朱琦
摘要:數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法之一,它也是解答高考數(shù)學(xué)試題一種常用方法與技巧。本文通過比較數(shù)形結(jié)合思想的試題在歷年高考中的比重,以及典型例題,闡述了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的作用。
關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;高中;解題
中圖分類號:G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1671-864X(2016)03-0000-01
引言:
我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非?!边@恰恰體現(xiàn)了“數(shù)與形”不可分割的關(guān)系?!皵?shù)與形”反映了事物兩個方面的屬性,在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中,數(shù)與形常常結(jié)合在一起,內(nèi)容上互相聯(lián)系,方法上互相滲透,并在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化??v觀多年來的高考試題,它對數(shù)形結(jié)合的思想與方法有著較高的要求,巧妙運(yùn)用這一思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題,可起到事半功倍的效果。
一、數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)教學(xué)
(一)從新課程數(shù)學(xué)內(nèi)容的特點來看數(shù)形結(jié)合思想。
新高中數(shù)學(xué)課將精選出代數(shù)、幾何等基礎(chǔ)知識綜合為一門學(xué)科,這樣有利于精簡教學(xué)內(nèi)容,有利于數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容相互的聯(lián)系,有利于數(shù)學(xué)思想方法的相互滲透。新教材充實了平面向量和空間向量,這些改革都有利于“形”與“數(shù)”的結(jié)合。
(二)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。
1.有助于學(xué)生形成和諧、完整的數(shù)學(xué)概念。
2.有助于拓展學(xué)生尋找解決問題的途徑。
3.有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。
4.利用數(shù)形結(jié)合,喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求。
二、數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用
1.數(shù)形結(jié)合思想在平面幾何和立體幾何中的應(yīng)用。
例:(2007年四川卷) 是同一平面內(nèi)的三條平行線, 與 間的距離是1, 與 間的距離是2,正三角形 的三頂點分別在 , , 上,則三角形 的邊長是()
2.數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用。
集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算,從而使問題得以簡化,運(yùn)算快捷明了。
例:(2008年北京卷)已知全集 ,集合A= ,B= ,那么集合 等于()
3.數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線中的應(yīng)用。
例:(2010年天津卷) M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點,動點P滿足: .
求點P的軌跡方程。
4.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用。
有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題,一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖像來處理,數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法。
例:(2013年浙江卷)方程 , 的實數(shù)解的個數(shù)是()
A.2 B.3 C.4 D.以上均不對
5.數(shù)形結(jié)合思想在平面向量問題中的應(yīng)用。
向量集數(shù)與形于一身,既包含代數(shù)的抽象性又包含了幾何的直觀性,因此數(shù)形結(jié)合思想是解決向量問題的有力工具。
例:已知向量 , ,則向量 的長度的最大值是
6.數(shù)形結(jié)合思想在方程問題中的應(yīng)用。
處理方程時,把方程的根的問題看作兩個函數(shù)圖像的交點問題。
例:實系數(shù)方程 的一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求 的取值范圍
7.數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用。
在有些不等式的證明過程中,根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)特點,聯(lián)想它所表示的幾何圖形的意義,通過圖形啟發(fā)思維,找到簡潔的證明思路。
例:不等式 解集為_________。
8.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列中的應(yīng)用。
數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列的通項公式以及前n項和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析,從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決。
例:設(shè)等差數(shù)列 的前 項和為 ,若 ,則 的最大值為_________。
小結(jié):
數(shù)形結(jié)合思想在每年高考的選擇題、填空題都會涉及到數(shù)形結(jié)合思想來快速解答,而壓軸題也會涉及到數(shù)形結(jié)合思想。因此,對數(shù)形結(jié)合的活學(xué)活用是進(jìn)一步提高分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵。
抓住數(shù)形結(jié)合思想不僅能提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力,而且可以提高學(xué)生的思維能力。俗語有云“授之以魚,不如授之以漁”,方法的掌握,思想的形成,才能使學(xué)生受益終生。
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