●馮　濤　(北侖中學(xué)　浙江寧波　315800)

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說題，助推數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展*

●馮濤(北侖中學(xué)浙江寧波315800)

摘要:著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是解題，解題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最有用的精華．本文結(jié)合筆者在2015年浙江省寧波市優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中的說題案例，旨在闡明中學(xué)數(shù)學(xué)教師在專業(yè)成長(zhǎng)中離不開解題研究，說題是助推教師成長(zhǎng)的一種重要形式．說題不只是說，它包括了題目解法的探究、題目的推廣與引申、題目的深層次背景及其教育價(jià)值的挖掘．

關(guān)鍵詞:說題;專業(yè)成長(zhǎng);教學(xué)價(jià)值

2015年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比在余姚中學(xué)舉行，來自各市區(qū)縣的代表參加了這次比賽．此次比賽分為上課展示和說題2個(gè)環(huán)節(jié)，說題環(huán)節(jié)的比賽在第一天下午展開，其規(guī)則大致和浙江省第2次說題比賽保持一致，即參賽教師從現(xiàn)場(chǎng)抽取題目，在單獨(dú)的教室準(zhǔn)備30分鐘，然后在15分鐘時(shí)間內(nèi)向?qū)＜以u(píng)委解讀該題的解法、背景、引申、拓展以及教學(xué)價(jià)值．筆者有幸參加了這次比賽，并榮獲市一等獎(jiǎng)．算上這次說題比賽的經(jīng)歷，筆者已經(jīng)參加了3次類似的專業(yè)比賽，對(duì)筆者在數(shù)學(xué)教育專業(yè)上的成長(zhǎng)起到了助推器的作用，以下筆者結(jié)合說題經(jīng)歷談?wù)勛约旱捏w會(huì)．

1　說題引領(lǐng)教師深入研究解題

波利亞說過:中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)是解題．他又說:解題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最有用的精華．每一位剛剛?cè)胄械臄?shù)學(xué)教師都會(huì)被要求多解題，多研究高考題、競(jìng)賽題，保持對(duì)解題旺盛的興趣和精力，并以此為契機(jī)打好堅(jiān)實(shí)的解題功底．教師的解題與學(xué)生的解題有很大的區(qū)別，教師不僅要研究解題的結(jié)果，更加要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)以及內(nèi)在思維方法和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而學(xué)生往往只是關(guān)注解題的結(jié)果．如果教師的解題停留在學(xué)生的層次，那么久而久之，教師的解題水平乃至興趣都會(huì)下降，專業(yè)發(fā)展基本趨于停滯．因此說題這樣一種教研活動(dòng)實(shí)際上是一種助推教師個(gè)人專業(yè)發(fā)展的有效形式，它推動(dòng)參與其中的每一位教師在研究狀態(tài)下進(jìn)行日常的解題，將解題從一種簡(jiǎn)單自發(fā)的工作任務(wù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂X的學(xué)科研究行為．

此次說題比賽的第1個(gè)環(huán)節(jié)是說題目的解法，筆者抽到的題目是2015年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題．這是一道平面向量與平面幾何相結(jié)合的小題，總體難度并不大，筆者將所探求的主要解法整理如下:

圖1

(2015年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

注意到∠EDF+∠A=π，因此從而

解法2(消元法)

在解法1中，若沒有將2個(gè)面積等式整體相乘處理，則不妨考慮消元．由，知

從而

解法3在解法2的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)消元法，以x為主元處理．如圖2，注意到點(diǎn)D 分BC恰為1∶2，故可作CG⊥AB于點(diǎn)G，則

圖2

即，于是

故

解法4將面積條件換個(gè)角度看，以∠CAD=

從而

解法5以A為原點(diǎn)、AB為x軸、過點(diǎn)A且與AB垂直的直線為y軸建立坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為

解法6利用向量投影的意義解決．只需要利用四點(diǎn)共圓，從而∠A與∠EDF的補(bǔ)角相等．延長(zhǎng)ED，作FM⊥ED于點(diǎn)M，改進(jìn)解法5，向量的投影為

