許 慶

（肇慶中學(xué)，廣東 肇慶 526060）

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是高三數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容的安排和設(shè)置是師生交流的橋梁，要有利于教師檢測(cè)學(xué)生知識(shí)掌握程度，發(fā)展學(xué)生思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；要有利于學(xué)生高考優(yōu)異成績(jī)的取得。根據(jù)高三數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和規(guī)律，“解決問(wèn)題”或者說(shuō)“數(shù)學(xué)題講解”是課堂的主要內(nèi)容，高三數(shù)學(xué)教學(xué)一定要重視選擇問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)以及講題教學(xué)的要點(diǎn)。根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以函數(shù)內(nèi)容為例總結(jié)了選擇題目的要點(diǎn)以及如何充分利用問(wèn)題、講解問(wèn)題，期望為高三數(shù)學(xué)教學(xué)在選好題、講好題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力和數(shù)學(xué)探索能力方面提供借鑒。

一、選題要點(diǎn)

選題要選擇那些能夠通過(guò)問(wèn)題的解決過(guò)程回顧知識(shí)點(diǎn)、理解概念、發(fā)展思維能力、檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果的題目。

（一）通過(guò)解題過(guò)程，回顧知識(shí)點(diǎn)，再次理解概念

（2）設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x之和為( )。

A.-3 B.3 C.-8 D.8

這道題的重點(diǎn)是對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)概念的理解。提示學(xué)生審題后首先回顧奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，比如定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x),圖像的對(duì)稱(chēng)性等。如果學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到（1）中利用定義域的對(duì)稱(chēng)性馬上可以得到答案后，學(xué)生就會(huì)重視對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的記憶與理解。

而對(duì)于（2）這樣的抽象函數(shù)，學(xué)生概念不清楚，做題容易出錯(cuò)，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一句句回顧定義，尤其是其中一句，“當(dāng)x＞0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù)”?；貧w定義，單調(diào)函數(shù)，分為單調(diào)遞增(對(duì)任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＜f(x2))和單調(diào)遞減(對(duì)任意的0＜x1＜x2,有f(x1)＞f(x2))。繼續(xù)回顧下去，引導(dǎo)學(xué)生揭示當(dāng)x＞0時(shí)對(duì)f(x)而言，x與y是一一對(duì)應(yīng)的以后，問(wèn)題就會(huì)明朗起來(lái)，說(shuō)明當(dāng)x＞0時(shí)，有。考慮到第一句話中的偶函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生再回顧偶函數(shù)定義f(-x)=f(x),那么就會(huì)有,所以就有了x2+3x-3=0和x2+5x+3=0,可以看到兩個(gè)方程均有實(shí)數(shù)根，且x1+x2=-3;x3+x4=-5。

在解這個(gè)問(wèn)題過(guò)程中，要給學(xué)生充分的時(shí)間嘗試、探究，從而自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律和結(jié)論。教師不斷的提醒每一個(gè)定義，適當(dāng)?shù)闹貜?fù)、提醒。從這個(gè)問(wèn)題中學(xué)生可以將單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)激活，并檢索、提取，并不再停留在簡(jiǎn)單的重復(fù)背誦上，而是理解意義上的記憶。這樣的題目不但回顧了知識(shí)，當(dāng)解題成功完成后，學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解也更深刻。

例2 （1）函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x+2)的定義域。（2）函數(shù)f(x+2)定義域?yàn)閇0,1]，求函數(shù)f(x)的定義域。

對(duì)于例2中的問(wèn)題，由于學(xué)生不理解函數(shù)概念以及函數(shù)符號(hào)導(dǎo)致解題容易出錯(cuò)。對(duì)此類(lèi)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)定義，在理解的基礎(chǔ)上解決問(wèn)題后，對(duì)糾正學(xué)生的認(rèn)識(shí)會(huì)有很大的幫助。首先回顧函數(shù)是從數(shù)集A到數(shù)集B的一個(gè)特殊映射，A叫做定義域。對(duì)于f(x)與f(x+2)是不同函數(shù)，那么對(duì)于f(x),（1）就可以認(rèn)為A=[0,1],所以f(x+2)當(dāng)中的(x+2)∈[0,1]。而對(duì)于（2）要再次提醒學(xué)生，定義域是一個(gè)集合，是x取值的集合，所以（2）中“f(x+2)定義域?yàn)閇0,1]”的理解應(yīng)該是x∈[0,1],從而(x+2)∈[2,3]。

