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廣義ZK-MEW方程的行波解分支

引文格式： 肖軍均，馮大河，孟霞.廣義ZK-MEW方程的行波解分支[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016,36(1):66-70.

肖軍均，馮大河，孟霞

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004)

摘要：為研究廣義ZK-MEW方程的動(dòng)力學(xué)行為及有界行波解，運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論，得到了該方程在給定參數(shù)條件下的相圖分支及光滑孤立波解、周期波解的解析表達(dá)式，并給出了這些解的數(shù)值模擬。

關(guān)鍵詞：廣義ZK-MEW方程；動(dòng)力系統(tǒng)分支理論；光滑孤立波解；周期波解

基于ZK(Zakharov-Kuznetsov)方程[1]

和MEW(modified equal-width)方程[2]

文獻(xiàn)[3-5]研究了廣義ZK-MEW(Zakharov-Kuznetsov modified equal-width)方程：

(1)

其中：n∈Ν*，a、b、c為非零實(shí)常數(shù)。通過(guò)利用擬設(shè)孤立波方法研究方程(1)，Biswas[3-4]獲得了一些1-孤立子解、拓?fù)浼胺峭負(fù)涔铝⒉ń?。Pandir[5]運(yùn)用擴(kuò)展的實(shí)驗(yàn)方程法，得到了方程(1)的孤立波解、有理和橢圓函數(shù)可積解。對(duì)方程(1)的動(dòng)力學(xué)行為至今尚未研究，為此，利用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論[6-7]分析該方程的動(dòng)力學(xué)行為并給出更豐富的精確行波解。

對(duì)方程(1)作行波變換：

可得常微分方程：

(2)

其中φ′=dφ/dξ。將方程(2)關(guān)于ξ積分一次，并且取積分常數(shù)為0，有

(3)

令φ′=y，可知方程(3)等價(jià)于如下Hamilton系統(tǒng)：

(4)

其中：A=-a/(bl+ck2)≠0；B=l/(bl+ck2)。顯然，系統(tǒng)(4)具有如下首次積分：

(5)

1系統(tǒng)(4)的相圖分支

設(shè)f(φ)=Aφn-Bφ，則有以下情況存在：

1)當(dāng)n=1時(shí)，f(φ)僅有1個(gè)零點(diǎn)φ0=0，即系統(tǒng)(4)僅有1個(gè)平衡點(diǎn)O(0,0)。由于該情況比較簡(jiǎn)單，僅考慮以下2種情況。

2)當(dāng)n=2m，m∈N*時(shí)，f(φ)有2個(gè)零點(diǎn)：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，即系統(tǒng)(4)在φ軸上有2個(gè)平衡點(diǎn)：O(0,0)，P1(φ1,0)。

3)當(dāng)n=2m+1時(shí)，f(φ)有3個(gè)零點(diǎn)：φ0=0，φ1=(A-1B)(n-1)-1，φ2=-φ1，即系統(tǒng)(4)在φ軸上有3個(gè)平衡點(diǎn)：O(0,0)，P1(φ1,0)，P2(φ2,0)。

令hi=H(φi,0),i=0,1,2，則

若Pe(φe,ye)為系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)的Jacobi矩陣為：

故有

由動(dòng)力系統(tǒng)知識(shí)可知，若J(φe,ye)<0，則平衡點(diǎn)Pe為鞍點(diǎn)；若J(φe,ye)>0，則平衡點(diǎn)Pe為中心點(diǎn)；若J(φe,ye)=0，且Pe的龐加萊指數(shù)為0，則平衡點(diǎn)Pe為尖點(diǎn)。因此有如下結(jié)論成立：

1)當(dāng)n=2m時(shí)：若B>0或B<0，則系統(tǒng)(4)有2個(gè)平衡點(diǎn)，且O為中心點(diǎn)或鞍點(diǎn)，P1為鞍點(diǎn)或中心點(diǎn)；若B=0，則系統(tǒng)(4)僅有1個(gè)平衡點(diǎn)O，且O為尖點(diǎn)。

2)當(dāng)n=2m+1時(shí)：若AB>0，則系統(tǒng)(4)有3個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)B>0或B<0時(shí)，O為中心點(diǎn)或鞍點(diǎn)，P1、P2均為鞍點(diǎn)或中心點(diǎn)；若AB<0，則系統(tǒng)(4)有且僅有1個(gè)平衡點(diǎn)，當(dāng)B>0或B<0時(shí)，O為中心點(diǎn)或鞍點(diǎn)；若B=0，則系統(tǒng)(4)僅有1個(gè)平衡點(diǎn)O，且O為尖點(diǎn)。

根據(jù)以上結(jié)論，可得系統(tǒng)(4)的相圖如圖1、圖2所示。

圖1　當(dāng)n=2m時(shí)，系統(tǒng)(4)的相圖Fig.1　The phase portraits of system (4) for n=2m

圖2　當(dāng)n=2m+1時(shí)，系統(tǒng)(4)的相圖Fig.2　The phase portraits of system (4) for n=2m+1

2廣義ZK-MEW方程的行波解

定理1當(dāng)n=2m，B>0時(shí)(見(jiàn)圖1(a)、(d))，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)P1的同宿軌道H(φ,y)=h1，方程(1)有一個(gè)光滑孤立波解。對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)的周期軌道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。

定理2當(dāng)n=2m，B<0時(shí)(見(jiàn)圖1(b)、(f))，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)O的同宿軌道H(φ,y)=0，方程(1)有1個(gè)光滑孤立波解。對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)的周期軌道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解。

