☉江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊興紅

復(fù)合函數(shù)中的幾類問題辨析

☉江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 楊興紅

復(fù)合函數(shù)是近幾年高考的熱點(diǎn)，是高中與大學(xué)重要的知識(shí)點(diǎn)和難點(diǎn)，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剰?fù)合函數(shù)中幾類問題的解決.

一、復(fù)合函數(shù)的概念及基本性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)類似工廠連續(xù)經(jīng)過幾道工序加工一個(gè)零件，對(duì)應(yīng)關(guān)系g先對(duì)x作用，得到g（x）為里層函數(shù)；然后對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用g（x）整體，得到f（g（x））為外層函數(shù)；復(fù)合函數(shù)與里層函數(shù)是同一個(gè)自變量x，里層函數(shù)g（x）是對(duì)應(yīng)關(guān)系g對(duì)自變量x作用一次，而復(fù)合函數(shù)f（g（x））是對(duì)應(yīng)關(guān)系g與f同時(shí)對(duì)自變量x作用兩次，并且有作用的先后順序，對(duì)應(yīng)關(guān)系f后作用的是里層函數(shù)g（x）的整體，于是里層函數(shù)g（x）充當(dāng)外層函數(shù)的自變量；里層函數(shù)的定義域就是復(fù)合函數(shù)的定義域，里層函數(shù)的值域就是外層函數(shù)的定義域；外層函數(shù)的值域就是復(fù)合函數(shù)的值域；復(fù)合函數(shù)f（g（x））的單調(diào)性概括為“同增異減”.

二、例談復(fù)合函數(shù)的幾類問題

1.定義域問題

復(fù)合函數(shù)的定義域問題是比較容易出錯(cuò)的，也是經(jīng)常考查的重要問題，然而求復(fù)合函數(shù)定義域問題也是常錯(cuò)的一類題.

這道題相當(dāng)于給出已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.據(jù)自己所理解的是g（x）把前面的f（x）中x的位置給占了，而g（x）要能替代x就必須符合x的范圍，就像并不是所有的人都能當(dāng)主席，必須有能力才能在主席這個(gè)位置上混.形象的理解就是在f（?）中，現(xiàn)在g（x）要替代?的位置，就必須具備?所具有的性質(zhì).

由此總結(jié)出兩個(gè)常見結(jié)論：

（1）已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.

其解法是：若f（x）的定義域?yàn)閍≤x≤b，則在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g（x）］的定義域.

（2）已知f［g（x）］的定義域，求f（x）的定義域.

其解法是：若f［g（x）］的定義域?yàn)閙≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域.

這兩個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)呢？回到數(shù)學(xué)當(dāng)中來，我們現(xiàn)在要由g（x）來確定f（x）的定義域是缺少條件的，我們求出來的g（x）的范圍僅僅只是f（x）定義域的子集而已.

因?yàn)閒（x）的定義域是R，而g（x）的值域是［1，+∞），則f［g（x）］的定義域是［1，+∞），這是不符合我們上面的求法的.

也就是說我們?cè)跊]有明確說明g（x）完全等價(jià)于f（x）中的x時(shí)是不能直接判斷g（x）的值域就是f（x）的范圍的.

因此可以總結(jié)出：

（1）已知f（x）的定義域，求f［g（x）］的定義域.

其解法是：若f（x）的定義域?yàn)閍≤x≤b，則在f［g（x）］中，a≤g（x）≤b，從中解得x的取值范圍即為f［g（x）］的定義域.

（2）已知f［g（x）］的定義域，求f（x）的定義域.

其解法是：若f［g（x）］的定義域?yàn)閙≤x≤n，則由m≤x≤n確定的g（x）的范圍即為f（x）的定義域的子集.

2.點(diǎn)對(duì)稱問題

在高三的教學(xué)實(shí)踐中，常常遇到下面兩個(gè)問題：

（1）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中正確的是（ ）.

A.y=f（x）的圖像關(guān)于（0，π）中心對(duì)稱

D.f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

課堂講解時(shí)，筆者對(duì)選項(xiàng)A、B分別驗(yàn)證f（2π-x）= -f（x）和f（π-x）=f（x）成立，判斷A、B正確.課后學(xué)生問：老師此題若改為填空題，求函數(shù)f（x）=cosxsin2x的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心怎么做，函數(shù)f（x）=cosxsin2x還有其他的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心嗎？

（2）在有關(guān)三角函數(shù)內(nèi)容教學(xué)時(shí)，有一種重要題型，如：已知函數(shù)求函數(shù)的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸.

性質(zhì)1：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)锽，B?A，函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于（b，c）對(duì)稱，函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于（a，b）對(duì)稱，則函數(shù)y=f（g（x））的圖像關(guān)于（a，c）對(duì)稱.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖像關(guān)于（b，c）對(duì)稱，函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于（a，b）對(duì)稱，所以f（2b-x）=2c-f（x），g（2a-x）=2b-g（x），設(shè)h（x）=f（g（x）），因?yàn)閔（2a-x）= f（g（2a-x））=f（2b-g（x））=2c-f（g（x））=2c-h（x），所以函數(shù)y=f（g（x））的圖像關(guān)于（a，c）對(duì)稱.

注：內(nèi)、外函數(shù)都是中心對(duì)稱函數(shù)，且內(nèi)函數(shù)圖像對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)等于外函數(shù)圖像對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，則復(fù)合函數(shù)圖像是中心對(duì)稱.