教師所選擇的問(wèn)題，應(yīng)該追求在自然、主動(dòng)的狀態(tài)下使學(xué)生完成“概念再認(rèn)識(shí)”過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的再理解，并使學(xué)生養(yǎng)成靈活的運(yùn)用概念思考問(wèn)題的習(xí)慣，從而極大的提高學(xué)生的解題水平和數(shù)學(xué)能力。李邦河院士說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”所以我們?cè)谶x題時(shí)要重視那些對(duì)于概念記憶和理解有幫助的問(wèn)題。而教師在設(shè)置問(wèn)題時(shí)，如果能使學(xué)生解題時(shí)在一種自然、主動(dòng)的狀態(tài)下完成“概念再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程，展示教師運(yùn)用概念去思考問(wèn)題的想法，使學(xué)生感覺(jué)到解題過(guò)程是自然的，這樣學(xué)生就會(huì)慢慢學(xué)會(huì)用概念去思考問(wèn)題、指導(dǎo)思維的方式。

（二）通過(guò)題目發(fā)展思維能力，檢驗(yàn)復(fù)習(xí)效果

A.2個(gè) B.3個(gè) C.5個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

題目中的f(x)形式較為復(fù)雜，學(xué)生能否想到將f(x)換為,然后再進(jìn)一步考慮到是解題的關(guān)鍵所在。另外在這個(gè)題目當(dāng)中也考查到了基本函數(shù)圖像變換能力和數(shù)形結(jié)合的思想。

例4 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2,若對(duì)任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )。

首先題目當(dāng)中給出了當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2和不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，引導(dǎo)學(xué)生再次回顧問(wèn)題，考慮到題目特點(diǎn)就設(shè)想：不等式的右邊的“2f(x)”能否可以變成f(?),這是解題思維重點(diǎn)。注意到題目的特點(diǎn)，很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論x為正還是負(fù)，都會(huì)有2f(x)=f(2x),再結(jié)合單調(diào)性馬上可以把問(wèn)題簡(jiǎn)化為“x∈[t,t+2],不等式x+t≥ 2x”,這時(shí)問(wèn)題就簡(jiǎn)單很多了，只需要再考慮關(guān)于x的一次不等式(1- 2)x+t≥0在區(qū)間[t,t+2]恒成立就可以解決問(wèn)題了。

例3和例4對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力提出了要求，通過(guò)這樣的題目訓(xùn)練，學(xué)生對(duì)于函數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化化歸方向必然會(huì)有相應(yīng)的收獲。

另外在課堂上，教師通過(guò)精心選擇的適當(dāng)問(wèn)題，檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)學(xué)生所掌握的概念和知識(shí)，并且如果能盡可能多讓學(xué)生發(fā)表自己的看法，就可以通過(guò)這些活動(dòng)暴露學(xué)生的思維過(guò)程，找到他們腦海中的解決問(wèn)題的典型方法和存在的概念以及一些典型的錯(cuò)誤，還可以促進(jìn)學(xué)生自發(fā)的進(jìn)行歸納。學(xué)生也可以通過(guò)題目的反饋以及分析個(gè)人的解題活動(dòng)，感受到面臨問(wèn)題的困境、經(jīng)過(guò)努力完成問(wèn)題的喜悅感和滿足感。問(wèn)題的解決過(guò)程能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情。

二、講題的重點(diǎn)

教師在講解題目時(shí)要注意的幾個(gè)問(wèn)題是：首先一定要教會(huì)學(xué)生讀題。讀題時(shí)避免滑過(guò)題目，要在關(guān)鍵詞句上重點(diǎn)斟酌，解題思路可以?xún)?yōu)先考慮聯(lián)想，轉(zhuǎn)化。還要注意在解完一個(gè)問(wèn)題后，要在問(wèn)題的疑難點(diǎn)上下功夫，也要注重探究和變式。

（一）重視讀題，教師要避免包辦代替

有一種說(shuō)法，“讀題三遍，其義自現(xiàn)”。第一遍，縱觀全題，關(guān)注題目中出現(xiàn)的概念和定義，回憶概念和定義，讀通題目；第二遍，這些概念和定義有沒(méi)有相關(guān)的結(jié)論或者圖形，讀出題目背后的含義，從操作層面確定一些方向；第三遍，題目中式子、問(wèn)題是否存在某些關(guān)鍵點(diǎn)、特殊處，對(duì)于這些有什么聯(lián)想。題目的關(guān)鍵、特殊處就是一些概念或者問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)，或者解決問(wèn)題的核心。找到這些，對(duì)于解題的知識(shí)準(zhǔn)備和方法指導(dǎo)就有了方向。另外，還要注意一些關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，比如函數(shù)中定義域、單調(diào)性、圖形等，這些是熱點(diǎn)知識(shí)，應(yīng)該不斷的反復(fù)回顧反思，達(dá)到見(jiàn)到就能很快得到轉(zhuǎn)化。

