●李學軍　(平湖中學　浙江平湖　314200)

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用本促真貼地前行*——一道高二考題的思考歷程

●李學軍(平湖中學浙江平湖314200)

摘要:數(shù)學教師不僅要研究解題，更要研究學生的解題，引導學生用數(shù)學的思維去思考和解決問題，去體會、體驗在解題過程中的糾結(jié)和成功之后的快樂，實現(xiàn)真正意義的數(shù)學學習．本文結(jié)合一道學生似乎無法入手的考題，展示出筆者的思考歷程，得到6種解法，并進行一定的拓展．

關(guān)鍵詞:本真;迷茫;反思;拓展

學生在做數(shù)學題的過程中，大多數(shù)是尋找曾經(jīng)做過的題目的味道，對于呈現(xiàn)他們面前的數(shù)學試題，不能很好地思考試題的根本考點、考查的基本數(shù)學方法，當在遇到陌生的數(shù)學試題時，有時會有一種無助的感覺．當遇到暫時無法入手的試題時，我們是否真正地想到了數(shù)學學習的本質(zhì)，真正想起了用數(shù)學思維去思考需要解決的問題．章建躍也曾說過:“要讓學生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣．”作為一線教師，筆者認為在平時的教學過程中，更應(yīng)該關(guān)注數(shù)學學習的本質(zhì)，用數(shù)學思維去思考數(shù)學問題．下面筆者以所任教學校2015年高二期中考試中的一道填空題為例，將這道試題的思考歷程呈現(xiàn)如下．

例1已知實數(shù)a，b滿足a2+b2≠0，過點M(－1，0)作直線ax+by+2b－a=0的垂線，垂足為N，點P(1，1)，則的最大值為______(答案:

1　不識廬山真面目——迷茫

初識此題，似乎無處著手，糾結(jié)于已知條件到底要告訴我們什么信息，因此，在這個猶豫徘徊的過程中有大量的時間從我們身邊悄悄溜走，與其臨淵羨漁，不如退而結(jié)網(wǎng)，我們完全可以從結(jié)論入手，要想求|PN|的最大值，必須要表示出|PN|，因此，非常自然就產(chǎn)生了如下的解法．

視角1函數(shù)思想

解法1過點M(－1，0)并且與直線ax+by+ 2b－a=0垂直的直線方程為

從而

當b=0時，N(1，0)，此時|PN|=1，

令t－3=n，則

則

解后反思這種解法對于學生來說，“痛處”在于較大的計算量，僅僅算出點的坐標就已經(jīng)讓一部分學生感覺心生怯意了，接下來存在一定技巧的數(shù)據(jù)處理即二元變量到一元變量的轉(zhuǎn)化也是一部分學生無法掌握并且熟練運用的，第3層操作的障礙就是函數(shù)最值的處理，總體說來這種解法對于學生來說困難重重，算對實屬不易．

2　小荷才露尖尖角——清晰

在計算出|PN|2之后，發(fā)現(xiàn)表達式中有題目已知條件當中的a2+b2≠0，這難道是一種巧合還是另有玄機呢?這個形式卻可以讓我們聯(lián)想到圓的方程，因此，圓的參數(shù)方程的引入的想法也就產(chǎn)生了，就有了如下的解法．

視角2三角函數(shù)思維

解法2令a2+b2=r2(其中r＞0)，設(shè)a= rcosθ，b=rsinθ，則

解后反思這種解法的產(chǎn)生來源于對圓的參數(shù)方程的深入理解及結(jié)構(gòu)形式的深入認識，以及對試題中所提供的已知條件能夠充分的銜接，能夠很好地考查學生對于知識的理解和運用的能力，存在一定的技巧性．

視角3軌跡法

解法3事實上點N的坐標滿足關(guān)系式也就是以字母a，b為參數(shù)的參數(shù)方程，如果通過消參化成普通方程，就能夠比較清楚地認識點N的軌跡方程，對于研究|PN|的最大值是非常有幫助的．因為

設(shè)點N(x，y)，則

設(shè)(x－1)2+(y－1)2=m，由

從而

因為關(guān)于y的一元二次方程有實數(shù)根，所以

解后反思對于同樣的一組數(shù)據(jù)，觀察的角度不同，就會產(chǎn)生不一樣的想法．對于已經(jīng)解出的點N的坐標滿足關(guān)系式

我們可以把它們看成是關(guān)于參數(shù)a，b的參數(shù)方程．但是，對于這組參數(shù)進行整體消參還是具有較大的難度，需要較高的數(shù)學綜合素質(zhì)．通過把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，就能夠比較清楚地認識點N的軌跡是一個圓，然后再利用圓的相關(guān)知識進行求解．

