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矩陣Schur補的非奇異H矩陣判定算法

引文格式： 馬勝輝，段復建.矩陣Schur補的非奇異H矩陣判定算法[J].桂林電子科技大學學報，2016,36(1)：76-78.

馬勝輝，段復建

(桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林541004)

摘要：針對非奇異H矩陣的判定問題，提出了一種直接判定算法。該算法通過矩陣Schur補求逆，逐次降階，判定低階矩陣是否為非奇異H矩陣。數值算例表明，該算法是有效的。

關鍵詞：非奇異H矩陣；Schur補；數值判定

非奇異H矩陣是一類重要的特殊矩陣，它在計算數學、數學物理和動力系統(tǒng)理論等方面有著重要應用。而許多實際問題的應用都歸結到大型非奇異H矩陣的判定問題上，因此，國內外許多學者在研究大型非奇異H矩陣的判定算法,已有許多研究成果。其中有迭代判定算法[1-4]，但這些算法有一個共同的缺點，就是不能確定迭代的步數，且當判別的矩陣不是非奇異H矩陣時，可能陷入無限循環(huán)。為了避免上述缺點，提出了直接判定算法[5-7]，通過逐次降階的方法，使得一個任意矩陣只需判定低階矩陣是否為非奇異H矩陣即可。因此，本算法是一種區(qū)別于文獻[5-7]的直接判定算法，算法在做降階處理時，將矩陣Schur補求逆的方法應用到其中。

1預備知識

設Cn×n為所有n×n復數矩陣所構成的集合，α、β為N的非空子集，用A(α,β)表示行標集為α、列標集為β的A的子矩陣。A(α,α)縮寫為A(α)。N={1,2,…,n},α′=N-α,β′=N-β。隨著計算機技術的快速發(fā)展，大量工程問題可歸結為大規(guī)模的矩陣計算問題，而矩陣Schur補是處理大規(guī)模矩陣計算的有利工具。

稱為矩陣A關于子矩陣A(α)的Schur補。

在諸多領域中，許多問題可轉化為具有特殊構造的矩陣問題。例如，偏微分方程中的有限元方法、運籌學中的線性互余問題等常用到M矩陣理論。Z矩陣、M矩陣以及H矩陣是3個特殊構造的矩陣，其定義如下。

定義2 設矩陣A=(aij)n×n∈Rn×n，且非主對角元素aij≤0，則稱A是Z矩陣，Z矩陣集合記為Zn×n。

定義3 設A=(aij)n×n∈Rn×n，若A=sI-B,s∈R,s>0,B≥0,若ρ(B)≤s，則稱A是M矩陣。若ρ(B)

顯然，M矩陣是Z矩陣的特殊情形。

定義4設A=(aij)n×n∈Cn×n，定義μ(A)=(mij)n×n∈Rn×n，其中

則稱μ(A)是A的比較矩陣。

定義5 設A=(aij)n×n∈Cn×n，若A的比較矩陣μ(A)是非奇異M矩陣，則稱A是非奇異H矩陣。

從定義5可得，對于任意一個矩陣，通過判斷其比較矩陣是否為非奇異M矩陣，可判別該矩陣是否為非奇異H矩陣。

2主要結果

引理1設A∈Zn×n，若滿足下列條件，則A是非奇異M矩陣。

1)A可逆；

2)A-1≥0。

引理1給出了直接判定一個矩陣是否為非奇異M矩陣的方法。

將逆矩陣A-1的各個分塊對應寫成Schur補的形式，便得到Schur補求逆矩陣的方法。

由A-1(α′)=(A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′))-1，根據Schur補定義

A/A(α)=A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′)，

有A-1(α′)=(A/A(α))-1，那么，相應地將α與α′互換，可得到A-1(α)=(A/A(α′))-1。

將A/A(α)=A(α′)-A(α′,α)A(α)-1A(α,α′)代入A-1(α,α′)和A-1(α′,α)，可得到

證明 1)必要性。若A是M矩陣，則A(α)也是M矩陣，且有A(α)-1≥0,A-1≥0，從而A-1(α′)≥0。又由引理2中A-1(α′)=(A/A(α))-1，可知(A/A(α))-1≥0。

即A-1≥0，又已知A∈Zn×n，由引理1可得A是M矩陣。

3算法設計

由定理1可知，要判定一個n階Z矩陣A是否為非奇異M矩陣，只需判定子塊A(α)-1和(A/A(α))-1是否為非負矩陣。當n較大時，不失一般性，考慮取A(α)為4階矩陣，并設

算法1給定矩陣B=(bij)∈Cn×n，令A=μ(B)=(aij)∈Zn×n，其中μ(B)是B的比較矩陣。

1)令A(m)=A，m=0；

3)計算A(m)的階數n，若n≤4，則轉步驟4)，否則轉步驟5)；

并轉步驟2)；

5)計算(A(m))-1，若不是非負矩陣，則A不是非奇異H矩陣。否則，A是非奇異H矩陣。

4數值例子

例1考慮矩陣

根據算法1，只需運算2次，得到(A(2))-1=0.330 3>0，可知B為非奇異H矩陣。實際上，用計算機求得A-1=(μ(B))-1≥0，為非負矩陣，由定理1可知，B確為非奇異H矩陣。

例2 考慮矩陣

根據算法1，運算1次，得

不是非負矩陣，可知B不是非奇異H矩陣。實際上，用計算機求得A-1=(μ(B))-1不是非負矩陣，可知B的確不是非奇異H矩陣。

5結束語

對于非奇異H矩陣的數值判定算法，將矩陣的Schur補求逆應用到其中，即通過用矩陣的Schur補求逆，并判斷該逆矩陣是否為非負矩陣，再作降階運算，逐次判斷，由此判定原矩陣是否為非奇異H矩陣。該算法擴展了非奇異H矩陣在數值判定算法中降階處理時的方法。

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編輯：梁王歡

An algorithm for distinguishing non-singular H-matrix with Schur complement

MA Shenghui, DUAN Fujian

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：A direct algorithm is presented for distinguishing non-singular H-matrix. In this algorithm, the low order matrix can be determined non-singular H-matrix by successive order reduction based on Schur complement. The numerical examples show that the algorithm is effective.

Key words：non-singular H-matrix; Schur complement; numerical determination

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)01-0076-03

通信作者：段復建(1965-)，女，黑龍江黑河人，教授，博士，研究方向為最優(yōu)化理論與方法、數值代數。E-mail:duanfj@guet.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金(11461015)

收稿日期：2015-09-12