例5 函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù)，又a∈R,則( )。

A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＜f(a)

C.f(a2+a)＜f(a) D.f(a2+1)＜f(a)

這個(gè)問(wèn)題，在讀第一遍時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意到減函數(shù)的定義，“定義域內(nèi)任意的x1＜x2,都有f(x1)＞f(x2)”,反過(guò)來(lái)也成立。從而題目的選項(xiàng)就變成了比較自變量的大小。

例6 冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N?)的圖像與坐標(biāo)軸無(wú)公共點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則m的值等于（ ）。

A.-1、0、1、2、3 B.0、1、2、3 C.1、3 D.1、2、3

讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意幾個(gè)關(guān)鍵詞句：冪函數(shù)、m∈N?、與坐標(biāo)軸無(wú)公共點(diǎn)、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。最后一個(gè)關(guān)鍵詞“關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”是關(guān)鍵，意味著函數(shù)為偶函數(shù)，而結(jié)合冪函數(shù)和m∈N?,就會(huì)得到m2-2m-3必須為偶數(shù)，這時(shí)注意到m2-2m-3=(m-3)(m+1),從而m一定為奇數(shù)，從而得到答案。

通過(guò)這樣的解讀題目的示范和引導(dǎo)，自然會(huì)引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)學(xué)解題方法，也認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)解題能力提升的必要性。

（二）解完題之后要在疑難點(diǎn)下功夫

對(duì)于一些綜合問(wèn)題，教師在講題時(shí)要注意兩個(gè)問(wèn)題：第一，講解前一定要讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“痛苦”的思考過(guò)程，要使學(xué)生經(jīng)歷上述的獨(dú)立讀題、思考過(guò)程，再來(lái)引導(dǎo)、教學(xué)?？追蜃诱f(shuō)過(guò)“不憤不啟，不悱不發(fā)”。如果學(xué)生沒(méi)有獨(dú)立思考教師就開(kāi)始講解，對(duì)于學(xué)生解題能力的提高沒(méi)有幫助，剝奪了學(xué)生體驗(yàn)失敗和成功的機(jī)會(huì)，必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的低下，也很容易出現(xiàn)“老師平時(shí)講了，作業(yè)會(huì)做，考試還是不會(huì)?！被蛘摺澳苈?tīng)懂，不會(huì)解題。”等情況。直接影響就是學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)理解的深度和對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的敏感程度。第二，不能講解完解答過(guò)程得到結(jié)果，就終止一個(gè)題目的教學(xué)。要利用好每一個(gè)題目，做好變式訓(xùn)練。

例7（2015廣州一模）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足

（1）求a2的值；（2）求數(shù)列{an} 的通項(xiàng)；（3）是否存在正整數(shù)k使ak,S2k-1,a4k成等比數(shù)列？若存在求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

在這個(gè)題目中對(duì)于（2）可以先求出an或者Sn的遞推公式，然后使用數(shù)學(xué)歸納法或者使用構(gòu)造法解決。不過(guò)教師在講解完題目后，除了關(guān)注本題的解題方法之外，還可以引導(dǎo)學(xué)生做出以下思考：改變a1的值后數(shù)列{an}是否還是等差數(shù)列？將后如何？或者更進(jìn)一步將后又如何？隨著教師這樣的變式教學(xué)，學(xué)生勢(shì)必對(duì)于方法的適用范圍進(jìn)一步理解，對(duì)各種方法的熟練程度大幅提升。

另外對(duì)于此題，教師在講解完后，還可以提示，{an}是一個(gè)等差數(shù)列關(guān)于n的一次函數(shù)，Sn是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù)，關(guān)注式子兩邊會(huì)看到，左右兩邊k的次數(shù)是一致的，自然可以形成一個(gè)恒等式。那么對(duì)于這類(lèi)題目的構(gòu)造可以進(jìn)一步，只要左右兩邊an和Sn能夠構(gòu)成恰當(dāng)?shù)男问剑ＷC兩邊k的次數(shù)一致，是否可以自己編出新的題目？實(shí)際上多個(gè)高考題都是基于此類(lèi)形式而出。當(dāng)學(xué)生了解到這些，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解題思路會(huì)豁然開(kāi)朗，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，而這對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有很大幫助的。

三、結(jié)論

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，無(wú)論“選題”還是“講題”，都要有針對(duì)性，要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、回顧和深化，啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 王志成.尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，崇尚數(shù)學(xué)解題思維的自然性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（11）：40-42.