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兩類非線性Schr?dinger型方程的局部臨界周期分支

引文格式： 楊劍，黃文韜.兩類非線性Schr?dinger型方程的局部臨界周期分支[J].桂林電子科技大學學報，2016,36(1)：71-75.

楊劍1，黃文韜1,2

(1.桂林電子科技大學 數(shù)學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；

2.賀州學院 數(shù)學系，廣西 賀州 542800)

摘要：針對非線性Schr?dinger型方程的局部臨界周期分支問題，通過行波變換將兩類Schr?dinger型方程轉(zhuǎn)換為同一等價Hamiltonian系統(tǒng)，應用Mathematica計算Hamiltonian系統(tǒng)的周期常數(shù)，得到原點為一階細中心的充要條件，并證明了該系統(tǒng)在原點鄰域存在一個局部臨界周期分支。分析結果表明，兩類非線性Schr?dinger型方程均恰有一個局部臨界周期分支，即在原點附近鄰域內(nèi)閉軌周期的單調(diào)性變換一次。

關鍵詞：周期常數(shù)；細中心；局部臨界周期分支

在微分方程定性理論中，極限環(huán)和局部臨界周期分支(簡稱臨界周期分支)問題是2個重要的研究方向，具有代表性的研究成果見文獻[1-14]。動力系統(tǒng)臨界周期分支描述了奇點附近鄰域內(nèi)閉軌周期的單調(diào)性變換的次數(shù)，單調(diào)周期函數(shù)已被運用于機械振動和波理論等，如文獻[15-17]研究了閉軌周期單調(diào)性和臨界周期分支問題。

非線性Schr?dinger型方程

(1)

是奧地利物理學家Schr?dinger[18]于1925年提出的量子力學的一個基本方程，是將物質(zhì)波和波動方程相結合建立起來的非線性偏微分方程，被廣泛應用于物理、化學等領域。

考慮兩類Schr?dinger型方程：

(2)

(3)

其中r2、s0、s2、c3、c5為實常數(shù)。

Guo等[19]用輔助方程法研究了方程(2)的精確行波解，Huang等[20]用雙曲輔助方程法研究了方程(3)的行波解，Zhu[21]用擴展的雙曲輔助方程法研究了方程(3)的行波解。Geng等[22]通過行波變換將方程(2)和方程(3)轉(zhuǎn)換為同一等價Hamiltonian系統(tǒng)：

(4)

其中：

其對應的Hamiltonian函數(shù)為：

(5)

Geng等[22]應用動力系統(tǒng)方法和分支理論對系統(tǒng)(4)進行了研究，給出了方程的參數(shù)空間分岔集和相應的相圖，并得到了不同參數(shù)條件下所有可能的行波解。

目前，關于方程(4)奇點鄰域內(nèi)閉軌周期單調(diào)性變換次數(shù)問題的研究還很少。鑒于此，應用復系統(tǒng)周期常數(shù)計算方法，研究系統(tǒng)(4)的中心情況和臨界周期分支問題，并得到了方程(2)和方程(3)的臨界周期分支情況，即周期波解單調(diào)性變換次數(shù)。

1預備知識

考慮系統(tǒng)原點為非退化中心且在原點鄰域解析的實系統(tǒng)：

(6)

其中參數(shù)λ∈Λ。

由文獻[23]可知，通過

變換，系統(tǒng)(6)變?yōu)橄铝袕拖到y(tǒng)：

(7)

其中：

顯然系統(tǒng)(7)的系數(shù)滿足共軛關系：

(8)

稱系統(tǒng)(6)與系統(tǒng)(7)互為伴隨。

通過極坐標變換x=rcosθ,y=rsinθ，系統(tǒng)(6)變形為：

(9)

其中：

(10)

(11)

由文獻[24]可知，在原點充分小的鄰域內(nèi)，設P(h,λ)為系統(tǒng)(9)通過(h,0)的閉軌的最小周期函數(shù)，則P(h,λ)局部可積且泰勒展開式為：

(12)

定義1針對系統(tǒng)(6)原點的中心情況，若存在λ*，使得

(13)

則稱原點為k(k∈R)階細中心；當k=0時，原點為粗中心；若存在任一正整數(shù)m，使得P2m=0，則原點為等時中心。

定義2對于參數(shù)λ*∈Λ，系統(tǒng)(6)的原點為細中心，當ε0>0時，對任意ε∈(0,ε0)和任一λ*的充分小鄰域W，有λ1∈W，使得P′(h,λ)=0在U=(0,a)內(nèi)恰好有k個解，則稱λ*系統(tǒng)有k個局部臨界周期分支。

定義3考慮如下集合：

記

V(f1,f2,…,fl)={λ|fi(λ)=0(i=1,2,…,l),λ∈RN}，f∶RN→R,稱f1,f2,…,fl相對于f在λ*∈V(f1,f2,…,fl)上是無關的。

1)λ*的任意鄰域包含一個λ∈V(f1,f2,…,fl)，使得fl(λ)f(λ)<0。

2)對于變量V(f1,f2,…,fj),2≤j≤l-1，存在λ∈V(f1,f2,…,fj)，fj+1(λ)≠0，且λ的任一鄰域W都包含一個σ∈V(f1,f2,…,fj-1)，使得fj(σ)fj+1(λ)<0。