3　橫看成嶺側(cè)成峰——再思

通過上述多種方法，已經(jīng)探討出點N的軌跡方程是一個圓，那么這個問題就可以轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的距離的最大值問題，接下來利用圓的相關(guān)知識和方法對解法進行如下優(yōu)化．

視角4換元法

解后反思當我們已經(jīng)知道點N的軌跡是一個圓的時候，就比較容易聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，從而把問題轉(zhuǎn)化為求相關(guān)三角函數(shù)的最值問題．

視角五幾何法

解法5如圖1，設(shè)x2+(y+1)2=2的圓心C(0，－1)，直線PC交⊙C于點A，B，則

推薦理由:本書是數(shù)年難得一遇的思想巨制，是一本集經(jīng)管、科普、社科、新思維于一身的作品，可以幫你化繁為簡，重審世界，將世間萬事的發(fā)展邏輯化作簡單、可預(yù)測、可推演的規(guī)模法則。利用規(guī)模法則，不僅可以了解身體機能，甚至可以重新審視生活節(jié)奏、居住環(huán)境、就業(yè)情況以及國家的未來。本書傾注了作者在物理學、生物學、經(jīng)濟學、社會學等跨學科領(lǐng)域的畢生研究。

解后反思對于圓的問題一定關(guān)注圓心，利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造三角不等式，從而能夠快速地得出想要的結(jié)果．

圖1

圖2

視角6特殊到一般

在講評的過程中，和學生進行溝通時發(fā)現(xiàn):如圖2，大多數(shù)學生都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了直線ax+by+2ba=0經(jīng)過定點Q(1，－2)，然而學生不知道該如何利用這個定點的條件．事實上，學生在考試的過程中的確很難發(fā)現(xiàn)交點N的軌跡是一個圓，但是學生在思考的過程中真正缺少的卻是數(shù)學思考的基本思維方式:歸納、猜想、論證．學生僅僅畫出一個交點，根本就沒有辦法歸納出結(jié)論，但是只要多畫幾個交點N，然后再進行觀察，直觀感覺完全是可以猜測出點的軌跡有可能一個圓，然后充分利用好直角的關(guān)系，很快就可以得到點N的軌跡就是一個圓．

余下解法同上．

4　絕知此事要躬行——拓展

一道試題研究到這里，應(yīng)該算是非常圓滿了，但是似乎還有些許意猶未盡的感覺．加涅曾經(jīng)說過:“問題解決并不是簡單的就先前習得的規(guī)則的運用，它也是一個產(chǎn)生新的學習的過程．”因此，筆者嘗試了進行如下拓展．

解如圖3，由圓的知識知點N的軌跡是以線段QM為弦的圓所對的劣弧，QM: x+y+1=0，過線段QM的中點C的垂線方程為x－y－1=0．設(shè)圓心(t，t－1)，則

圖3

求出2段圓弧所在的圓的方程分別為

又因為

所以

解略，答案為:

拓展3已知點M(－1，0)，點Q(1，－2)且∠QNM=α(其中0＜α＜π)，點P(1，1)，求|PN|的取值范圍．

圖4

圖5

圖6

圖7

4)當時(如圖7)，此時點N的軌跡為以線段MQ為弦所在圓的2段劣弧，2個圓的圓心分別為A，B，此時點A的橫坐標xA＞1，點B的橫坐標xB＜－1，所在圓的半徑為r，因此

解后反思對一類問題的思考既要知其然，更要知其所以然．在思考數(shù)學問題的過程中可以將有規(guī)律的數(shù)學問題進行更深層次的挖掘、探究．這樣可以遵循數(shù)學的思維方式，即由特殊到一般的思考方式，并且以問題串的方式進行呈現(xiàn)，問題難度由易到難，循序漸進，思維水平也是由低到高，拾階而上．

結(jié)束語偉大數(shù)學家哈爾莫斯曾說過:“問題是數(shù)學的心臟”．數(shù)學的學習就是在不斷地提出問題和解決問題的過程中發(fā)展的．波利亞也說過:“掌握數(shù)學就意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發(fā)明創(chuàng)造的題．”學生在數(shù)學學習的過程中，領(lǐng)悟基本知識、基本方法的運用，通過引導學生歸納解題方法、技巧、規(guī)律和思想方法，促進知識向能力轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)自我完善，爭取做一題通一法，會一類通一片的效果，讓我們的數(shù)學學習能夠腳踏實地的“高傲”的前行．

作者簡介:李學軍(1976－)，男，吉林省德惠市人，中學一級教師，研究方向:數(shù)學教育．

修訂日期:*收文日期:2015-12-11;2016-01-22．

中圖分類號:O122

文獻標識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-27-04