鄭欲曉 朱志明

[摘 要]運(yùn)算定律是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。要提高運(yùn)算定律的教學(xué)質(zhì)量，教師既應(yīng)尋根源找對(duì)策，注重運(yùn)算定律之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用多元表征理解運(yùn)算定律，又要重視歸納應(yīng)用與說(shuō)理相結(jié)合，使學(xué)生更好地理解算法和算理。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 運(yùn)算定律 多元表征 乘法分配律 算理 算法

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）17-030

運(yùn)算定律的作用不可小覷，一方面對(duì)幫助學(xué)生更好地理解算法和算理具有十分重要的作用；另一方面，就數(shù)學(xué)本身而言，無(wú)論是數(shù)集的擴(kuò)充，還是從算術(shù)到代數(shù)的發(fā)展，都離不開(kāi)對(duì)運(yùn)算定律的歸納和總結(jié)。 但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)算定律的情況并不理想，這是為什么呢？下面，筆者根據(jù)學(xué)生對(duì)一道抽測(cè)題的答題情況，談一些粗淺的想法，并與同行研討。

案例回顧：

在我區(qū)小學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)檢測(cè)題中，有0.4×（2.5×12.5）這樣一道運(yùn)用乘法交換律和乘法結(jié)合律解答的計(jì)算題，命題者本想將其作為送分題，但結(jié)果大出意料，全區(qū)3200名考生，得分率只有73.1%，這道題竟成為學(xué)生主要的失分題。學(xué)生的主要錯(cuò)誤是把原題轉(zhuǎn)化為（0.4×2.5）×（0.4×12.5）來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這說(shuō)明為數(shù)不少的學(xué)生把乘法的結(jié)合律與分配律混淆。同時(shí)，這從另外一個(gè)角度也說(shuō)明，乘法運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不是一件容易的事，必須引起我們教師的高度重視。

原因分析：

為什么學(xué)生容易把乘法的結(jié)合律與分配律混淆呢？從學(xué)生的層面分析，可能是粗心，也可能是他們只知乘法分配律的形式——“括號(hào)外面有一個(gè)乘數(shù)，括號(hào)里面有兩個(gè)數(shù)”，而不知其本質(zhì)（乘法和加法兩種不同的運(yùn)算形式）——“括號(hào)外面有一個(gè)乘數(shù)，括號(hào)里面有兩個(gè)相加的數(shù)”；從教師的層面分析，只關(guān)注本節(jié)課知識(shí)的單一傳授，忽視了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。如教學(xué)乘法分配律時(shí)，很少有教師把乘法的分配律與結(jié)合律進(jìn)行對(duì)比分析，導(dǎo)致學(xué)生不知道它們的區(qū)別在哪里，而且教師只關(guān)注學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律字母表達(dá)式的簡(jiǎn)單記憶，忽視了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)算定律多元表征的理解，特別是忽視了讓學(xué)生用自己容易表達(dá)的方式去理解。此外，教師只注重對(duì)運(yùn)算定律的抽象歸納，忽視了學(xué)生的說(shuō)理體驗(yàn)。

教學(xué)建議：

根據(jù)上述分析，下面以乘法分配律為例，談?wù)勥\(yùn)算定律的教學(xué)建議。

1.注重運(yùn)算定律間的聯(lián)系

教師應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到，幫助學(xué)生真正地認(rèn)識(shí)各個(gè)運(yùn)算定律之間的聯(lián)系和區(qū)別，有利于學(xué)生通過(guò)已知的運(yùn)算定律，掌握新的運(yùn)算定律，加深對(duì)已知運(yùn)算定律的理解，從而促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)“連點(diǎn)成線(xiàn)”“織線(xiàn)成網(wǎng)”。如教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師可設(shè)計(jì)一個(gè)讓學(xué)生比較乘法的分配律與結(jié)合律異同的教學(xué)環(huán)節(jié)：運(yùn)用乘法結(jié)合律（a×b）×c=a×（b×c）的前提是三個(gè)數(shù)連乘，結(jié)論為可以是前面兩個(gè)乘數(shù)先乘，也可以是后面兩個(gè)乘數(shù)先乘，其結(jié)果相等；而乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c雖然也有三個(gè)數(shù)，但它是有乘有加的，其結(jié)論是兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)積的和，故乘法分配律也可以說(shuō)成是乘法對(duì)加法的分配律。如果學(xué)生將這一認(rèn)知在頭腦中深深地扎根的話(huà)，就不至于把乘法的分配律與結(jié)合律混淆。這里需要說(shuō)明的是，比較乘法的分配律與結(jié)合律不能局限于語(yǔ)言表征和符號(hào)表征，教師還可以運(yùn)用說(shuō)理比較的方法進(jìn)行引導(dǎo)，甚至到了六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)，可以拓展到圖像表征的比較。

