唐　爍，　蘇化明

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

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函數(shù)之間的類比

唐爍，蘇化明

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

[摘要]通過實例給出了函數(shù)類比的幾種形式：雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的類比；三角函數(shù)之間的類比；反函數(shù)與函數(shù)的類比.

[關(guān)鍵詞]類比； 三角函數(shù)； 雙曲函數(shù)； 反函數(shù)

類比是特殊到特殊的思維方式,是根據(jù)兩個(或兩類)所考察的對象之間在某些方面有相同或相似的屬性,并且其中一個對象還有另外的某種屬性,從而推出另一個對象也具有相同或相似的該種屬性的思維方式.類比是提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個重要源泉,也是探索解題思路的重要途徑,故類比思維是創(chuàng)新思維的形式之一.作為高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教師,我們希望在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過類比思維的傳授,能引導(dǎo)學(xué)生去猜測、預(yù)見,能在學(xué)習(xí)過程中提出新問題,作出新發(fā)現(xiàn).

類比的形式有多種多樣,作者曾在[1]中介紹了高等數(shù)學(xué)中類比的幾種主要形式：低維與高維類比；離散與連續(xù)類比；有限與無限類比；微分與積分類比.作為[1]的補充,本文將介紹函數(shù)與函數(shù)的類比.

大家知道,雙曲函數(shù)與三角函數(shù)在性質(zhì)上有很多相似之處,因而雙曲函數(shù)可以同三角函數(shù)作類比.事實上,高等數(shù)數(shù)中涉及到的很多函數(shù)特別是基本初等函數(shù)之間存在很多可以類比的問題,我們將從以下幾個方面通過實例予以說明.

1雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的類比

(1)

類比:求證.當x≠0時,

(2)

證為了節(jié)省篇幅,僅證類比產(chǎn)生的結(jié)論,以下各例相同.

令

則

由算術(shù)-幾何平均不等式知

所以當x≠0時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.又f(0)=0,因此f(x)>0,由此可知不等式(2)成立.

(3)

(4)

(5)

(6)

證由此

從而

即不等式(6)成立.

2三角函數(shù)之間的類比

例3[3](陜西省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題,1985年)設(shè)

試證：(a) αn≥βn≥0; (b) 當n→∞時，αn→0,βn→0.

(i) an≥bn; (ii) 當n→∞時，an→0,bn→0.

f′(x)=ntann-1xsec2x-sec2xn·nxn-1.

tann-1x≥xn-1,cosx≤cosxn,sec2x≥sec2xn,

從而f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增.又f(0)=0所以f(x)≥0,即tannx≥tanxn,利用定積分的性質(zhì),所以

即an≥bn, n=1,2,…;

(7)

an≤an-2,n=3,4,….

(8)

由(7),(8)知

解(c) 所論問題等價的轉(zhuǎn)化為考慮集合

和U在映射

φ(u)=arctanu1+arctanu2+…+arctanun

下的像φ(U).注意到φ(U)=Tn.因為U為n的連通子集,φ是連續(xù)函數(shù),所以φ(U)也是連通的.由于中唯一的連通子集是區(qū)間,所以Tn是區(qū)間.

(9)

由此知

(10)

由上式知

(11)

利用(10),(11),所以

注不等式(9)可用函數(shù)的單調(diào)性給出證明.

3反函數(shù)與函數(shù)的類比

類比：試證：對于所有的x∈(0,1)有不等式

(12)

證首先證明,當0

(13)

故由不等式(12)知,當0

所以

其中右邊不等式中等于當x=1時成立.

例6[5](第六十九屆美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題,2008年)設(shè)

解

故由歸納法原理知

從而

即

[參考文獻]

[1]蘇化明,潘杰,唐爍.高等數(shù)學(xué)思想方法選講[M].北京：高等教育出版社,2013.

[2]B A薩多夫尼奇,A C波德闊爾金.前蘇聯(lián)大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題解(上篇)[M]. 許康,陳強,陳摯,陳娟，編譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[3]1985年陜西省高校數(shù)學(xué)競賽試題(2)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1985,3:23-25.

[4]王麗萍，編譯. 歷屆IMC國際大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題集[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2012.

[5]The Sixty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition[J]. The Amer. Math. Monthly. 2011, 118(8):719-728.

[收稿日期]2014-11-12

[基金項目]安徽省重大教學(xué)改革項目(2015zdjy020)；“受高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心”資助

[作者簡介]唐爍(1964-)，男，教授，從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、應(yīng)用數(shù)值逼近研究. Email: tangshuo-2008@163.com

[中圖分類號]O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2016)02-0068-05