根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知

由于該題并不難，無論哪種解法都需要將已知條件中的面積關(guān)系與所要求解的數(shù)量積聯(lián)系起來，以上這些不同的解法實(shí)際上是相通的，形式變化，而本質(zhì)不變．若繼續(xù)探究，此題還有更多的解法，這種在解法上的求異思維、發(fā)散思維對(duì)教師提高解題能力和養(yǎng)成好的思維習(xí)慣大有裨益．

2　說題引領(lǐng)教師深化思維，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

孟子曰:“賢者以其昭昭，使人昭昭．”意思是:要讓別人明白一件事情，自己首先要弄明白這件事情．因此，對(duì)于說題而言，探究一道題目的多種解法只是完成了說題的一個(gè)階段工作，如果教師在教學(xué)中也只是向?qū)W生展示了若干解法而不知引導(dǎo)學(xué)生升華思維，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，那么好比入寶山而空返，這就需要教師進(jìn)行解題后的追本溯源，深入剖析，高屋建瓴地把握解題規(guī)律，并有意識(shí)地將這樣的研究方法固化，一方面引領(lǐng)自身的專業(yè)發(fā)展，同時(shí)也引領(lǐng)學(xué)生優(yōu)化思考方式，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)解題，最終達(dá)到培養(yǎng)思維能力的目的．

此次說題的另一重要環(huán)節(jié)就是說題目的引申與拓展．對(duì)這道題目而言，筆者經(jīng)過深入探究得到了一系列一般性的結(jié)論，具體計(jì)算過程可以參考解法1，以下不再贅述．

圖3

1)將題目條件一般化．

如圖3，在銳角△ABC中，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

2)將大前提改為鈍角三角形，其他條件相應(yīng)也進(jìn)行一般化．

如圖4，在鈍角△ABC中，∠A，∠B，∠C之一為鈍角，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

圖4

圖5

3)將大前提改為直角三角形，其他條件相應(yīng)也進(jìn)行一般化．

①如圖5，在Rt△ABC中，∠B，∠C之一為直角，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

②在Rt△ABC中，∠A為直角(tanA無意義)，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥ AC于點(diǎn)F，則

說明以上引申1)～3)主要改變了大前提——三角形的形狀，除了當(dāng)∠A為直角時(shí)結(jié)論退化為0外，其余情形結(jié)論不變．這表明此題設(shè)置為銳角三角形或許只是為了降低考生對(duì)發(fā)現(xiàn)∠A與∠EDF互補(bǔ)這一隱含關(guān)系的難度，否則當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，需要借助四點(diǎn)共圓中同弧所對(duì)圓周角相等來處理此題．另外，結(jié)論中的可以利用萬能公式化為sin2A，這樣結(jié)論顯得更加簡(jiǎn)潔，只是考慮到條件是tanA=μ，讀者可以自行推導(dǎo)．

4)將題目的求解目標(biāo)變成最值．

在銳角△ABC中，總面積設(shè)為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

5)將三角形改為鈍角三角形，求解目標(biāo)變成最值．

在鈍角△ABC中，∠B，∠C為鈍角，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

6)將三角形改為鈍角三角形，求解目標(biāo)變成最值．

在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

說明以上引申5)和6)的區(qū)別在于:當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，目標(biāo)有最大值;當(dāng)∠A不為鈍角，∠B或∠C為鈍角時(shí)，目標(biāo)有最小值，并且都是在當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)達(dá)到相應(yīng)的最值．如果把三角形改為直角三角形，當(dāng)∠A為直角時(shí)沒有最值，只有定值0;當(dāng)∠B，∠C為直角時(shí)，∠A為銳角，此時(shí)目標(biāo)有最小值

由于比賽時(shí)間和自身認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的局限性，以上的一些引申與拓展，也可能尚未看到問題的本質(zhì)，但通過對(duì)題目多角度的思考，教師的研究方法值得肯定，對(duì)所研究題目的結(jié)構(gòu)也會(huì)逐漸清晰起來．

3　說題引領(lǐng)教師鉆研學(xué)科教學(xué)

在教師的專業(yè)發(fā)展中，教師的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)對(duì)于教學(xué)至關(guān)重要，但是并非具備了充足的數(shù)學(xué)知識(shí)就能成為一名好教師，還需要具有針對(duì)特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)知識(shí)，需要懂得教育學(xué)、心理學(xué)，清晰的語言表達(dá)能力，需要將數(shù)學(xué)的知識(shí)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，最終服務(wù)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解．

