安徽省碭山中學(xué)　　辛　民　　(郵編：235300)

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一道模擬題的失分原因分析及教學(xué)思考

安徽省碭山中學(xué)辛民(郵編：235300)

摘要通過對一道具有多種解法高三質(zhì)量檢測模擬題分析、調(diào)查、座談，查找學(xué)生解答失分原因，反思數(shù)學(xué)教學(xué)，尋找數(shù)學(xué)教學(xué)的缺失，提出制定改進(jìn)教學(xué)的措施.

關(guān)鍵詞模擬題；失分原因；教學(xué)思考

一次高三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量測試中，有一道學(xué)生本可以通過讀題、審題、分析、抽象、概括等活動，利用基本概念，構(gòu)造自然、簡潔的多種解法求解的試題，測試結(jié)果卻出人意料，學(xué)生失分較多，這一現(xiàn)象引起了筆者對試題研究思考、探究失分的原因、反思教學(xué)的缺陷.先將其過程展示如下，與同行分享.

圖1

1模擬題及解答

一個正四棱錐和一個正三棱錐的所有棱長都相等，將他們?nèi)鹊膬擅嬷睾显谝黄鹌闯梢粋€多面體ABCDEF，如圖1.

(1)求證：AE∥BF;

(2)略(某市高三模擬題).

分析以學(xué)生熟悉的正三棱錐、正四棱錐為載體命制試題，親切自然，問題解答遵循直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算探索空間圖形及其性質(zhì)的一般方法，符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣，敘述簡潔，內(nèi)涵豐富，考查學(xué)生自然語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化能力，解答試題需要一定的空間想象能力、合情推理能力、邏輯推理能力及較強的計算能力.本題由2007年的浙江高考試題改編而來，原設(shè)問是正三棱錐、四棱錐組成的幾何體共有幾個面？設(shè)問指向不明，學(xué)生不知如何入手解答問題，改為現(xiàn)在的形式學(xué)生思維指向明確，有利于學(xué)生解答問題.

圖2

證法1如圖2所示，過E作EF′平行于AB且AB=EF′,則四邊形F′EAB為平行四邊形，從而ΔF′EB為等邊三角形，同理F′EC也是等邊三角形，從而F′BC也是等邊三角形，所以三棱錐F′-EBC與F-EBC是同一個三棱錐.故AE∥BF.

圖3

證法2將兩個全等的正四棱錐E-ABCD和F-MNPQ的底面并在一起,使CB與MN重合,且使ABPQ在一個平面上.

因為正四棱錐E-ABCD和F-MNPQ是全等的,所以AE=BF且AE平行BF.

故四邊形ABEF是平行四邊形，所以ΔEFB是正三角形，同樣ΔEFC是正三角形.

故四棱錐E-BCF是正三棱錐，故原結(jié)論成立.

注以上兩種解法通過直觀感知、操作確認(rèn)完成證明.

圖4

證法3由題意知，ΔABE、ΔCBE和ΔBEF都是正三角形，如圖4，取BE的中點O,連AO、FO、CO、AC,則BE⊥AO,BE⊥FO，BE⊥CO.

故∠AOC、∠FOC分別是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角.

在ΔAOC中，cos∠AOC=

在ΔFOC中，cos∠FOC=

所以∠AOC+∠FOC=1800,即二面角A-BE-C與二面角F-BE-C互補，

所以ABEF四點共面，又AB=BF=EF=EA,故AE∥BF.

圖5

證法4如圖5， 取AD的中點M,連EM,FM,由題意ΔADE是正三角形，所以EM⊥AD,又E-BCF為正三棱錐，所以EF⊥BC,因為AD∥BC,所以AD⊥EF,EF∩EM=E,所以AD⊥平面EFM,

取BC的中點N,連EN,FN,類似可得AD⊥平面EFN,

平面EFN∩平面EFM=EF,所以平面EFN,EFM是同一平面，EF ∥MN∥AB,且EF =MN=AB,所以四邊形ABFE為平行四邊形.

故AE∥BF.

注以上兩種證明通過分析推理、思辨論證完成.

圖6

注以上兩種證明通過分析圖形結(jié)構(gòu)特征、度量計算完成.

2座談?wù){(diào)查尋找缺失

3反思錯因改進(jìn)教學(xué)

立體幾何是研究現(xiàn)實世界中物體形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，通過直觀感知、操作確認(rèn)是學(xué)習(xí)這一知識的最好方法，因此教師在教學(xué)時要充分利用教學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生真切、直觀、具體地觀察、感知、探究幾何教學(xué)模型中空間點、線、面之間的位置關(guān)系，利用多種形式表征結(jié)構(gòu)關(guān)系，這樣學(xué)生更易于形成立體幾何的認(rèn)知和學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握立體幾何的相關(guān)知識與方法，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力，提高圖形語言、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)化能力.

準(zhǔn)確地理解算理、靈活地運用算法是提高運算能力、邏輯思維能力的重要保證，其重要性是不言而喻的，上題所考查的運算技能，主要包括方程、方程組求解，字母、數(shù)量積的運算、解三角形等，從學(xué)生答題情況看卻令人擔(dān)憂，相當(dāng)一部分學(xué)生運算能力不過關(guān)，如四則運算不準(zhǔn)確，方程組不能正確求解等，數(shù)量積、三角公式不能正確運用，計算不準(zhǔn)確，費九牛二虎之力計算得出錯誤的結(jié)果.由此可見，上述結(jié)果是由學(xué)生算理不清、算法不準(zhǔn)造成的，而數(shù)學(xué)每一步運算都以定義、定理、公式、法則為依據(jù)，因此，教學(xué)中要幫助正確理解概念、準(zhǔn)確掌握公式、定理、法則形成構(gòu)建算理的基礎(chǔ)、提高準(zhǔn)確、迅速、靈活運算能力，學(xué)生的運算能力提升應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一項長抓不懈的工作.

由此可見，直觀感知、操作確認(rèn)是建立空間概念的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確掌握空間圖形中點、線、面的結(jié)構(gòu)關(guān)系是實施推理論證的前提，熟練地進(jìn)行語言轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確計算是解決立體幾何問題的有效方法.

參考文獻(xiàn)

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《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》

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2016年我們選題的重點有：(1)中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的理論、實踐與動態(tài)；(2)全國卷的考查特點與教學(xué)(備考)建議；(3)2016年高考數(shù)學(xué)全國卷中個別試題的深度研究或總體評價；(4)2016年中考數(shù)學(xué)個別試題的深度研究及評價建議.

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(收稿日期：20165-02-20)