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關(guān)于Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的幾個(gè)不等式

引文格式： 解運(yùn)運(yùn),段復(fù)建.關(guān)于Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的幾個(gè)不等式[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016,36(1):79-82.

解運(yùn)運(yùn)，段復(fù)建

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林541004)

摘要：利用Schur補(bǔ)的理論知識(shí)和Hermite矩陣的跡的不等式，研究了Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的不等式的遺傳性質(zhì)，得到了Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的Minkowski不等式、Holder不等式以及其他形式的不等式，并給出了理論證明，為處理大規(guī)模的矩陣計(jì)算提供了理論支撐。

關(guān)鍵詞：Schur補(bǔ)；Hermite矩陣；矩陣的跡

Schur補(bǔ)的概念[1]的提出大大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，大量工程問題可以歸結(jié)為大規(guī)模的矩陣計(jì)算問題，而矩陣的Schur補(bǔ)是處理大規(guī)模矩陣計(jì)算的有效工具，在數(shù)值計(jì)算、矩陣?yán)碚?、線性方程組求解、控制理論、統(tǒng)計(jì)分析等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用[2-7]。由于Hermite矩陣是一類特殊矩陣，它的跡作為矩陣的一個(gè)重要的數(shù)字特征也受到廣泛的關(guān)注，文獻(xiàn)[8-9]介紹了(半)正定Hermite矩陣的跡的幾類不等式，但對(duì)于Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的遺傳性質(zhì)的研究較少。為此，研究不同條件下Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡，得到了Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的Minkowski不等式、Holder不等式等其他形式的不等式，并給出了理論證明，為求解大型Hermite矩陣計(jì)算提供了理論依據(jù)。

1基礎(chǔ)知識(shí)

M/B=C-DB-1A；

M/C=B-AC-1D；

M/D=A-BD-1C。

定義2設(shè)A∈Cn×n，若AH=A，則稱A為Hermite矩陣，記為H(n)。

引理1[8]設(shè)A、B分別為n×m和m×n矩陣，則tr(AB)=tr(BA)。

當(dāng)B=μA，μ>0時(shí)等號(hào)成立。

當(dāng)B=μA，μ>0時(shí)等號(hào)成立。

2主要結(jié)論及其證明

證明由題意知

根據(jù)Schur補(bǔ)的定義得

M/A=D-BHA-1B=D+BHB，

當(dāng)且僅當(dāng)D=μBHB，μ>0時(shí)等號(hào)成立。

證明由Schur補(bǔ)的定義得

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)，

由引理1和矩陣的跡的線性性質(zhì)可知，

證明由Schur補(bǔ)的定義得：

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)。

由BHA-1∈Cm×n、B∈Cn×m、引理1和矩陣的跡的線性性質(zhì)可知，

若將M、N推廣到Hermite矩陣，結(jié)合定理2和定理3，可得2個(gè)Hermite矩陣和的Schur補(bǔ)的跡的不等式。

證明由定理2可知，

由(M+N)/2A=M/A+N/A得：

同理可得：

證明由Schur補(bǔ)的定義可知，

M/A=D-BHA-1B，

tr(M/A)=tr(D-BHA-1B)。

當(dāng)D=0時(shí)，可得Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的Holder不等式：

3結(jié)束語

在Schur補(bǔ)的理論基礎(chǔ)上，通過對(duì)二階分塊Hermite矩陣的跡的研究，得到Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的遺傳性質(zhì)，即Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的Minkowski不等式和Holder不等式以及其他幾種形式的不等式，這些不等式反映了Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡與原Hermite矩陣各子陣的跡的關(guān)系，可通過求解二階分塊Hermite矩陣的子陣的跡來判斷Hermite矩陣Schur補(bǔ)的跡的上下界。

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編輯：曹壽平

Several inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix

XIE Yunyun， DUAN Fujian

(School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China)

Abstract：By using the theoretical knowledge of Schur complement and the inequalities about the trace of Hermite matrix, the genetic properties of the inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix are investigated. Minkowski inequality, Holder inequality and other inequalities about the trace of Schur complement of Hermite matrix are obtained and proved in the theory. They provide the theoretical support for dealing with the large-scale matrix calculation.

Key words：Schur complement; Hermite matrix; matrix trace

中圖分類號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-808X(2016)01-0079-04

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11461015)通信作者： 段復(fù)建(1965-)，女，黑龍江黑河人，教授，博士，研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)與最優(yōu)化理論。E-mail:duanfj@guet.edu.cn

收稿日期：2015-07-08