浙江省紹興中國輕紡城中學(xué)　　朱旭苑　　(郵編：312030)

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高考數(shù)學(xué)應(yīng)試話“運算”
——2015年浙江高考數(shù)學(xué)文科壓軸題的閱卷反思

浙江省紹興中國輕紡城中學(xué)朱旭苑(郵編：312030)

摘要通過對2015年浙江高考數(shù)學(xué)文科壓軸題的解法探討，揭示命題專家的良苦用心與測試目的——檢測考生數(shù)學(xué)運算能力(代數(shù)式變形等)、分類討論思想與不等式求解能力的掌握水平，以閱卷反思的形式展示應(yīng)試者暴露出的數(shù)學(xué)教學(xué)在運算能力訓(xùn)練中存在的嚴重現(xiàn)象，以教學(xué)對策的形式引起一線教師的關(guān)注與實踐.

關(guān)鍵詞分類討論；數(shù)形結(jié)合；運算規(guī)則

高考數(shù)學(xué)應(yīng)試最核心的兩大能力是審題能力與運算能力，審題能力決定著求解的正確方向，運算能力決定運算的簡捷性與正確性，2015年浙江高考數(shù)學(xué)文科最后一題的求解反映目前學(xué)生普通存在這兩方面的弱勢，成為進一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最大障礙．

1問題呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R).

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點，0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

(Ⅰ)思路配方——找對稱軸——分類——畫圖——寫條件——求解.

圖1

圖2

圖3

圖4

所以g(a)=

(Ⅱ)解法1f(x)在[-1,1]上存在零點，

圖5

如圖5，

解法2f(x)=x2+ax+b的兩零點分別為s、t,則s+t=-a,st=b，

0≤2s+2t+st=b-2a≤1，

令m=t+2,m∈[1,2]，

2閱卷反思

從上述問題求解過程所呈現(xiàn)的內(nèi)容來看，代數(shù)式的運算是核心，不論是配方尋找對稱軸，還是分類求最值中的不等式求解，雖然都是基本的運算，但閱卷過程中看到的現(xiàn)象值得反思：

(1)配方法是高考數(shù)學(xué)第一考，今年浙江高考數(shù)學(xué)文科第20題充分印證了這一點，很多考生突破不了這一關(guān)，出現(xiàn)的錯誤有：

(3)中學(xué)里關(guān)于零點問題的教學(xué)思想與大學(xué)命題教師的零點測試思想大相徑庭，考生解法大都是解法1，看不到有用解法2的，一方面可能由于文科生的數(shù)學(xué)思維的局限，另一方面也說明中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，方程與不等式思想還比較欠缺；

(4)可喜的是，分類思想在考生中普遍存在，考生雖然不能求解完成此題，分類討論的解法結(jié)構(gòu)大都能呈現(xiàn)，比如，第(1)問，大都能根據(jù)對稱軸關(guān)于區(qū)間[-1 ，1]分成三類或四類進行討論；第(2)問，根據(jù)零點個數(shù)，分成1個零點，2個零點進行布列不等式條件，只是遇到不等式時，求解方法和過程不能過關(guān)；

(5)數(shù)形結(jié)合思想的運用喜憂參半，有許多考生在第(1)問中針對區(qū)間[-1 ，1]的分類討論中分別畫出圖象，幫助自己理清思路，第(2)問中針對不等式組，借用線性規(guī)劃的方法畫出圖象，然而，更多的考生不能運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，在列出表達式后不知所措，止步不前.

3教學(xué)對策

(1)強化運算規(guī)則的正確使用

強化觀察運算方向的自覺性，運算中自覺觀察數(shù)學(xué)式子(方程、不等式、代數(shù)式、三角式、解析式等)的結(jié)構(gòu)，確定運算方向．觀察中多思考，慢思考，細思考，觀察式子結(jié)構(gòu)有何特點；挖掘式子結(jié)構(gòu)隱藏的東西，從中發(fā)現(xiàn)可轉(zhuǎn)換的信息，可轉(zhuǎn)換的方向，并將所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法融入其中；數(shù)學(xué)是簡潔的，要使數(shù)學(xué)運算簡潔，則在觀察運算結(jié)構(gòu)的自覺性的基礎(chǔ)上提升運算要求，不斷地思考每一步的運算是否簡潔，結(jié)果是否簡潔，不斷地反思運算方向是否正確，從而形成一種駕馭各類運算的能力！

(2)強化不等式運算的熟練性

不等式的運算能力是一種綜合能力，它與記憶力、理解力、數(shù)學(xué)思維能力緊密相聯(lián)，相互滲透，相互支撐．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)在設(shè)計問題、組織內(nèi)容上下功夫，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，把死的知識講活，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，深化學(xué)生對不等式知識的認識和理解，運用多種方法培養(yǎng)學(xué)生解決不等式問題的能力．

(3)強化函數(shù)與不等式的綜合訓(xùn)練

函數(shù)與不等式緊密相聯(lián)，研究函數(shù)性質(zhì)可能要用到不等式的求解與證明，2015年浙江高考理科函數(shù)不等式問題與文科背景相同，但設(shè)問角度發(fā)生了變化：已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,(a,b∈R),記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值，

(Ⅰ)證明：當(dāng)|a|≥2時，M(a，b)≥2;

(Ⅱ)當(dāng)a、b滿足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值.

由于問題中涉及絕對值以及二元函數(shù)符號，使應(yīng)試者望題興嘆，測試結(jié)果表明，此題平均得分只有2分左右，上述文科壓軸題的平均得分在7分左右(滿分15分)，可見函數(shù)與不等式的綜合訓(xùn)練任重道遠！

參考文獻

1余繼光.數(shù)(式)運算中結(jié)構(gòu)意識的缺失與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014(3)

(收稿日期：2016-01-02)