朱章根，李少勇

（1.韶關(guān)學(xué)院　物理與機(jī)電工程學(xué)院；2.韶關(guān)學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東　韶關(guān)　512005）

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均質(zhì)半圓球在剛性平面做微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)分析

朱章根1，李少勇2

（1.韶關(guān)學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院；2.韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

摘要：用動(dòng)力學(xué)的方法，建立了均質(zhì)半圓球在粗糙水平面以及光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的微分方程，分析兩種情況下微振動(dòng)的周期.當(dāng)剛性平面絕對(duì)粗糙時(shí)半圓球做無(wú)滑滾動(dòng),系統(tǒng)只有一個(gè)自由度；當(dāng)剛性平面為光滑時(shí)系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)形式為滾動(dòng)加滑動(dòng).并且指出了一些教材上的錯(cuò)誤，給出了正確的解答，可供教學(xué)參考.

關(guān)鍵詞：剛體動(dòng)力學(xué)；微振動(dòng)；微分方程；自由度

很多動(dòng)力學(xué)的書(shū)籍都有關(guān)于剛體動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容，求解物體運(yùn)動(dòng)的微分方程是理論力學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn).以下將給出五種常見(jiàn)的力學(xué)方法求解均質(zhì)半圓柱體在粗糙平面上做微擺動(dòng)的微分方程，旨在通過(guò)一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.可供一線(xiàn)教師以及考研學(xué)子借鑒.

問(wèn)題一的引入：如圖所示半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性半圓球在固定粗糙平面上無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng).初始時(shí)，半圓球體靜止，且∠COC*=θ0.半圓的質(zhì)心C與圓心O1之間的距離為e，試求當(dāng)解除約束后該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求其微擺運(yùn)動(dòng)的周期.

圖一　在水平上做為振動(dòng)的半圓球

圖二　在粗糙水平面上半圓球的受力情況

因而體系的動(dòng)能等于半圓球體繞著速度瞬心C*轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能

若以地面為零勢(shì)面，其勢(shì)能為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

解法二如圖二所示以O(shè)1基點(diǎn)為基點(diǎn)求C點(diǎn)的加速度

將aC在水平方向上以及豎直方向上分解可得

假設(shè)水平面對(duì)半圓球的摩擦力為F，支持力為N.對(duì)半圓球列寫(xiě)平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力力學(xué)方程可得：

解法三（動(dòng)靜法）如圖二所示系統(tǒng)為一個(gè)自由度，設(shè)θ為廣義坐標(biāo).以O(shè)為基點(diǎn)求C的加速度，由純滾動(dòng)的條件可知，C點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的切向以及法相加速度分別為將加速度沿著水平以及豎直方向上分解得

此時(shí)的慣性力以及慣性力偶矩分別為

對(duì)瞬心C*取力矩，由可得

代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得

解法四（用對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理求其運(yùn)動(dòng)的微分方程）如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)Z軸垂直向外.取定瞬心跡上P點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，則P做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)：

由對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩可得

解法五（動(dòng)能定理）系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，選θ為廣義坐標(biāo)，根據(jù)柯尼希定理.系統(tǒng)的動(dòng)能為

體系的勢(shì)能為

機(jī)械能守恒T+V=const，即：

將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

以上五種方法求得的微分方程一致，當(dāng)其在平衡位置擺動(dòng)時(shí)，令，有

因而θ=0為系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置.由上述分析可知θ=0為一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，半圓球的微振動(dòng)平衡位置只有一個(gè).

上兩個(gè)式子中t表示時(shí)間,t≥0，式(1)是沒(méi)有解析解的.求解有一定的困難.這里采用四階龍格庫(kù)塔方法用計(jì)算機(jī)求解.將(2)﹑(3)兩式稱(chēng)為理論解.用Matlab求得其圖像如下圖：

圖一　初值θ0→0.5π時(shí)計(jì)算機(jī)模擬數(shù)值解與理論解

不考慮半圓球側(cè)翻的情況下，在這里重力加速度取g=9.8m/s2.在研究其微分方程時(shí)候，取r=0.49m，根據(jù)實(shí)際情況.求得理論值與實(shí)際值差別比較大.其理論周期與數(shù)值解周期相差大約0.9s，誤差較大.但是隨著初值θ0的減小，理論解與數(shù)值解的周期速度等參數(shù)是很接近的！

當(dāng)θ0=0.1π時(shí)，理論解與數(shù)值解幾乎完全一模一樣，周期，速度函數(shù)圖像非常的接近.可見(jiàn)當(dāng)半圓球做微振動(dòng)的時(shí)候其運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全可以由(2)﹑(3)兩式來(lái)刻畫(huà).將數(shù)值解周期記為T(mén)1；理論解周期記為T(mén)1；數(shù)值解最大速度記為1max；理論解最大速度記為1max.將計(jì)算機(jī)計(jì)算結(jié)果記錄于表一中.根據(jù)理論解的表達(dá)式，物體運(yùn)動(dòng)的周期是一個(gè)固定值與初值無(wú)關(guān)，而根據(jù)龍格庫(kù)塔方法計(jì)算得到的(1)式的數(shù)值解與初值幾乎成正相關(guān).初值θ0越大，半圓球運(yùn)動(dòng)的周期就大.初值越大最大的速度也越大，這個(gè)與(3)式計(jì)算結(jié)果相似.

