(diǎn).故我們先取了特殊的直線求出這個(gè)點(diǎn)，然后再證明一般情況下的直線也經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn).取M1，312，得到AM：y=112x+1，聯(lián)立x=4，

y=112x+1， 解得P（4，3），又因?yàn)锽（2，0），有PB：y=312x-3，聯(lián)立y=312x-3，

x214+y213=1， 解得N1，-312，則MN：x=1.故這個(gè)點(diǎn)就是E（1，0）.下面再證明一般直線MN都經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，設(shè)M（x0，y0），因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以有y20=314（4-x20），又因?yàn)辄c(diǎn)M異于頂點(diǎn)A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因?yàn)锽（2，0），則PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，聯(lián)立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，則ME=（1-x0，-y0），NE=1-8-5x015-2x0，-3y012x0-5，又因?yàn)椋?-x0）·-3y012x0-5-（-y0）·1-8-5x015-2x0=3x0y0-3y0-（3x0y0-3y0）12x0-5=0，故有ME∥NE，又因?yàn)镋為公共點(diǎn)，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)E（1，0）.

法二：我們直接寫出了直線MN的方程，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)直線系，然后研究直線系，找出定點(diǎn).設(shè)M（x0，y0），因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以有y20=314（4-x20），又因?yàn)辄c(diǎn)M異于頂點(diǎn)A，B，所以有-2

x=4， 解得P4，6y01x0+2，又因?yàn)锽（2，0），則PB：y=3y01x0+2x-6y01x0+2，聯(lián)立y=3y01x0+2x-6y01x0+2，

x214+y213=1， 解得N8-5x015-2x0，3y012x0-5，MN：y=3x0-1214y0（x-1），故有直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）.

教師點(diǎn)評(píng)：其實(shí)這組學(xué)生解答這道題的過(guò)程就是解決解析幾何里的定點(diǎn)問(wèn)題的常用的兩種的方法.（1）從特殊情況入手，先探求出定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，然后利用直線系、圓系、等式恒成立等方法來(lái)找定點(diǎn).

第三組的成員也是類似于第二組采用兩種方法.這里就不再贅述.

由于圓可以看成圓心率為0的橢圓，所以剛才的定點(diǎn)、定值問(wèn)題在圓里是否也存在？可以讓學(xué)生探討一下.讓學(xué)生先去猜想和探討，然后給出下面一道題.

圓O：x2+y2=4，直線l：x=4，點(diǎn)M是圓O上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別交l于P，Q兩點(diǎn).

證明：∠PBM為銳角.

（1）kMB·kPB是否為定值，若是，求出該定值，若不是，求出其取值范圍；

（2）直線MN是否過(guò)某定點(diǎn)；

（3）延長(zhǎng)MB交準(zhǔn)線于Q，求證以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

這樣的出題方式，目的是培養(yǎng)學(xué)生探討和研究數(shù)學(xué)的興趣，這樣高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)也就不會(huì)覺(jué)得那么無(wú)趣枯燥了.

二輪復(fù)習(xí)是綜合能力突破的關(guān)鍵時(shí)間，構(gòu)建知識(shí)體系，進(jìn)行專項(xiàng)講練，既可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，又可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能提高學(xué)習(xí)的效率.