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        若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法之注記

        2016-06-16 02:33:14劉春平
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2016年2期
        關(guān)鍵詞:換元法定積分

        劉春平

        (揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州225002)

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        若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法之注記

        劉春平

        (揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州225002)

        [摘要]利用一個(gè)關(guān)于定積分的等式,給出了文獻(xiàn)[1]中若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的一種直接計(jì)算方法.

        [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)競(jìng)賽; 定積分; 換元法

        在文獻(xiàn)[1]中,作者給出了一個(gè)關(guān)于積分的命題:

        設(shè)f(x),g(x)為[a,b](b>a)上的連續(xù)函數(shù).若

        f(x)=f(a+b-x),g(x)+g(a+b-x)=m(常數(shù)),

        則有

        (1)

        然后用此命題對(duì)若干國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題進(jìn)行了統(tǒng)一解答.這種將不同試題歸類(lèi)并提升到理論高度的文章[1,2]無(wú)論對(duì)教師的教學(xué)還是對(duì)學(xué)生的解題均有極好的啟發(fā)作用.

        在教學(xué)過(guò)程中,部分學(xué)生反映:命題中函數(shù)f(x),g(x)的選取并非一目了然,這在某種程度上影響了解題速度. 重新考察文獻(xiàn)[1]中列舉的競(jìng)賽題,我們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)定積分中被積函數(shù)具有某種“特殊性”,利用一個(gè)關(guān)于定積分的等式可直接計(jì)算. 下面,本文對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

        首先證明一個(gè)關(guān)于定積分的等式,它也是教科書(shū)上[3]的一道習(xí)題:

        設(shè)f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則

        (2)

        證令u=a+b-x,則

        (3)

        利用(2)式,對(duì)幾道競(jìng)賽題重新解答如下.

        試題(A)的解答.

        試題(B)的解答.

        知IB=1.

        試題(C)的解答.

        試題(D)的解答.

        試題(E)的解答.

        知n為偶數(shù)時(shí),IE=0;n為奇數(shù)時(shí),IE=π.

        試題(F)的解答.

        注意到

        再由

        解題思路便非常清晰了.

        綜上所述,當(dāng)f(x)+f(a+b-x)為易積函數(shù)時(shí),利用

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]潘杰,蘇化明. 若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2014,30(6):111—114.

        [2]蘇化明,潘杰. 高等數(shù)學(xué)問(wèn)題推廣的幾種方式[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2004,20(5):64—69.

        [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]. 6版.北京: 高等教育出版社,2007: 253-254.

        A Note on a Unified Solution to Several Mathematical Emulation Problems

        LIUChun-ping

        (Institute of Mathematics, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu 225002, China)

        Abstract:By means of an equation on definite integral, one direct calculation method of several Mathematical Emulation problems recorded in literature [1] has been proposed.

        Key words:mathematical emulation; definite integral; integration by substitution

        [收稿日期]2016-01-17

        [基金項(xiàng)目]江蘇高校品牌專(zhuān)業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PPZY2015B109)

        [作者簡(jiǎn)介]劉春平(1964-),女,博士,教授,從事微分方程研究.Email:liucp@yzu.edu.cn

        [中圖分類(lèi)號(hào)]O172

        [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

        [文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0097-03

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