☉山西省永濟(jì)中學(xué) 李 琴

高考、競賽試題中備受青睞的“費(fèi)馬點(diǎn)”

☉山西省永濟(jì)中學(xué) 李 琴

近年來，越來越多的命題者對一些著名的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行挖掘改造，命制出不少好題，其中不少是涉及著名的“費(fèi)馬點(diǎn)（Fermat Point）問題”.費(fèi)馬點(diǎn)問題最早是由費(fèi)馬在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的信中提出的，托里拆利最早解決了這個(gè)問題，而19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家斯坦納重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問題，并系統(tǒng)地進(jìn)行了推廣，因此這個(gè)點(diǎn)也稱為托里拆利點(diǎn)或斯坦納點(diǎn)，相關(guān)的問題也被稱作費(fèi)馬-托里拆利-斯坦納問題.

費(fèi)馬點(diǎn)：數(shù)學(xué)上稱，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).它是這樣確定的：

（1）如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；

（2）如果三個(gè)內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對三邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對于三角形中較為簡易，也較容易研究.

（1）在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對角線AC、BD交點(diǎn)P.

（2）在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D（P）.

對于更多邊形的情況，求解費(fèi)馬點(diǎn)就是非常麻煩的，這里就不再贅述.眾多命題者對費(fèi)馬點(diǎn)也情有獨(dú)鐘如：

題目1（2013年四川省高考文科試題第15題）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______.

題目2（2007年全國高中聯(lián)賽試題第7題）在平面直角坐標(biāo)下中，有四個(gè)定點(diǎn)A（-3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則|PA|+|PB|+ |PC|+|PD|的最小值為_______.

試題賞析：這兩道題給出的都是平面上四個(gè)定點(diǎn)，求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到這四個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小值及成立的條件即此動(dòng)點(diǎn)的位置，這兩題中給出的四個(gè)定點(diǎn)雖然坐標(biāo)不同但是將這四點(diǎn)連接后都構(gòu)成了平面內(nèi)的一個(gè)凸四邊形，所以此題拋去平面坐標(biāo)系后的命題立意即為在平面內(nèi)找一點(diǎn)使得其到一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離最小及最小值是多少.

求解策略：題目1：設(shè)平面上一點(diǎn)P（x，y），則

|PA|+|PC|≥|AC|（當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段AC上時(shí)取等號），

|PB|+|PD|≥|BD|（當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段BD上時(shí)取等號），

所以|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|AC|+|BD|（當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段BD與AC的交點(diǎn)時(shí)取等號），即當(dāng)?shù)剿狞c(diǎn)距離最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)即為直線AC與直線BD的交點(diǎn)，求得為P（2，4）.

題目2：同理可得|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取得的最小值

試題探源：上述兩題題主要考查的是距離之和的最小值問題，牽涉到的是兩點(diǎn)間的距離公式，所以題源就在課后的習(xí)題中，題目如下：

題目3 （人教A版數(shù)學(xué)必修2第三章習(xí)題3.3B組的第8題）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求證：并求使等式成立的條件.

題目賞析：本題看似是一個(gè)純代數(shù)的不等式的證明問題，但是放在必修2第三章直線與方程的習(xí)題中，而且前面第三小節(jié)學(xué)的內(nèi)容就是平面上兩點(diǎn)間的距離公式，學(xué)生很容易從不等式左邊的結(jié)構(gòu)上看出形似兩點(diǎn)間的距離公式，遂采用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)造，若令點(diǎn)P（x，y），A（0，1），B（1，0），C（1，1），O（0，0）則將不等式的左邊轉(zhuǎn)化為幾何問題，即為四邊形ABCO內(nèi)部一點(diǎn)P到點(diǎn)A，B，C，O的距離，由題意得|PA|+|PB|+|PC|+|PO|≥|AB|+|OC|=（當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于線段AB與OC的交點(diǎn)時(shí)取等號），此時(shí)A，B，C，O四點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)邊長為1的正方形，由題意當(dāng)點(diǎn)P位于其對角線的交點(diǎn)時(shí)，即即當(dāng)時(shí)，取等號，左邊取得最小值為課本的此題，立意較高，形式用不等式給出，既考查了兩點(diǎn)距離公式，又讓同學(xué)同時(shí)具備數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，既考查了最小的距離，又考查了最小距離時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，同時(shí)兼顧題目1與題目2考查的內(nèi)容，而題目1，題目2將題目3的條件強(qiáng)化，沒有要求點(diǎn)P是四邊形內(nèi)部的點(diǎn)，且構(gòu)成的四邊形不是特殊的四邊形，而是一般的凸四邊形，用坐標(biāo)給出幾點(diǎn)的坐標(biāo)，讓同學(xué)解決起來更容易上手.