圖二　初值θ0=0.1ψ時(shí)計(jì)算機(jī)模擬數(shù)值解與理論解

表一　不同初值下的周期與速度變化規(guī)律

式(1)的數(shù)值解函數(shù)可以看出，半圓球做固定周期運(yùn)動(dòng)，與理論分析半圓在平衡位置附近來(lái)回?cái)[動(dòng)的結(jié)果一致.

問(wèn)題二：當(dāng)半圓柱體在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其微分方程又是什么呢？其微振動(dòng)的周期又是什么？剛性圓球在粗糙水平面上的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是既滾動(dòng)又滑動(dòng)的，因而系統(tǒng)是具有兩個(gè)自由度的.

解：取x,θ為廣義坐標(biāo)，設(shè)半圓體對(duì)C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JC，此時(shí)角速度為ω，質(zhì)心C點(diǎn)的坐標(biāo)為xC=x-esinθ，yC=r-ecosθ.對(duì)xC,yC求導(dǎo)得C點(diǎn)的速度為，則此時(shí)的動(dòng)能為：

取θ=0時(shí)為勢(shì)能零點(diǎn)，則此時(shí)的系統(tǒng)勢(shì)能為：

代入拉格朗日函數(shù)可得：

由

代入

可解得運(yùn)動(dòng)微分方程：

其物理意義為能量守恒.根據(jù)初始條件可求得C1=0﹑C2=mgr(1-cosθ0).由微分方程消去可得

因而θ=0為系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置.由上述分析可知θ=0為一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，半圓球的微振動(dòng)平衡位置只有一個(gè).類(lèi)似問(wèn)題一的處理方法可得解微分方程：可得

繼而可得

由于x(t)的表達(dá)根據(jù)(7)可以求出

x(t)為在坐標(biāo)軸左右擺動(dòng)的周期函數(shù)，與三角函數(shù)類(lèi)似.根據(jù)初值x0以及θ0即可求出其具體表達(dá)式.現(xiàn)在僅僅研究x.(t)即可知道半圓球在光滑平面上振動(dòng)的周期等.

圖三　θ'0→0.5π時(shí)的解函數(shù)圖像

這樣光滑平面上的半圓球的運(yùn)動(dòng)特性便可知道了.初值x'0對(duì)系統(tǒng)的擺動(dòng)周期沒(méi)有影響，在此可忽略不計(jì).仿照問(wèn)題一：可得以下計(jì)算機(jī)的計(jì)算結(jié)果：

當(dāng)θ'0→0.5π時(shí)，半圓球處在極限位置，在假設(shè)它不會(huì)側(cè)翻的前提下，得出了圖三的微分方程.并且取r=0.49m，求得理論值與實(shí)際值差別比較大.其理論周期與數(shù)值解周期相差大約0.4s.但是當(dāng)θ'0→0時(shí)，取小角度(4)式所得結(jié)果與(5)﹑(6)式非常接近.

圖四　θ'0=0.1π時(shí)的解函數(shù)圖像

表二　不同初值時(shí)的周期與速度最值

況且以上理論分析可知，在光滑平面上的半圓球運(yùn)動(dòng)的周期遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于在粗糙平面做純滾動(dòng)的半圓球體.而且在初值θ0=θ'0時(shí)，地面光滑的情況下半圓球所達(dá)到的最大速度比在粗糙平面的大.根據(jù)(6)式計(jì)算所得的理論速度，比(4)式要小，可見(jiàn)只有當(dāng)半圓球做微小振動(dòng)時(shí)候(5)﹑(6)兩式才能成立.一般當(dāng)θ'0≤0.1π=180°時(shí)，(5)﹑(6)兩式作為近似結(jié)果還是可以的.

由以上分析可知，無(wú)論剛性平面是光滑的還是粗糙的，在解除約束以后半圓球?qū)⒃谒矫嫔献鰯[動(dòng)的平衡位置都是只有一個(gè)的.且該平衡位置為穩(wěn)定平衡.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕李俊峰,等.理論力學(xué)（第2版）[M].北京:清華大學(xué)出版社,2010.

〔2〕哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室編.理論力學(xué)（第7版）[M].北京:清華大學(xué)出版社,2009.

〔3〕江蘇省力學(xué)學(xué)會(huì)教育科普委員會(huì).理論力學(xué)材料力學(xué)考研與競(jìng)賽試題精解（第2版）[M].北京:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,2010.

通訊作者：李少勇(1980-），男，講師，博士研究生，研究方向?yàn)槲⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用

基金項(xiàng)目：韶關(guān)學(xué)院科研項(xiàng)目（201320501)

收稿日期：2015-10-23

中圖分類(lèi)號(hào)：O131.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）03-0015-04