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一類有理-三角樣條曲線

引文格式： 馬虹，彭豐富.一類有理-三角樣條曲線[J].桂林電子科技大學學報，2016,36(1):52-55.

馬虹，彭豐富

(桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林541004)

摘要：為了構(gòu)造一種代數(shù)-有理多項式與三角函數(shù)相結(jié)合的參數(shù)曲線，基于代數(shù)-三角混合函數(shù)空間構(gòu)造參數(shù)曲線曲面的理論，運用有理參數(shù)曲面的生成方法，把代數(shù)-三角混合多項式應用到有理多項式樣條中，構(gòu)造了一類有理-三角樣條曲線，對該曲線的性質(zhì)及構(gòu)造方法進行了研究。有理-三角多項式作為有理多項式的推廣，在插值和逼近上比多項式更具有靈活性和有效性，而且在曲線曲面形狀的控制方面具有很好的應用。此類曲線是擺線的廣義情形，具有良好的端點性質(zhì)和插值多樣性。

關鍵詞：曲線；代數(shù)三角混合多項式；有理-三角函數(shù)

曲線曲面造型技術對計算機輔助幾何設計具有非常重要的研究意義，在構(gòu)造參數(shù)曲線曲面時一般以多項式為基函數(shù)，樣條函數(shù)自發(fā)展以來經(jīng)歷了Ferguson曲線、Bézier曲線、B樣條曲線和有理B樣條曲線，現(xiàn)在應用比較廣泛的是非均勻有理B樣條(NURBS)曲線[1-3]。B樣條和NURBS具有表示與設計曲線曲面的很多優(yōu)點，但是仍然存在一些問題。例如，B樣條對于一些二次曲線曲面只能近似地予以表示；NURBS的有理形式雖然可以精確地表示二次曲面，但其有理形式也使計算變得復雜；Bézier方法推進了曲線曲面的設計，但是對曲線的控制性存在不足[4-6]。代數(shù)-三角多項式樣條函數(shù)可以克服某些曲線不能精確表示的缺點。張紀文[7]提出了均勻節(jié)點的C-曲線概念。2001年，Mainar等[8]在代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了規(guī)范B基的構(gòu)造，所構(gòu)造的曲線曲面不僅具有插值性、光順性和局部可調(diào)性等優(yōu)點，而且在適當?shù)臈l件下還可以精確表示二次曲線曲面。近年來，用代數(shù)三角混合多項式表示參數(shù)曲線曲面成為了一種嶄新的方法，呂勇剛等[9]在擴展的代數(shù)三角混合函數(shù)空間中提出了k階代數(shù)三角多項式樣條。

有理多項式樣條函數(shù)既是有理逼近的重要組成部分，又是多項式樣條的推廣，兼顧了二者的優(yōu)點，更具一般性和靈活性。為此，將有理多項式與代數(shù)-三角多項式樣條相結(jié)合，構(gòu)造了一類有理-三角平面曲線，并分析了其相關性質(zhì)。

1有理-三角平面曲線

平面內(nèi)的m次有理曲線可以用參數(shù)方程對其進行表示[11]：

(1)

其中a(s),b(s),c(s)∈R[s]，且max(deg(a)，deg(b)，deg(c))=m。

空間n次有理曲線的參數(shù)方程為

(2)

其中a(t),b(t),c(t),d(t)∈R[t]，且max(deg(a),deg(b),deg(c),deg(d))=n[11]。

一般情況下，為了討論方便，式(2)中的前3項可以寫成齊次形式P(t)=(a(t),b(t),c(t))，其表示為一空間曲線，其中gcd(a,b,c)=1[11]。同樣P(t)的次數(shù)定義為：

deg(P(t))=max(deg(a),deg(b),deg(c))。

(3)

類似地，有理參數(shù)曲面可表示為：

通常寫成齊次形式：

其中a,b,c,d∈R[s,t]，且gcd(a,b,c,d)=1[10]。

根據(jù)有理曲面的構(gòu)造方法，由平面內(nèi)m次有理曲線P(s)=(A(s),B(s),C(s))及空間n次有理曲線P(t)=(a(t),b(t),c(t),d(t))，可生成一個雙階(m,n)的空間曲面[12]，

(4)

類似地，利用這種方法就可得到一類有理-三角樣條曲線。由平面曲線Q(θ)=(θ-sinθ,1-cosθ,1)與P(t)=(1,1,1/r(t))可以生成空間曲線S(θ,t)：

(5)

其中，1/r(t)為多項式，t∈R+。

由式(5)的同態(tài)形式，若定義t與θ的一個函數(shù)關系，從而可以得到平面曲線

(6)

