●黃可旺　(溫州第二高級中學　浙江溫州　325000)

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例談高中數(shù)學幾種常見的命題失誤*

●黃可旺(溫州第二高級中學浙江溫州325000)

摘要:從當前高中數(shù)學試卷中出現(xiàn)的典型錯例出發(fā)，剖析高中數(shù)學命題中出現(xiàn)的常見失誤及其誘因，提醒廣大教師在命題工作中既要防范出現(xiàn)科學性錯誤，也要注重試題題干語言表述簡潔、規(guī)范、不產生歧義，更要關注試題設計的有效性，體現(xiàn)試題的公平性及對教學的導向性．

關鍵詞:命題失誤;誘因;有效性

命題是數(shù)學教師教學工作的重要環(huán)節(jié)．一個高質量的試題可幫助學生更好地掌握所學知識，理解數(shù)學思想方法．對每一位教師來說，命制出高質量的習題、試題為教學所用，是必備的基本功之一［1］．然而在實際命題過程中，因為命題者的不慎，忽視命題條件的相容性、存在性以及表意的唯一性等原則要求，導致命題失誤的例子時有發(fā)生．本文以具體實例來剖析這些命題失誤及其誘因，以引起教師(命題者)的注意，避免在命題中出現(xiàn)類似失誤．

1　忽視條件間的相容性

一道數(shù)學命題應是一個有機的整體，它要求組成命題的條件與結論，以及各條件之間互相獨立，且不能互相矛盾［2］．

例1已知△ABC的一個內角平分線所在的直線方程為2x+y－1=0，且頂點為A(－1，1)，B(1，2)，求頂點C的坐標．

(浙江省溫州第二高級中學2015年高二期中考試試題)

分析點A(－1，1)，B(1，2)都不滿足方程2x+y－1=0，因此直線2x+y－1=0是∠ACB的平分線．設點A(1，2)關于直線2x+y－1=0的對稱點是A'(a，b)，則點A'在直線BC上，從而

評注上述解法沒有錯誤，但此時點A，B，C共線，這與題設“點A，B，C是△ABC的頂點”相矛盾．修正方法:調整點A(或點B)的坐標使得點A，B位于直線2x+y－1=0的2側，且直線AB與直線2x+y－1=0相交但不垂直即可．

2　忽視幾何圖形的存在性

例2設△AnBnCn的3條邊分別為an，bn，cn，其中n=1，2，3，……，若b1＞c1，b1+c1=2a1，，則角An的最大值是______．

(吉林省延邊州2015屆數(shù)學高考一模試題)

分析因為an+1=an，所以an=a1．又因為，所以

即bn+cn為常數(shù)．又由基本不等式可得

由余弦定理得

故角An的最大值是

這與題干b1＞c1矛盾．故角An不存在最大值．本例出現(xiàn)失誤的原因在于命題者未檢驗取得最值時三角形的存在性．若將本例的設問改為求角An的取值范圍不失為一道好題．

3　混淆相近的概念

例3在△ABC中，已知AB=2AC．

1)略;

2)若AD是角A的角平分線，且AD=kAC，求k的取值范圍．

(浙江省新昌中學2015年高三期中考試試題)

評注我們知道:從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成2個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線．由此可見，角平分線是一條射線，因此題設中點D的位置是不明確的．事實上，三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，聯(lián)結這個角的頂點與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線(也叫三角形的內角平分線)．本例中，第2)小題應將條件修改為“若AD是角A的內角平分線”．

4　題干條件贅余

一道數(shù)學試題中各條件應當既相互獨立，又缺一不可．就是說數(shù)學試題的呈現(xiàn)方式應符合數(shù)學學科的特征，即嚴謹、精確并且表述言簡意賅，否則會給人造成拖沓、繁雜之感，影響考生正常作答．忽視這一原則，也會造成命題失誤．

(浙江省深化課改協(xié)作校2016屆高三期中聯(lián)考文科試題)

分析設tanC=n，tanB=m，tan∠BAC=p，可得

若C＞90°，n＜0＜p＜m，則m+n+p=mnp＜n，矛盾;若C＜90°，0＜p＜m＜n，則

因此mp＜3．又因為m，p∈N*，所以p=1，m=2，n=3．由正弦定理可知

5　語義表述不清

例5某單位安排7位員工在周一至周日值班，每天一人，每人值班一天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰2天，丙不排在周一，丁不排在周日，問:有多少種安排方案?()

