王曉博

【摘要】：數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)研究目的，對所研究的過程和現(xiàn)象的

主要特征、主要關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地、近似地表達(dá)出

來的一種結(jié)構(gòu)，即把所要研究的實(shí)際問題，通過數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造出相應(yīng)的

數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型的研究使原問題獲得解決的過程。數(shù)學(xué)模型

是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，隨著高效課堂下數(shù)學(xué)課改的不斷深入，

重視數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能

力，已成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的趨勢。數(shù)學(xué)建模將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)模型，然后用數(shù)學(xué)方法求解模型，使問題得到解答，能夠幫助學(xué)生探索

數(shù)學(xué)的應(yīng)用，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識與實(shí)踐能

力。本文談?wù)勅绾卧诔踔袛?shù)學(xué)高效課堂中滲透數(shù)學(xué)建模的思想與思維

過程。

【關(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)建模;中學(xué)數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用

一、什么是中學(xué)數(shù)學(xué)建模？

這里的“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！庇袃芍睾x，一是按數(shù)學(xué)意義上的理解、

在中學(xué)中做的數(shù)學(xué)建模。主要指基于中學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)知識所進(jìn)行的

建?；顒?，同其它數(shù)學(xué)建模一樣，它仍以現(xiàn)實(shí)世界的具體問題為解決

對象，但要求運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識在中學(xué)生認(rèn)知水平內(nèi)，專業(yè)知識不能要

求太高，并且要有一定的趣味性和教學(xué)價(jià)值。二是按課程意義理解，

它是本文要展開討論的，一種要在中學(xué)中實(shí)施的特殊的課程形態(tài)。它

是一種以“問題引領(lǐng)、操作實(shí)踐”為特征的活動型課程。學(xué)生要通過

經(jīng)歷建模特有的過程，真實(shí)地解決一個(gè)實(shí)際問題，由此積累做數(shù)學(xué)、

學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，提升對數(shù)學(xué)及其價(jià)值的認(rèn)識。

二、數(shù)學(xué)建模思想的基本步驟：

（1）模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對

象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。（2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對

象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提

出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。（3）模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)

學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量

用簡單的數(shù)學(xué)工具）（4）模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的

所有參數(shù)做出計(jì)算（估計(jì)）。（5）模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)

上的分析。（6）模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以

此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，

則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合

較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過程。（7）模型應(yīng)用：應(yīng)用方

式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。

三、初中數(shù)學(xué)中常見的模型

1、建立方程模型

方程組模型的建立主要是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的相關(guān)條件抽象

成若干個(gè)方程，并且要使其中的未知數(shù)能夠滿足每個(gè)方程，然后將這

若干個(gè)方程組合在一起對問題進(jìn)行求解?！胺匠蹋ńM）”模型則是研

究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系

的角度更正確、更清晰認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實(shí)世界。

【案例1】一元二次方程中的“平均變化率”問題。

為了美化環(huán)境，商洛市加大了對綠化的投資，2010年用于綠化投

資20萬元，2011年用于綠化投資28.8萬元，求這兩年綠化投資的平

均增長率。

【解析】1.問題分析

假設(shè)這兩年綠化投資的平均增長率為X，那么2008年用于綠化

的投資額為多少元？那么2009年用于綠化的投資額為多少元？

2.模型建立

2010年用于綠化的投資額為：20（1+x）。

2011年用于綠化的投資額為：20（1+x）²。

根據(jù)2011年用于綠化的投資28.8萬元，

得到方程20（1+x）²=28.8 如果設(shè)起始數(shù)據(jù)為a，終止數(shù)據(jù)為

b，平均變化率為X，則經(jīng)過兩次增長或降低后得到方程形式為

a（1+x）²=b或者a（1-x）²=b。

解方程：20（1+x）²=28.8

可得：x₁=0.2=20%，x₂=2.2（不符合題意，舍去）。

故這兩年綠化投資的平均增長率為20%。

點(diǎn)評：對現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的如增長率、儲蓄利率、產(chǎn)品購銷、

