李小襯

摘 要 本文介紹了將數(shù)學(xué)建模思想融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中的必要性，并以貝葉斯公式應(yīng)用、正太分布應(yīng)用以及參數(shù)估計應(yīng)用為例說明了數(shù)學(xué)建模在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中的應(yīng)用。最后結(jié)合近幾年教學(xué)經(jīng)驗，提出了把數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)過程中應(yīng)注意的幾個問題。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 應(yīng)用

中圖分類號： 文獻標(biāo)識碼：A

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是理工科專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)課。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，它的理論和方法在醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟、管理、生物等方面都有廣泛應(yīng)用。它的重要性已被越來越多的人所認(rèn)識。但是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中的方法和理論都是抽象的，理解和應(yīng)用起來都比較困難，如果在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)過程中加入數(shù)學(xué)建模思想，不僅有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還有利于幫助學(xué)生理解課本中抽象的理論和方法。

1數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中的必要性

數(shù)學(xué)建模主要包括兩個方面：一是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；二是對數(shù)學(xué)模型分析和求解。下圖為建立數(shù)學(xué)模型的示意圖

數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實問題的橋梁，它的作用在工程界越來越被重視，把數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中是當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的主流。傳統(tǒng)的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)基本上是純理論知識的傳授，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，所掌握的基本上都是理論的推導(dǎo)和計算，無法和實際問題聯(lián)系在一起，這不利于學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)。如果在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)過程中加入數(shù)學(xué)建模思想，教會學(xué)生如何把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用已有的數(shù)學(xué)知識去解決，則學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中就可以利用已有的數(shù)學(xué)思想去解決生活中遇到的疑難問題。所以將數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中是很有必要的。

1.1加強學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的教育

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中，把概率論中的理論知識融入到案例中，把現(xiàn)實中的案例，通過數(shù)學(xué)建模，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，從分析以及求解模型的過程中，教會學(xué)生所應(yīng)掌握的理論知識。這不但提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性還培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用能力。這在學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活中，都有極大的幫助。并且在教會學(xué)生理論知識的過程中，也訓(xùn)練了學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

1.2提高學(xué)生查找資料以及團隊合作等方面能力

目前各大高校都在提倡案例教學(xué)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中要進行案例教學(xué)，就要把講授的知識穿插在案例中。一般教師要提前一周把案例發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生利用課余時間查找相關(guān)資料，學(xué)生在查找資料的過程中，或多或少地都從中學(xué)到一些知識。在案例教學(xué)中，教師首先要給學(xué)生分組，便于案例教學(xué)順利高效的進行。學(xué)生在上課之前，上交本組解決方案。學(xué)生在做這個方案的過程中，會和組內(nèi)成員相互討論，通過討論，不但可以提高學(xué)生應(yīng)用概率中知識解決實際問題的能力，還可以提高學(xué)生團隊合作能力。

2數(shù)學(xué)建模在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》中應(yīng)用舉例

案例1：貝葉斯公式應(yīng)用

近幾年關(guān)于冤獄的事件時有報道。比如2014年5月，媒體曝光了安徽省某村民未通過測謊儀測試而蹲七年冤獄，還有最近云南省最高法院改判的錢仁鳳案。這些冤案都給個人和家庭帶來了巨大的傷害。警察在審犯人時，為了辨認(rèn)犯人所說是否真實，就會用測謊儀來測試。那問題就來了：測謊儀測試結(jié)果是否可以作為審判的證據(jù)呢？

測謊問題背景：測謊儀根據(jù)記錄一個人被提問時的應(yīng)激生理改變，來判斷他是否說謊的儀器。一般用于犯人審查、部隊征兵等領(lǐng)域。

問題：測謊儀測試結(jié)果若為說謊，則被測試者一定說謊嗎？測謊結(jié)果是否適合作為審查證據(jù)？

建模：設(shè)事件A表示測試結(jié)果為說謊，事件B表示被測對象確實在說謊。根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計有P（A|B）=0.88，P（A|B）=0.14。

模型求解：由于部隊征兵和安全審查屬于常規(guī)性篩查，大部分都是誠實的，所以可以假設(shè)人群中說謊者概率P（B）=0.01，由貝葉斯公式有

P（B|A） = = 0.04

結(jié)果分析：上面結(jié)果表示被檢測為說謊的對象中，有高達96%的比例沒有說謊。這是因為在部隊征兵等常規(guī)性檢查中說謊者比例很低。但是對于罪大惡極的犯罪嫌疑人，假設(shè)說謊者概率是0.5，則由貝葉斯公式得