此次說題的第3個(gè)環(huán)節(jié)是說教學(xué)價(jià)值，只需要教師思考該問題在高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的價(jià)值以及如何把這個(gè)問題講清楚，講透徹．

從知識(shí)上說，此題考查了解三角形面積知識(shí)、三角函數(shù)恒等變換知識(shí)、向量數(shù)量積知識(shí)、圓的知識(shí)、基本不等式知識(shí)等．

從方法上說，它涉及了消元法、主元法、方程法、整體代換法、坐標(biāo)法等．

從思想上說，它應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想、主元思想、方程思想、化歸思想，在引申中用到了一般化思想和函數(shù)思想等．

在課堂教學(xué)中可以嘗試讓學(xué)生先自行解答，教師從旁引領(lǐng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表看法，并總結(jié)學(xué)生的解法，小結(jié)解題的知識(shí)、方法、思想，甚至可以鼓勵(lì)學(xué)生變題和編題．

例2如圖6，在銳角△ABC中，總面積為定值s，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積之比為λ(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE∥AC，DF∥AB，則

學(xué)生把原先2個(gè)垂直條件改變?yōu)槠叫?，那?個(gè)對(duì)角的互補(bǔ)關(guān)系變成了更為直接的相等關(guān)系，在其他條件不變的情形下，解決這個(gè)問題的數(shù)量積顯得更加順利，并且這是一個(gè)比較常見的向量數(shù)量積問題，還有學(xué)生認(rèn)為原題命題者是在平行的基礎(chǔ)上，為了增加難度，而將平行改為了垂直．學(xué)生的參與將一堂傳統(tǒng)以教師講授為主的課轉(zhuǎn)化為了以學(xué)生探究為主的、師生合作的探究性課，效果截然不同．

圖6

圖7

4　說題引領(lǐng)教師反思創(chuàng)新

一位教師在專業(yè)發(fā)展過程中，最終是成為一名專家型的教師還是普通的教書匠，關(guān)鍵在于反思，比如這道題目除了以上的引申和拓展，似乎總是離問題本源尚存在距離，也就是說此題的深層數(shù)學(xué)背景是什么呢?

此次說題還有一個(gè)環(huán)節(jié)就是說背景，這需要教師透過現(xiàn)象看本質(zhì)，這道題目條件中已知一個(gè)內(nèi)角和三角形面積以及該內(nèi)角的對(duì)邊上一個(gè)分點(diǎn)就能計(jì)算數(shù)量積，這說明數(shù)量積與面積有莫大的關(guān)聯(lián)，經(jīng)過筆者探究發(fā)現(xiàn)，以銳角三角形為例得到:

例3在銳角△ABC中，tanA=μ，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為s，λs(其中λ＞0)．過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，則

思考2此題另一個(gè)可能的背景是，此題可以聯(lián)想到向量積的模就是以2個(gè)向量所在邊構(gòu)造的平行四邊形的面積，那么經(jīng)探究可得與存在如下關(guān)系:

誠(chéng)然，以上的反思和引申拓展離真正的創(chuàng)新尚存在差距，甚至并未將數(shù)學(xué)的本質(zhì)看透，但是它至少引領(lǐng)我們明白解決一個(gè)題目并不是萬事大吉，它助推了教師養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣．只要這樣的研究狀態(tài)持之以恒，我們的進(jìn)步是巨大的，那么距離真正意義上的創(chuàng)新也就不遠(yuǎn)了．

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)和積累數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的過程;是一個(gè)數(shù)學(xué)技能不斷形成和能力不斷提高的過程;是一個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷形成和提升的過程．而說題恰好提供了一個(gè)十分契合的模式，有力地助推了數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長(zhǎng)，除此之外，專業(yè)的發(fā)展還需要對(duì)數(shù)學(xué)教育理論不斷學(xué)習(xí)，對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行深刻反思，對(duì)教學(xué)行為進(jìn)行及時(shí)地調(diào)整．

作者簡(jiǎn)介:馮濤(1979－)，男，浙江寧波人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-08;2015-12-11．

中圖分類號(hào):O12

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1003－6407(2016)04-03-04