工程施工、人員調(diào)配等含有等量關(guān)系的實(shí)際問題，通?？梢酝ㄟ^構(gòu)建

方程（組）模型來解決。

2、建立不等式（組）模型

在現(xiàn)實(shí)世界中，正如相等關(guān)系一樣不等關(guān)系也是普遍存在的，如

在市場經(jīng)營、生產(chǎn)決策和社會生活中的估計(jì)生產(chǎn)數(shù)量、核定價(jià)格范圍、

盈虧平衡分析、投資決策等許多問題中，很難確定（有時(shí)也不需要）

具體的數(shù)值，則可挖掘?qū)嶋H問題所隱含的數(shù)量關(guān)系，建立不等式（組）

模型，進(jìn)而解決實(shí)際問題。

【案例2】洛南縣籌備60周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)有的3490

盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A，B兩種園藝造型共50個(gè)擺放在

迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉

40盆，搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆。某校九

年級（1）班課外小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì)，問符合題

意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計(jì)出來。

【解析】設(shè)搭配A種造型X個(gè)，則B種造型為（50-x）個(gè)，依

題意，得：

{80x+50（50-x）≤3490，/40x+90（50-x）≤2950，

解這個(gè)不等式組，得

{x≤33/x>31，∴31≤x≤33

∵x是正整數(shù)，∴x可取31，32，33，

∴可設(shè)計(jì)三種搭配方案：

①A種園藝造型31個(gè)，B種園藝造型19個(gè);

②A種園藝造型32個(gè)，B種園藝造型18個(gè);

③A種園藝造型33個(gè)，B種園藝造型17個(gè)。

點(diǎn)評：通過構(gòu)建一元一次不等式（組）模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元

一次不等式（組）進(jìn)行求解，一是要注意正確找出實(shí)際問題中的不等關(guān)

系，二是要注意按照列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟（審，設(shè)、列、

解、答），求出符合題意的答案。

3、建立函數(shù)模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，揭示了現(xiàn)實(shí)世界眾多的數(shù)量關(guān)系

及運(yùn)動規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)生活中，諸多問題?？山⒑瘮?shù)模型求解。

【案例3】某商店贍過}_批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，

為了獲得更多利潤，商店決定提高銷售價(jià)格，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)按每件20元

的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件;當(dāng)每件25元銷售時(shí)，每月能賣210件。

假定每月銷售的件數(shù)y是價(jià)格x（元/件）的—次函數(shù)。

（1）試求y與z的函數(shù)關(guān)系式。（2）在商店不積壓，且不考慮

其他因素的條件下，當(dāng)銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利

潤？最大利潤是多少？（總利潤=總收入一總成本）

【解析】（1）依題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，則有

{360=20k+b/210=25k+b，解得k=-30，b=960，∴y=-30x+960（16≤x≤32）。

（2）每月獲得的利潤P=（-30x+960）（x-16）=30（-x+32）（x-16）

=30（-x²+48x-512）=40（x-24）²+1920，

∴當(dāng)x=24元/件時(shí)，P有最大值，最大值為1920元。

答：當(dāng)銷售價(jià)格定位24元/件時(shí)，才能使每月獲得最大利潤，最

大利潤為1920元。

點(diǎn)評：函數(shù)揭示了現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和運(yùn)動、變化規(guī)律.對于現(xiàn)

實(shí)生活中普遍存在的最優(yōu)化問題，如用料最省、成本最低、利潤最大

等，可以構(gòu)建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

三、用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題可以達(dá)到以下目的

1、用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題便與理論聯(lián)系實(shí)際

數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往忽視運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的所謂“掐頭

去尾燒中斷”的教學(xué)方法，使得中學(xué)數(shù)學(xué)脫離現(xiàn)實(shí)生活。通過數(shù)學(xué)模

型方法解題，可以把數(shù)學(xué)與實(shí)際問題溝通起來，互相轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)更

生地扎根于實(shí)際。

2、用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，能提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

不少學(xué)生感到數(shù)學(xué)枯燥無味，所以要數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中充滿樂趣。

數(shù)學(xué)模型是從實(shí)際提煉出來，可激發(fā)學(xué)生極大的興趣;學(xué)會了主動學(xué)

習(xí)，學(xué)會了去索取自己所要學(xué)的知識，對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識，學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣更高了，更自覺了。

3、用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維。

在高分下令人憂慮的是，中學(xué)生應(yīng)用意識薄弱，動手能力差，雖

善于解題，但創(chuàng)造能力差，而運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解題恰能起到改善作用。

綜上，通過對實(shí)際問題建立有效的數(shù)學(xué)模型不僅可以加深學(xué)生對

數(shù)學(xué)知識和方法的理解和掌握，而且還有助于調(diào)整學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、

深化知識層次。另外，通過數(shù)學(xué)建模還能夠培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和

自主創(chuàng)新精神，使學(xué)生能夠成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體。因此在初中數(shù)學(xué)高

效課堂教學(xué)中，我們應(yīng)該逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，形成

學(xué)生良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力。

（作者單位：陜西省洛南縣謝灣中學(xué)，陜西 商洛 726100）