P（B|A） = = 0.86

由此可見測謊儀只在針對特定的人群時，有較高的概率可靠，但它的法律性還有待商榷。

案例2：正太分布應(yīng)用

2010年4月14日，青海省玉樹縣結(jié)古鎮(zhèn)發(fā)生了7.1級地震。指揮部命令格爾木某汽車團在35小時內(nèi)到達地震災(zāi)區(qū)進行救災(zāi)。從格爾木到結(jié)古鎮(zhèn)有兩條路線可以選擇，一條是從格爾木途徑不凍泉到達結(jié)古鎮(zhèn)的750KM的簡易公路，另一條是從格爾木途徑南寧到達結(jié)古鎮(zhèn)的1400KM的國道。該團要從中選擇一條最佳路線，以最大可能的在規(guī)定時間內(nèi)達到災(zāi)區(qū)。

問題：選擇一條最佳路線。

知識準(zhǔn)備：最佳路線就是在規(guī)定時間內(nèi)以較大概率趕到救災(zāi)災(zāi)區(qū)的路線。

建模：假設(shè)走簡易公路所需要的時間為t1，走國道所需要的時間為t2，根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計知，t1服從正太分布N（28，32），t2服從正太分布N（26，52）。

走簡易公路及時到達災(zāi)區(qū)的概率P（0

模型求解：走簡易公路及時到達災(zāi)區(qū)概率為

p（0

P（0

由于p（0P（0

案例3：參數(shù)估計應(yīng)用

雷達測量精度，從理論上要用參數(shù)估計進行分析。在加性白噪聲下，一般用極大似然估計法進行參數(shù)估計，用極大似然估計可以估計信號的延時。

時延背景：為了搜尋目標(biāo)，雷達向四周發(fā)射信號，信號傳到目標(biāo)后，一部分被反射回雷達接收系統(tǒng)，根據(jù)發(fā)出與接收信號間的延時（主動時延），確定目標(biāo)的距離。

3數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》應(yīng)注意的幾個方面

（1）教師要不斷擴充自己的知識面。數(shù)學(xué)模型都是從現(xiàn)實生活中提煉出來的，所以它所涉及的不光是數(shù)學(xué)方面的知識還有其他領(lǐng)域的知識，比如說上面提到的處理雷達信號的問題，不但涉及到統(tǒng)計部分的知識還涉及到雷達方面的知識，教師在進行教學(xué)之前，就要查找資料了解和雷達相關(guān)的知識點。因此為了提高教學(xué)效果，教師在進行教學(xué)過程中，要不斷的擴充自己的知識面。

（2）教師要避免以自我為中心。傳統(tǒng)的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)，基本上都是以教師為中心。整堂課下來都是教師在講，學(xué)生在聽，師生之間互動幾乎為零。這就導(dǎo)致了學(xué)生上課積極性不高，出現(xiàn)打瞌睡、做小動作等違反課堂紀(jì)律的情況。要想提高教學(xué)效果，教師就要轉(zhuǎn)變角色，要以學(xué)生為中心，讓學(xué)生主動參與到課堂上來。學(xué)生上課積極性提高了，那前面出現(xiàn)的那些違反課堂紀(jì)律的情況就可以避免了，這也有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

（3）案例選取要避免脫離學(xué)生專業(yè)。教師在選取案例的時候，要盡可能地選取和學(xué)生專業(yè)相關(guān)的案例。這樣可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的用處進而激發(fā)學(xué)生的求知欲。如果教師選取的案例脫離學(xué)生專業(yè)，學(xué)生會認(rèn)為，所學(xué)數(shù)學(xué)知識對他們未來學(xué)習(xí)或者生活沒有用，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)失去興趣，甚至產(chǎn)生數(shù)學(xué)無用論。

4結(jié)語

數(shù)理統(tǒng)計中的很多問題都與我們的生活有關(guān)，比如說“三個臭皮匠頂個諸葛亮”就可以用概率論中的獨立事件概率去分析，再比如我們小時候大人經(jīng)常給我們講的“狼來了”的故事，就可用貝葉斯公式去分析。在分析以及求解的過程中，都用到了數(shù)學(xué)建模的思想。要把現(xiàn)實問題與我們數(shù)學(xué)知識聯(lián)系起來，就要用到數(shù)學(xué)建模思想。所以將數(shù)學(xué)建模融入到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學(xué)中是很有必要的，不但有利于培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力，也有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

參考文獻

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