3)若λ∈V(f1)，f2(λ)≠0，則λ的任一鄰域W*均包含一個σ，使得f1(σ)f2(λ)<0。

顯然，若f1,f2,…,fl相對于f在λ*∈V(f1,f2,…,fl)是無關的，則任意λ∈V(f1,f2,…,fk-1)使得fk(λ)≠0時，對于每個k，f1,f2,…,fk-1相對于fk是無關的。

引理1[1]設系統(tǒng)參數(shù)為λ*時，系統(tǒng)(6)的原點為一個k階細中心，則至多有k個臨界周期從原點分支出來。若原點的周期常數(shù)P2,P4,…,P2k相對于P2k+2是無關的，則對于滿足m≤k的任意正整數(shù)m，恰好有m個臨界周期分支。

2細中心與局部臨界周期分支

由文獻[22]可知，當

λ=(d0,d1,d2)∈Ci(i=1,2),

其中,

(14)

系統(tǒng)(4)的原點O(0,0)為中心。

通過

變換，系統(tǒng)(4)可變換為其伴隨復系統(tǒng)：

(15)

其中：

應用文獻[23]中的遞推算法，利用Mathematica軟件分別計算在C1、C2條件下系統(tǒng)(15)原點的復周期常數(shù)，可得到原點細中心的階數(shù)及臨界周期分支的個數(shù)。

(16)

其中d0≠0。

由τ1=0可知，d1=0，τ2=τ3=…=0，則系統(tǒng)(4)可變形為：

(17)

顯然系統(tǒng)(17)是線性系統(tǒng)，此時原點為等時中心。

定理2當λ=(d0,d1,d2)∈C1時，原點為系統(tǒng)(4)的等時中心的充分必要條件是λ=(d0,d1,d2)∈S1。其中：

(18)

(19)

其中d0≠0,τ1=…=τk-1=0,k=2。

從τ1=0可知，d1=0。由λ=(d0,d1,d2)∈C2可知，d1、d2不同時為零，則τ2≠0。系統(tǒng)(4)的原點至多是一階細中心，則最多有一個局部臨界周期分支。

定理4當λ=(d0,d1,d2)∈C2時，系統(tǒng)(4)的原點為一階細中心，當且僅當λ=(d0,d1,d2)∈S2，其中，

(20)

定理5若系統(tǒng)(4)的原點為一階細中心，則至多有一個局部臨界周期從原點分支出來，且恰有一個局部臨界周期分支。

證明由文獻[24]知，對于系統(tǒng)(4)在原點充分小鄰域內(nèi)通過(h,0)的閉軌周期(最小正周期)函數(shù)可表示為：

(21)

其中：P2k為實系統(tǒng)(4)原點的第k個周期常數(shù)；τk為伴隨復系統(tǒng)(15)原點的第一個非零復周期常數(shù)；P2k與τk滿足P2k=-πτk。

P(h,y)的一階導數(shù)為：

(22)

其中G4(h)為關于h的二階多項式。

設d0=1,d1=0,d2=1,可知τ1=0,τ2=0.375,G4(h)無正零點，因此需要通過擾動得到。令ε1=-0.000 000 01,ε2=-0.000 1，有d0=1,d1=0+ε1=-0.000 000 01,d2=1+ε2=0.199 9。在ε1、ε2的擾動下，可知τ1=-1.5×10-8,τ2=0.374 813,經(jīng)計算可知，G4(h)有一個正零解h=0.000 141 457。

3結束語

通過行波變換將兩類Schr?dinger型方程(2)、方程(3)轉(zhuǎn)換為同一等價Hamiltonian系統(tǒng)(4)，應用Mathematica計算該系統(tǒng)的周期常數(shù)，得到了原點為一階細中心的充要條件，并證明了該系統(tǒng)在原點鄰域存在一個局部臨界周期分支。分析結果表明，在式(14)成立時，系統(tǒng)(4)原點可通過擾動分支出一個局部臨界周期分支，方程(2)和方程(3)在連續(xù)周期波解u(x,t)≡0鄰域內(nèi)存在一個局部臨界周期分支，即在原點附近鄰域內(nèi)閉軌周期的單調(diào)性變換一次。其他非線性Schr?dinger型方程的中心情況及臨界周期分支問題仍需進一步研究。

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編輯：張所濱

Local bifurcation of critical periods for two nonlinear Schr?dinger type equations

YANG Jian1, HUANG Wentao1,2

(1.School of Mathematics and Computational Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China；

2.Department of Mathematics, Hezhou University, Hezhou 542800, China)

Abstract：To solve the local bifurcation of critical periods of nonlinear Schr?dinger type equation，the generalized nonlinear derivative Schr?dinger equation and the high-order dispersive nonlinear Schr?dinger equation are converted to a equivalence Hamiltonian system by using traveling wave transformation. The period constants of Hamiltonian system are calculated and the necessary and sufficient condition of the origin with one order weak center is obtained by using Mathematica software. It is proved that there is one local bifurcation of critical periods in the origin of the system．The result shows that the two nonlinear Schr?dinger type equations have only one local bifurcation of critical periods in the neighborhood of near origin, which means that the monotonicity of the periodic for two nonlinear Schr?dinger type equations changes once.

Key words：period constant; weak center; local bifurcation of critical periods

中圖分類號：O175.12

文獻標志碼：A

文章編號：1673-808X(2016)01-0071-05

通信作者：黃文韜(1966-)，男，廣西永福人，教授，博士，研究方向為微分方程定性理論。E-mail:huangwentao@163.com

基金項目：國家自然科學基金(11261013)；廣西自然科學基金(2012GXNSFAA053003)

收稿日期：2015-06-12