即在歐幾里德空間中有參數(shù)曲線：

(7)

這里，定義t與θ的關系

(8)

對式(8)兩邊積分，

(9)

令r為有理多項式，

(10)

代入式(9)，得

(11)

2曲線性質(zhì)

構(gòu)造的有理-三角平面曲線(7)，若令r(t)為常數(shù)即為擺線，其幾何意義為：當一個圓在一條直線上作不滑動的滾動時，圓周上的點所描繪的旋輪線稱為擺線。滾動圓半徑r為關于參數(shù)t的有理多項式，t∈[0,1]；θ為圓的半徑滾動經(jīng)過的角度，θ∈[0,2π]。當θ從0變動到2π時，動圓上一定點就刻畫出廣義擺線。

在有理多項式(10)中，如當m=5，

(12)

代入式(11)得

(13)

取廣義擺線上的任意6點：p1(0.007 9,0.037 2)，p2(0.132 8,0.186 2)，p3(0.402 3,0.256 1)，p4(0.256 4,0.018 4)，p5(0.710 4,0.047 1)，p6(1.196 1,0.000 6)，通過插值可得到動圓半徑及擺線圖形。

r(t)具有如下性質(zhì)：

1)正性。r(t)≥0。

2)單調(diào)性。有理多項式r(t)和其一階導數(shù)r′(t)的圖像分別為圖1、2。從圖1、2可看出，其單調(diào)性為：當t∈[0，0.5)時，r(t)單調(diào)遞減；當t∈(0.5,1]時，r(t)單調(diào)遞增。

圖1　有理多項式曲線Fig.1　Rational polynomial curve

圖2　有理多項式一階導數(shù)曲線Fig.2　First derivative curve of rational polynomial

3)存在性。廣義擺線中，對于一組精確的數(shù)值點通過插值法求解其對應方程組有解，節(jié)點對應的參數(shù)也是明確的。這一性質(zhì)使得構(gòu)造的曲線具有插值多樣性，且滿足光順的要求。

所構(gòu)造的有理-三角多項式樣條曲線具有如下性質(zhì)：

1)端點性質(zhì)。有理-三角樣條曲線在t∈[0，1]區(qū)間具有良好的端點性質(zhì)，圖像經(jīng)過首末兩端點，如圖3所示。

2)單調(diào)性。當t∈[0,0.5]時，曲線單調(diào)遞增；當t∈[0.5,1]時，曲線單調(diào)遞減。

3)拼接性。有理-三角樣條曲線在端點處一階導數(shù)連續(xù)，具有很好的拼接性，如圖4所示。

圖3　有理-三角多項式曲線Fig.3　Rational-trigonometric polynomial curve

圖4　有理-三角多項式一階導數(shù)曲線Fig.4　First derivative curve of rational-trigonometricpolynomial

3結(jié)束語

為了構(gòu)造一種代數(shù)有理-三角有理多項式與三角函數(shù)相結(jié)合的參數(shù)曲線，構(gòu)造了一類有理-三角樣條曲線，這類曲線一方面繼承了多項式樣條曲線的優(yōu)點，另一方面描述與設計的曲線曲面具有較好的插值性、光順性、形狀可調(diào)節(jié)性。另外，有理形式的三角多項式樣條曲線能精確表示一些二次曲線曲面，在研究曲線曲面的應用上有較好的實用價值。通過增加一個坐標系，可推廣到空間曲線的構(gòu)造。

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編輯：翁史振

A type of rational-trigonometric curve

MA Hong, PENG Fengfu

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：In order to construct a kind of parametric curve combined with algebraic-rational polynomial and trigonometric function, based on the theory of constructing parametric curve and surface in the algebraic-trigonometric blending function space, by using the rational parametric surface generating method, the algebraic-trigonometric blending polynomial is applied to rational polynomial splines for constructing a type of rational-trigonometric curve. The nature and construction method of the curve is studied. As the promotion of rational polynomial, the rational-trigonometric polynomial is more flexible and effective in interpolation and approximation, and has a good application on controlling curve and surface. This kind of curve is a generalized case of cycloid with good endpoint property and interpolation diversity.

Key words：curve; algebraic-trigonometric polynomial; rational-trigonometric function

中圖分類號：TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)01-0052-04

通信作者：彭豐富(1972-)，男，湖南雙峰人，副教授，博士，研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail:pengfengfu@aliyun.com

基金項目：廣西自然科學基金(2015GXNSFAA139014)

收稿日期：2015-10-08