定理3當(dāng)n=2m+1，A>0，B>0時(shí)(見(jiàn)圖2(a))，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)P1、P2的異宿軌道H(φ,y)=h1，方程(1)有1個(gè)扭(反扭)波解。對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)的周期軌道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。

定理4當(dāng)n=2m+1，A<0，B>0時(shí)(見(jiàn)圖2(d))，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)的周期軌道H(φ,y)=h∈(0,+)，方程(1)有一族周期波解。

定理5當(dāng)n=2m+1，A<0，B<0時(shí)(見(jiàn)圖2(e))，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)O的同宿軌道H(φ,y)=0，方程(1)有2個(gè)光滑孤立波解。對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)環(huán)繞平衡點(diǎn)O，P1、P2的大范圍周期軌道H(φ,y)=h∈(0,+)，方程(1)有一族周期波解。對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)分別環(huán)繞中心點(diǎn)P1、P2的2族周期軌道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有2族周期波解。

結(jié)合相圖分析方法及定理1~5，考慮方程(1)在n=2時(shí)的行波解。

2.1n=2，A>0，B>0(圖1(a))

1)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)P1(B/A,0)的同宿軌道H(φ,y)=h1=B3/6A2，方程(1)有1個(gè)光滑孤立波解。式(5)可改寫(xiě)為：

(6)

由系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程和方程(6)可得：

(7)

取初值φ(0)=-B/2A，對(duì)方程(7)積分一次，可得方程(1)的1個(gè)谷形光滑孤立波解(也稱(chēng)暗孤立子)的顯性表達(dá)式：

(8)

2)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)環(huán)繞中心點(diǎn)O(0,0)的周期軌道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。式(5)可改寫(xiě)為：

(9)

其中ψi(i=1,2,3)為方程(2A/3)φ3-Bφ2+2h=0的3個(gè)實(shí)根，且ψ1>ψ2>φ>ψ3。由系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程和式(9)可得：

(10)

取初值φ(0)=ψ3，對(duì)方程(10)兩端積分一次，可得方程(1)周期波解的顯性表達(dá)式：

(11)

圖3　周期波解(11)趨近于谷形光滑孤立波解(8)的波形變化Fig.3　The waveform changes for periodic wave solutions (11) tending to smooth solitary wave solutions with valley type (8)

1)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)O(0,0)的同宿軌道H(φ,y)=0，方程(1)有1個(gè)光滑孤立波解。因此，方程(5)可改寫(xiě)為：

(12)

聯(lián)立方程(12)和系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程，可得

(13)

取初值φ(0)=3B/2A，并對(duì)方程(13)積分一次，可得方程(1)的1個(gè)峰形光滑孤立波解(也稱(chēng)亮孤立子)的顯性表達(dá)式：

(14)

2)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)環(huán)繞中心點(diǎn)O(0,0)的周期軌道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解，其表達(dá)式與方程(11)相同。

2.3n=2，A<0，B>0(圖1(d))

1)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)P1(B/A,0)的同宿軌道H(φ,y)=h1=B3/6A2，方程(1)有1個(gè)峰形光滑孤立波解，其顯性表達(dá)式為：

(15)

2)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)環(huán)繞中心點(diǎn)P1(B/A,0)的周期軌道H(φ,y)=h∈(0,h1)，方程(1)有一族周期波解。因此，方程(5)可改寫(xiě)為：

(16)

其中ψ1>φ>ψ2>ψ3。由系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程和方程(16)可得：

(17)

取初值φ(0)=ψ1，并對(duì)方程(17)積分一次，可得方程(1)的周期波解，其顯性表達(dá)式為：

(18)

其中：

2.4n=2，A<0，B<0(圖1(f))

1)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)連接鞍點(diǎn)O(0,0)的同宿軌道H(φ,y)=0，方程(1)有1個(gè)峰形光滑孤立波解，其顯性表達(dá)式為：

(19)

2)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(4)環(huán)繞中心點(diǎn)P1(B/A,0)的周期軌道H(φ,y)=h∈(h1,0)，方程(1)有一族周期波解，其表達(dá)式與方程(18)相同。

圖4　周期波解(11)趨近于峰形光滑孤立波解(19)的波形變化Fig.4　The waveform changes for periodic wave solutions (11) tending to smooth solitary wave solutions with peak type (19)

利用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論和微分方程定性分析方法，研究了廣義ZK-MEW方程，獲得了該方程所有參數(shù)分支和光滑孤立波解、扭(反扭)波解、周期波解存在的條件，進(jìn)而給出了當(dāng)n=2時(shí)的所有精確行波解的顯性表達(dá)式。通過(guò)對(duì)行波解的分析及數(shù)值模擬可知，隨著h的變化，周期波解逐漸趨近于光滑孤立波解。

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編輯：張所濱

Bifurcations of traveling wave solutions for generalized ZK-MEW equation

XIAO Junjun, FENG Dahe, MENG Xia

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：To study the dynamical behaviors and bounded traveling wave solutions of generalized ZK-MEW equation, the bifurcations of phase portraits and the representations of smooth solitary wave solutions and smooth periodic wave solutions are obtained under the given parametric conditions by employing the bifurcation theory of dynamic system. Moreover, the numerical simulations for those solutions are provided.

Key words：generalized ZK-MEW equation; bifurcation theory of dynamic system; smooth solitary wave solutions; periodic wave solutions

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-808X(2016)01-0066-05

通信作者：馮大河(1970-)，男，湖南懷化人，教授，博士，研究方向?yàn)閯?dòng)力系統(tǒng)的分支與混沌、微分方程定性理論。E-mail：dahefeng@hotmail.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11162004,11461021)；桂林電子科技大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃(YJCXS201557)

收稿日期：2015-10-09