性質(zhì)2：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)锽，B?A.函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于x=b對(duì)稱，函數(shù)y= g（x）的圖像關(guān)于（a，b）對(duì)稱，則函數(shù)y=f（g（x））的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱.

證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖像關(guān)于x=b對(duì)稱，函數(shù)y= g（x）的圖像關(guān)于（a，b）對(duì)稱，所以f（2b-x）=f（x），g（2a-x）= 2b-g（x），設(shè)h（x）=f（g（x）），因?yàn)閔（2a-x）=f（g（2a-x））= f（2b-g（x））=f（g（x））=h（x），所以函數(shù)y=f（g（x））的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱.

注：內(nèi)函數(shù)是中心對(duì)稱函數(shù)，外函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且內(nèi)函數(shù)圖像對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)等于外函數(shù)圖像對(duì)稱軸的值，則復(fù)合函數(shù)圖像是關(guān)于軸對(duì)稱.

性質(zhì)3：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)锽，B?A，函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱，則函數(shù)y=f（g（x））的圖像關(guān)于x=a對(duì)稱.易證.

注：內(nèi)函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則復(fù)合函數(shù)圖像也關(guān)于軸對(duì)稱，簡(jiǎn)記為“內(nèi)軸為軸.”

下面運(yùn)用性質(zhì)解決問題：

（1）求函數(shù)f（x）=cosxsin2x的中心對(duì)稱、對(duì)稱軸.

解析：由函數(shù)f（x）=2（sinx-sin3x），設(shè)y=-2t3+2t，t= sinx，y=-2t3+2t的對(duì)稱中心是（0，0），t=sinx的對(duì)稱中心是（kπ，0）（k∈Z），內(nèi)函數(shù)圖像對(duì)稱中心（kπ，0）（k∈Z）的縱坐標(biāo)等于外函數(shù)圖像對(duì)稱中心（0，0）的橫坐標(biāo)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)圖像對(duì)稱的性質(zhì)1，則所求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為（kπ，0）（k∈Z）.

y=-2t3+2t的對(duì)稱中心是（0，0），t=sinx的對(duì)稱軸是x=根據(jù)復(fù)合函數(shù)圖像對(duì)稱的性質(zhì)3，則所求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是

圖1

圖1是利用幾何畫板畫出的函數(shù)f（x）=cosxsin2x的圖像，可驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性.

因此可知：復(fù)合函數(shù)的奇偶性是復(fù)合函數(shù)圖像對(duì)稱性質(zhì)的特例.探究尋源，抓住問題的本質(zhì)，才能使我們高屋建瓴地看待問題，理解掌握復(fù)合函數(shù)圖像的對(duì)稱性質(zhì)，能使我們居高臨下地處理此類問題，在我們?cè)诮虒W(xué)中游刃有余.

3.綜合問題

復(fù)合函數(shù)問題也常常在綜合問題中遇到，例如，新高考改革上海2015年理科數(shù)學(xué)23題考到復(fù)合函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，下以此例說明：對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期.已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)镽.設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）=0，f（T）=4π.

（2）設(shè)a＜b，證明對(duì)任意c∈［f（a），f（b）］，存在x0∈［a，b］，使得f（x0）=c；

（3）證明：“u0為方程cosf（x）=1在［0，T］上的解”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解”，并證明對(duì)任意x∈［0，T］都有f（x+T）=f（x）+f（T）.

解析：（1）略.

（2）由于f（x）的值域?yàn)镽，所以對(duì)任意c∈［f（a），f（b）］，c都是一個(gè)函數(shù)值，即有x0∈R，使得f（x0）=c.

若x0＜a，則由f（x）單調(diào)遞增得到c=f（x0）＜f（a），與c∈［f（a），f（b）］矛盾，所以x0≥a.同理可證x0≤b.故存在x0∈［a，b］使得f（x0）=c.

（3）若u0為cosf（x）=1在［0，T］上的解，則cosf（u0）=1，且u0+T∈［T，2T］，cosf（u0+T）=cosf（u0）=1，即u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解.

同理，若u0+T為方程cosf（x）=1在［T，2T］上的解，則u0為該方程在［0，T］上的解.

以下證明最后一部分結(jié)論.

由（2）所證知存在0=x0＜x1＜x2＜x3＜x4=T，使得f（xi）=iπ，i=0，1，2，3，4.

而［xi，xi+1］是函數(shù)cosf（x）的單調(diào)區(qū)間，i=0，1，2，3.

與之前類似地可以證明：u0是cosf（x）=-1在［0，T］上的解，當(dāng)且僅當(dāng)u0+T是cosf（x）=-1在［T，2T］上的解，從而cosf（x）=±1在［0，T］與［T，2T］上的解的個(gè)數(shù)相同.

故f（xi+T）=f（xi）+4π，i=0，1，2，3，4.

對(duì)于x∈［0，x1］，f（x）∈［0，π］，f（x+T）∈［4π，5π］，而cosf（x+T）=cosf（x），故f（x+T）=f（x）+4π=f（x）+f（T）.

類似地，當(dāng)x∈［xi，xi+1］，i=1，2，3時(shí)，有f（x+T）=f（x）+ f（T）.結(jié)論成立.

總之，復(fù)合函數(shù)問題，奧妙無窮，層層剝離，我們要深入仔細(xì)的研究，讓中國(guó)數(shù)學(xué)達(dá)到世界的頂峰！F