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        數(shù)形結合在高考題中的應用

        2016-05-14 18:38:33朱琦
        人間 2016年7期
        關鍵詞:數(shù)形結合高中解題

        朱琦

        摘要:數(shù)形結合是中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想方法之一,它也是解答高考數(shù)學試題一種常用方法與技巧。本文通過比較數(shù)形結合思想的試題在歷年高考中的比重,以及典型例題,闡述了數(shù)形結合思想在解題中的作用。

        關鍵詞:數(shù)形結合;高中;解題

        中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1671-864X(2016)03-0000-01

        引言:

        我國已故著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過:“數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事非?!边@恰恰體現(xiàn)了“數(shù)與形”不可分割的關系?!皵?shù)與形”反映了事物兩個方面的屬性,在數(shù)學發(fā)展過程中,數(shù)與形常常結合在一起,內容上互相聯(lián)系,方法上互相滲透,并在一定的條件下互相轉化。縱觀多年來的高考試題,它對數(shù)形結合的思想與方法有著較高的要求,巧妙運用這一思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題,可起到事半功倍的效果。

        一、數(shù)形結合思想與高中數(shù)學教學

        (一)從新課程數(shù)學內容的特點來看數(shù)形結合思想。

        新高中數(shù)學課將精選出代數(shù)、幾何等基礎知識綜合為一門學科,這樣有利于精簡教學內容,有利于數(shù)學各部分內容相互的聯(lián)系,有利于數(shù)學思想方法的相互滲透。新教材充實了平面向量和空間向量,這些改革都有利于“形”與“數(shù)”的結合。

        (二)數(shù)形結合思想在高中數(shù)學教學中的作用。

        1.有助于學生形成和諧、完整的數(shù)學概念。

        2.有助于拓展學生尋找解決問題的途徑。

        3.有助于學生數(shù)學思維能力的發(fā)展。

        4.利用數(shù)形結合,喚起學生對數(shù)學美的追求。

        二、數(shù)形結合思想在高考解題中的應用

        1.數(shù)形結合思想在平面幾何和立體幾何中的應用。

        例:(2007年四川卷) 是同一平面內的三條平行線, 與 間的距離是1, 與 間的距離是2,正三角形 的三頂點分別在 , , 上,則三角形 的邊長是()

        2.數(shù)形結合思想在集合問題中的應用。

        集合運算中常常借助于數(shù)軸、venn圖來處理集合的交、并、補等運算,從而使問題得以簡化,運算快捷明了。

        例:(2008年北京卷)已知全集 ,集合A= ,B= ,那么集合 等于()

        3.數(shù)形結合思想在圓錐曲線中的應用。

        例:(2010年天津卷) M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足: .

        求點P的軌跡方程。

        4.數(shù)形結合思想在三角函數(shù)問題中的應用。

        有關三角函數(shù)單調區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題,一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理,數(shù)形結合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。

        例:(2013年浙江卷)方程 , 的實數(shù)解的個數(shù)是()

        A.2 B.3 C.4 D.以上均不對

        5.數(shù)形結合思想在平面向量問題中的應用。

        向量集數(shù)與形于一身,既包含代數(shù)的抽象性又包含了幾何的直觀性,因此數(shù)形結合思想是解決向量問題的有力工具。

        例:已知向量 , ,則向量 的長度的最大值是

        6.數(shù)形結合思想在方程問題中的應用。

        處理方程時,把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題。

        例:實系數(shù)方程 的一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求 的取值范圍

        7.數(shù)形結合思想在不等式中的應用。

        在有些不等式的證明過程中,根據(jù)已知條件的結構特點,聯(lián)想它所表示的幾何圖形的意義,通過圖形啟發(fā)思維,找到簡潔的證明思路。

        例:不等式 解集為_________。

        8.數(shù)形結合思想在數(shù)列中的應用。

        數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進行直觀分析,從而把數(shù)列的有關問題轉化為函數(shù)的有關問題來解決。

        例:設等差數(shù)列 的前 項和為 ,若 ,則 的最大值為_________。

        小結:

        數(shù)形結合思想在每年高考的選擇題、填空題都會涉及到數(shù)形結合思想來快速解答,而壓軸題也會涉及到數(shù)形結合思想。因此,對數(shù)形結合的活學活用是進一步提高分數(shù)的關鍵。

        抓住數(shù)形結合思想不僅能提高學生數(shù)形轉化能力,而且可以提高學生的思維能力。俗語有云“授之以魚,不如授之以漁”,方法的掌握,思想的形成,才能使學生受益終生。

        參考文獻:

        [1]汪江松.高中數(shù)學解題方法與技巧.湖北教育出版社.2009.7

        [2]袁桂珍. 數(shù)形結合思想方法及其運用[J]. 廣西教育 .2004,(15) .

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        [5]陳喜娥. 尹雪峰. 淺談數(shù)學思想方法的培養(yǎng)[J]. 山西煤炭管理干部學院學報 . 2006.(02).

        [6]李晉彪. 談談數(shù)形結合的實際應用[J]. 太原教育學院學報 . 2003.(03) .

        [7]王亞亮.寧鳳芹. 數(shù)形結合法解題教學的意義[J]. 保山師專學報 . 2003.(05) .

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