題目4 （2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)預(yù)賽試卷第5題：三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)問題）設(shè)Z是復(fù)數(shù)，則|Z-1|+|Z-i|+|Z+1|的最小值等于_______.

試題賞析：設(shè)復(fù)平面上A（-1，0），B（1，0），C（0，1），問題轉(zhuǎn)化為在復(fù)平面上求一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值，此點(diǎn)即為△ABC內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)，經(jīng)計(jì)算得最小值為

本題以復(fù)數(shù)為依托，考查費(fèi)馬點(diǎn)也是獨(dú)具匠心，如果考生用代數(shù)思想求解的話就會(huì)非常麻煩，如果了解三角形內(nèi)的費(fèi)馬點(diǎn)，一切迎刃而解.

題目5（2008年全國高考江蘇卷第17題：費(fèi)馬點(diǎn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，BC= 10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長為ykm.

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）請你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短.

試題賞析：本題以實(shí)際問題為依托，考查函數(shù)概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)等基本知識，考查學(xué)生的建模、解模能力、抽象概括能力、解決實(shí)際問題的能力.題中第（2）問求三條排污管道的總長度最短，即求：△ABP中的費(fèi)馬點(diǎn)問題，這樣根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)定義，確定出O點(diǎn)的位置，即可求解.

題目6（2013年四川省高考理科卷第15題：平面內(nèi)費(fèi)馬點(diǎn)的衍生推廣）設(shè)P1，P2，…，Pn為平面α內(nèi)的n個(gè)點(diǎn).在平面α內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到點(diǎn)P1，P2，…，Pn的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1，P2，…，Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”.例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn).現(xiàn)有下列命題：

①若三個(gè)點(diǎn)A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn).②直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn).③若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一.④梯形對角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn).

試題賞析：本題所提出的“中位點(diǎn)”的概念源于“費(fèi)馬點(diǎn)”本問題在“費(fèi)馬點(diǎn)”的意義不變的情況下進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐貜V，具有一般性，但是學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上解決這個(gè)問題不會(huì)很難，但是如果知曉“費(fèi)馬點(diǎn)”的上述特征，那么判斷①和④的正確性就非常容易了.

題目7（2013年北大“百年數(shù)學(xué)”體驗(yàn)營試題第1題：四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)問題的衍生推廣）在單位正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）自由選取若干個(gè)節(jié)點(diǎn)（數(shù)目任意），并與A，B，C，D四點(diǎn)用直線練成一個(gè)連通網(wǎng)絡(luò)（連通圖），求這樣的網(wǎng)絡(luò)總長度的最小值，并證明你的結(jié)論.

試題賞析：本題在單位正方形中研究節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)目任意所以需要對其進(jìn)行討論，對考生的要求較高，但本題試題設(shè)置及背景其實(shí)就是費(fèi)馬點(diǎn)的問題，所以（1）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)沒有增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，最小值相當(dāng)于正方形的三邊長即為3.（2）當(dāng)網(wǎng)絡(luò)增加一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)時(shí)即為本文的題目3問題，最小值即為當(dāng)網(wǎng)絡(luò)增加其內(nèi)部的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)M，N時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為求（AM+BM）+MN+（CN+DN）的最小值，當(dāng)保持AM+BM不變時(shí)，M在以AB為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，同理保持CN+DN不變時(shí)，N在以CD為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，調(diào)整M，N時(shí)知，當(dāng)AM=BM，CN=DN時(shí)MN最小，即只有當(dāng)M，N在AB（CD）的中垂線上時(shí)，總長度最短，此時(shí)，正方形中心在直線MN上，因此，M，N分別是△ABO和△CDO的費(fèi)馬點(diǎn)，易求得此時(shí)網(wǎng)絡(luò)總長度最小是為當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中增加三個(gè)或以上的節(jié)點(diǎn)時(shí)，易知必存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)多余的，即此時(shí)網(wǎng)絡(luò)總長度比（3）中求得的最小值要大，所以綜合得網(wǎng)絡(luò)總長度的最小值為

結(jié)束語：一些著名的數(shù)學(xué)問題一直是命題專家青睞的題源，比如阿波羅尼斯圓、阿基米德三角形、斐波那契數(shù)列、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的形數(shù)理論等等，所以教師對這些經(jīng)典問題首先自己要有所了解，然后在平時(shí)的教學(xué)中適當(dāng)?shù)膫魇诮o學(xué)生，既激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，又能讓學(xué)生遇到此類問題時(shí)心中有譜，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是大有裨益的.