種方法．故選C．

評注若值班期限僅有一周，則答案為1008 種;若值班期限不止一周，則把甲、乙排在周日、周一，也符合相鄰2天的要求，此時共有種排法，故總共有1248種排法．筆者認為本題在語言表述上存在歧義，建議將“丁不排在周日”改為“丁不排在周六”可消除歧義．

6　混淆邏輯關系

例6已知函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2016屆第一次聯(lián)考理科試題)

評注本例給出的參考答案為C．本例中，若默認函數(shù)f(x)的定義域為R，則選項C，D均正確;否則，取f(x)=x，x∈［1，2］，顯然此函數(shù)不是偶函數(shù)，也不存在，可見本題選項設置有誤．本例錯誤根源在于命題者混淆了邏輯關系，誤以為命題“函數(shù)f(x)是偶函數(shù)”的否定形式為事實上，命題“函數(shù)f(x)為偶函數(shù)”的全部內涵是:函數(shù)f(x)的定義域D關于原點對稱且對?x∈D，f(－x)= f(x)，故其否定形式應為“函數(shù)f(x)的定義域D不關于原點對稱或?x∈D，f(－x)≠f(x)”．修改方法:題干中增加函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，+∞)．

7　偏離考核目標

對于一道具體的試題而言，其難度的大小及在整卷中的地位在命題中必須有個清晰準確的定位．然后從“試題如何有利于學生發(fā)揮水平?如何對下一階段的數(shù)學教與學起到良好的導向作用?試題的難度立意是否恰當?”等角度進行調整，從而使試題更趨于符合預先設定的考核目標［3］．否則，容易失去方向，人為地拔高試題難度，超出應考查的范圍和難度值，將會喪失考試的公平性和對教學的導向性．

例7設函數(shù)f:N+→N+，且對所有正整數(shù)n，有f(n+1)＞f(n)，f(f(n))=3n，則f(2015)= ()

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2016屆第一次聯(lián)考理科試題)

目前，在天然藥物學基礎教學中，中藥口袋標本已經(jīng)成為學生重要的學習工具。走進藥劑班，就可聞到濃濃的中藥味，課間經(jīng)?？匆妼W生拿著口袋標本在認藥，這對提升教學實效起到了極大的促進作用。但在應用過程中也出現(xiàn)了一些問題，有待改進。

分析令n=1，得f(f(1))=3;對f(1)的值進行討論得f(1)=2，f(2)=3．當n∈N+時，

從而

且

于是

若將本題改為填空題，求f(5)的值，則不失為一道有區(qū)分度的好題．

8　忽視子題間的獨立性

1)若函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關于x=1對稱，求g(x)的解析式．

(第4屆“睿達杯”高中生數(shù)學能力競賽高三試題)

評注組委會公布參考答案如下:

F(x)關于直線x=1對稱，且F(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，2)上遞增，因此

解得0≤a＜1．

我們知道，在大前提中的條件及其所推導出的結論，各子題都可用;而某個子題中的條件或推出的結論，在求解其他并列的子題時，則不能作為已知條件使用．在本例中，由第1)小題中的條件“函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關于x=1對稱”得出的結論只適用第1)小題，而不適用于第2)小題．若要得到原來的解，筆者認為應把第1)小題中的條件提到大題干中，或在第2)小題中添加條件“在第1)小題的條件下”．

從上述的幾個例子可以看出，雖然很多命題的錯誤都有一定的隱蔽，但均能找到其產生的根源．因而一道科學的數(shù)學題，必須經(jīng)過命題者反復推敲，反復論證，確認沒有問題后才能交給學生，不能僅憑經(jīng)驗，草率編題、改題．同時，教師在教學中也要引導學生辨認錯題的結構及其誘因，找出修正錯誤的方法，從而培養(yǎng)其思維的批判性、嚴密性．

參考文獻

［1］張金良．一份優(yōu)質高中數(shù)學試卷的衡量標準與命制技術［J］．中學數(shù)學教育，2012(4):2-4．

［2］王從文．例說初中數(shù)學的幾種命題失誤［J］．中學數(shù)學教學，2001(1):36-37．

［3］董建功．如何命好數(shù)學題［M］．上海:華東師范大學出版社，2009．

作者簡介:黃可旺(1981－)，男，浙江溫州人，中學一級教師，教育碩士研究生，研究方向:數(shù)學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-19;2016-01-19．

中圖分類號:O12

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-31-04