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        利用函數(shù)恒成立思想解決數(shù)列不等式的證明問題

        2016-04-09 08:34:45唐友建鄒桂蘭
        珠江教育論壇 2016年2期
        關(guān)鍵詞:裂項通項證明

        唐友建,鄒桂蘭

        (肇慶中學(xué),廣東 肇慶 526060)

        數(shù)列是一類特殊的函數(shù),數(shù)列不等式的放縮主要會用到數(shù)列本身的特性,比如將數(shù)列放縮成等比數(shù)列、等差數(shù)列、等差比數(shù)列,或者裂項等能求和的數(shù)列通項形式,放縮的形式主要是通過觀察,缺乏應(yīng)有的理論依據(jù)。本文中,筆者提供一種利用函數(shù)恒成立的觀點(diǎn)解決數(shù)列不等式的證明方法。

        一、利用函數(shù)恒成立思想放縮數(shù)列通項

        方法2

        恒成立,

        點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵是將數(shù)列通項放縮成等比數(shù)列或裂項形式的通項,求和后再放縮,得到我們需要的結(jié)果。用類似方法還可以證明。進(jìn)一步地,我們還可以將上面不等式改成另一個不等式。

        點(diǎn)評:這3道例題都是先將數(shù)列通項放縮為等比數(shù)列或者裂項形式數(shù)列求和,再進(jìn)行放縮,得到目標(biāo)結(jié)果。關(guān)鍵點(diǎn)在于如何將數(shù)列通項放縮為等比數(shù)列形式,其核心點(diǎn)即是函數(shù)恒成立思想。

        二、利用函數(shù)恒成立思想對數(shù)列求和延后放縮

        利用函數(shù)恒成立方法放縮的誤差有時候很大,得不到我們需要的結(jié)論,此時可以嘗試前面1項或幾項不放縮,而是從第2項、第3項甚至第4項才開始放縮,從而得到準(zhǔn)確的結(jié)論。

        例4 已知數(shù)列{an}滿足n∈N)。

        (1)求{an}的通項公式an。

        (2)設(shè)cn=,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證:

        下面證明(2)。

        點(diǎn)評:本題第(2)問的解題思路是將數(shù)列通項放縮成等比數(shù)列或裂項形式進(jìn)行求和,再進(jìn)行放縮;如還不能得到目標(biāo)結(jié)果,可適當(dāng)對數(shù)列通項延后放縮,減少誤差。類似的,我們也可以使前面的問題得到更精確的答案,如將例1中的證明,進(jìn)一步改成放縮延后到第2項、第3項,分別得到結(jié)論:,,等等。

        數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問題,可以利用函數(shù)恒成立思想對數(shù)列不等式進(jìn)行放縮、求解。在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息,將條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化、加強(qiáng)、放縮,同時結(jié)合問題的結(jié)構(gòu)、形式等特征,使條件與結(jié)論建立聯(lián)系,從而使解題思路順暢。其中合理、恰當(dāng)?shù)姆趴s或者延后放縮是能否順利解題的關(guān)鍵。

        參考文獻(xiàn):

        [1] 孫加明,許紹海.證明數(shù)列不等式的若干方法[J].2007(6):30-31.

        [2] 王以清.數(shù)列不等式的幾種類型和放縮方法[J].數(shù)學(xué)通訊,2008(1):24-25.

        [3] 錢從新.放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略[J].數(shù)學(xué)通訊,2008(21):26-27.

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