2.注重通過(guò)多元表征理解運(yùn)算定律

美國(guó)學(xué)者萊許等曾借助圖形（見(jiàn)圖1）來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程：“實(shí)物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個(gè)方面，其他的表達(dá)方式，如圖像、書(shū)面語(yǔ)言、現(xiàn)實(shí)情景等，同樣也發(fā)揮了十分重要的作用?！边@一論述為我們的概念教學(xué)指明了方向：教師在教學(xué)中不應(yīng)強(qiáng)調(diào)其中的任一方面，而應(yīng)更加重視對(duì)于各個(gè)方面的聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生能夠依據(jù)情況與需要，逐步學(xué)會(huì)在這之間靈活地進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

如在乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c的教學(xué)（包括練習(xí)課、復(fù)習(xí)課）中，教師應(yīng)有意識(shí)地應(yīng)用多種不同的表征形式，引導(dǎo)學(xué)生真正理解所學(xué)的運(yùn)算定律。

（1）情境表征：如“王阿姨的服裝店要進(jìn)一批運(yùn)動(dòng)裝，其中上衣每件55元，褲子每條35元。購(gòu)買(mǎi)50套運(yùn)動(dòng)裝共需要多少元”等問(wèn)題。

（2）操作表征：讓學(xué)生舉例計(jì)算（a+b）×c和a×c+b×c的結(jié)果，然后引導(dǎo)他們通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)所求的關(guān)系。

（3）符號(hào)表征：（a+b）×c=a×c+b×c。

（4）圖像表征：利用右圖（見(jiàn)圖2），讓學(xué)生建立乘法分配律的圖形原型。

（5）語(yǔ)言表征：用文字語(yǔ)言總結(jié)規(guī)律，即“兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)分別乘第三個(gè)數(shù)積的和”；用圖形語(yǔ)言理解規(guī)律，即“從左到右分配進(jìn)去（見(jiàn)圖3），從右到左把相同的c提取出來(lái)（見(jiàn)圖4）”。這里，后一種表征為學(xué)生中學(xué)學(xué)習(xí)提取公因數(shù)打下基礎(chǔ)。

3.注重歸納應(yīng)用與說(shuō)理相結(jié)合

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)運(yùn)算定律的探究一般是引導(dǎo)學(xué)生采用不完全歸納法，即通過(guò)幾個(gè)例子的計(jì)算，歸納出一般的結(jié)論。因此，在大多數(shù)教學(xué)乘法分配律的課堂上，有一個(gè)讓學(xué)生舉反例的環(huán)節(jié)。如在學(xué)生半信半疑時(shí)，教師會(huì)通過(guò)提問(wèn)“你能找到反例嗎”，讓學(xué)生找反例。在學(xué)生思考、探索后，教師再問(wèn)學(xué)生：“有沒(méi)有找到反例？”學(xué)生說(shuō)：“沒(méi)有找到！”于是，教師進(jìn)行小結(jié)“沒(méi)有找到反例，說(shuō)明這一猜想是正確的，是一個(gè)規(guī)律”，然后歸納出結(jié)論。事實(shí)上，一節(jié)課內(nèi)找不到反例，不能說(shuō)明就沒(méi)有反例。要讓學(xué)生信服，最好的辦法是讓學(xué)生說(shuō)理。先說(shuō)具體的，如（35+55）×50=35×50+55×50，左邊算式的括號(hào)里是90，90×50表示有90個(gè)50，右邊算式的35×50表示有35個(gè)50，55×50表示有55個(gè)50，加起來(lái)正好是90個(gè)50；再說(shuō)一般的，如（a+b）×c=a×c+b×c，左邊算式（a+b）×c表示有（a+b）個(gè)c，右邊算式的a×c表示有a個(gè)c，b×c表示有b個(gè)c，加起來(lái)正好是（a+b）個(gè)c。另外，通過(guò)這樣的說(shuō)理，還起到了促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律理解的作用。

總之，提高運(yùn)算定律的教學(xué)質(zhì)量，教師既應(yīng)尋根源找對(duì)策，注重運(yùn)算定律之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生利用多元表征理解運(yùn)算定律，又要重視歸納應(yīng)用與說(shuō)理相結(jié)合，使學(xué)生更好地理解算法和算理。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 劉福林.論運(yùn)算律的意義與教學(xué)[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（1）.

[2] 鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J]，小學(xué)數(shù)學(xué)教育.2011（10）.

（責(zé)編 杜 華）