房慶祥，　張寶琳

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院，杭州310018)

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常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的教學(xué)探討

房慶祥，張寶琳

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院理學(xué)院，杭州310018)

[摘要]利用待定系數(shù)法和比較系數(shù)法求解一類高階常系數(shù)非齊次線性常微分方程的特解，得到求解該類問題的一般公式，并給出算例說明其應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]線性常微分方程； 特解； 公式

1引言

求解常系數(shù)線性常微分方程是常微分方程和高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，一般教材中介紹的方法主要有比較系數(shù)法、復(fù)數(shù)法、拉普拉斯變換法和常數(shù)變易法等[1-6].這些方法運(yùn)算量較大，不利于手工求解.近年來，不少高校教師對(duì)求解常系數(shù)非齊次線性常微分方程的特解問題進(jìn)行探討，得到一些有益的結(jié)論.文獻(xiàn)[7]將常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)化為一階常系數(shù)線性微分方程組，得到積分形式的特解公式.文獻(xiàn)[8]對(duì)n階常系數(shù)非齊次線性常微分方程的特解進(jìn)行了探討，得到不同形式的特解公式.文獻(xiàn)[9]給出了求一類高階非齊次線性微分方程(組)特解的矩陣解法.文獻(xiàn)[10]提出一種求高階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的逆特征算子分解方法.文獻(xiàn)[11]研究一類具有多項(xiàng)式系數(shù)的二階線性微分方程有多項(xiàng)式型特解和通解的充要條件，并給出判別和求解的Maple算法.上述文獻(xiàn)中得到的結(jié)果拓寬了求解常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的途徑，為常微分方程教學(xué)提供了很好的素材，但公式表達(dá)形式不夠簡(jiǎn)潔，不利于應(yīng)用.文獻(xiàn)[12]研究二階常系數(shù)非齊次微分方程的求解方法，利用齊次方程的特征多項(xiàng)式表示特解，形式較簡(jiǎn)潔，易于記憶.本文把文獻(xiàn)[12]的結(jié)論推廣到n階常系數(shù)非齊次微分方程的情形，得到求解高階微分方程特解的一般公式.此公式形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便.

2高階線性微分方程的特解公式

本文考慮如下常系數(shù)非齊次線性常微分方程特解的求解問題

(1)

其中f(t)=Aeαtcosβt或Aeαtsinβt，且a1,a2,…,an,A,α,β是實(shí)常數(shù).

方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的特征多項(xiàng)式為

F(λ)=λn+a1λn-1+…+an-1λ+an.

(2)

關(guān)于方程(1)的特解我們有如下結(jié)論.

定理1當(dāng)f(t)=Aeαtcosβt時(shí)，如果α+iβ是F(λ)的k重根，則方程(1)的一個(gè)特解為

(3)

當(dāng)f(t)=Aeαtsinβt時(shí)，如果α+iβ是F(λ)的k重根，則方程(1)的一個(gè)特解為

(4)

其中k≥0為整數(shù).

證只證f(t)=Aeαtcosβt的情形，f(t)=Aeαtsinβt的情形類似.

易知，當(dāng)f(t)=Aeαtcosβt時(shí)，微分方程

L[x]=Ae(α+iβ)t

(5)

的特解的實(shí)部是方程(1)的特解.

當(dāng)k=0或1時(shí)，結(jié)論易證.

當(dāng)k>1時(shí)，方程(5)的特解可設(shè)為

(6)

其中B為待定常數(shù).

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可知, 當(dāng)m≤k時(shí)

(7)

當(dāng)m>k時(shí)，

(8)

+an-1Btk-1e(α+iβ)t(k+(α+iβ)t)+anBtke(α+iβ)t=Ae(α+iβ)t,

上式兩邊同除以e(α+iβ)t，然后比較多項(xiàng)式的系數(shù)可得

(9)

從而

(10)

因此，表達(dá)式(3)是方程(1)的特解.

3微分方程特解公式的應(yīng)用

本節(jié)舉例說明定理1的應(yīng)用.

解因2i不是特征多項(xiàng)式

F(λ)=λ2+4λ+4=(λ+2)2

的根，根據(jù)定理1可得方程的一個(gè)特解為

注1例1是教材[1]中的例題.用定理1中的公式求解顯然比用待定系法更簡(jiǎn)潔明了.

解因i是特征多項(xiàng)式

F(λ)=λ3+λ=λ(λ2+1)

的單根，根據(jù)定理1可得方程的一個(gè)特解為

解因i是特征多項(xiàng)式F(λ)=λ6+3λ4+3λ2+1=(λ2+1)3的3重根，根據(jù)定理1可得方程的一個(gè)特解為

解因2+i是特征多項(xiàng)式

F(λ)=λ4-4λ3+4λ2+4λ-5=(λ+1)(λ-1)(λ-2-i)(λ-2+i)

的單根，根據(jù)定理1可得方程的一個(gè)特解為

解因1不是特征多項(xiàng)式

F(λ)=λ3+3λ2+3λ+1=(λ+1)3

的根，根據(jù)定理1可得方程的一個(gè)特解為

解分別考察方程

(11)

和

(12)

的解.

因-1+2i不是特征多項(xiàng)式

F(λ)=λ3+λ2-2=(λ-1)(λ+1-i)(λ+1+i)

的根，根據(jù)定理1可得方程(11)的一個(gè)特解為

因-1+i是特征多項(xiàng)式F(λ)=λ3+λ2-2的單根，根據(jù)定理1可得方程(12)的一個(gè)特解為

由疊加原理可得原方程的一個(gè)特解為

4結(jié)論

本文利用待定系數(shù)法和比較系數(shù)法得到求解一類高階常系數(shù)非齊次線性常微分方程特解的一般公式，并舉例說明公式的應(yīng)用.本文得到的求解公式形式簡(jiǎn)潔，計(jì)算量較小，易于學(xué)生接受.

[參考文獻(xiàn)]

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2007.

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[3]丁同仁.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2010.

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Discussion on the Special Solution to a Class of Higher-order Ordinary Coefficient Differential Equations

FANGQing-xiang，ZHANGBao-lin

(School of Sciences, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

Abstract:The special solution to a class of higher-order nonhomogeneous ordinary coefficient linear differential equations is investigated based on undetermined coefficient method and comparative coefficient way. The general formulas for solving this kind of problems are obtained. Some examples are given to show the practicability of the formulas.

Key words:higher-order ordinary differential equation; special solution; formula

[收稿日期]2015-12-07；[修改日期] 2016-03-04

[基金項(xiàng)目]中國(guó)計(jì)量學(xué)院教改項(xiàng)目(HEX2014019)，國(guó)家自然科學(xué)基金(11401549)

[作者簡(jiǎn)介]房慶祥(1974-)，男，碩士，副教授，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步理論研究.Email:fangqx@cjlu.edu.cn

[中圖分類號(hào)]O175.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0102-04