☉浙江省湖州市吳興高級(jí)中學(xué) 劉曉東

源于一道教材習(xí)題的高三復(fù)習(xí)課

☉浙江省湖州市吳興高級(jí)中學(xué) 劉曉東

一、引言

高三復(fù)習(xí)是一個(gè)系統(tǒng)工程，對(duì)于學(xué)生而言，高三復(fù)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再學(xué)習(xí)，是把數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固和內(nèi)化，形成知識(shí)體系，逐步提高分析和解決問(wèn)題的能力；對(duì)于教師而言，通過(guò)高三復(fù)習(xí)課教學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，幫助學(xué)生構(gòu)建科學(xué)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握.如何提高復(fù)習(xí)課的效率？始終是高三教學(xué)永恒的話題，現(xiàn)實(shí)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)校、很多老師的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，都是圍繞教輔資料一輪、二輪甚至三輪、四輪，機(jī)械地重復(fù)與練習(xí)仿佛成了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的全部，教師缺乏對(duì)復(fù)習(xí)課深刻的理解與精心設(shè)計(jì)，成了教輔資料的奴隸，學(xué)生則成了解題的工具，數(shù)學(xué)能力依舊在原地徘徊，很難有質(zhì)的飛躍.

要改善復(fù)習(xí)課的教學(xué)現(xiàn)狀，關(guān)鍵在教師.教師用教輔資料無(wú)可厚非，但不能只是教輔的搬運(yùn)工，應(yīng)致力于對(duì)復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，加強(qiáng)對(duì)教材的深刻理解及適度開發(fā)、挖掘.教材是數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想的重要載體，是產(chǎn)生高考題的主要來(lái)源，相當(dāng)數(shù)量的高考題源于教材，即使是綜合題，也是基本題的組合、加工和發(fā)展，高考試題萬(wàn)變不離其宗.縱觀高考學(xué)生答題情況，考生在答題中的大部分失誤，并不是因?yàn)槿狈`活思維，而是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本定理的掌握存在不足，對(duì)知識(shí)理解往往是片面的、孤立的、膚淺的，不能形成完整合理的知識(shí)體系和深層次的理解，這些原因的產(chǎn)生與學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中脫離教材有很大的關(guān)系.脫離課本，導(dǎo)致的直接后果就是嚴(yán)重影響了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)、有目的地對(duì)教材中典型的例習(xí)題進(jìn)行反思探討，挖掘例習(xí)題的內(nèi)涵和外延，在變換中培養(yǎng)學(xué)生解決“新問(wèn)題”的能力，達(dá)到“知新”的目的.本文是源于一道課本習(xí)題的高三復(fù)習(xí)課，旨在引玉.

二、源于一道教材習(xí)題的高三復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一：原題再現(xiàn)

原題 （人教A版必修4第102頁(yè)第4題）如圖1，設(shè)Ox、Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e1、e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量則把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）叫作向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).假設(shè)

（2）由平面向量的基本定理，本題中向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理？

變式拓展：過(guò)點(diǎn)P作直線l分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，確定A、B的位置，使△OAB的面積最小，并求最小值.

設(shè)計(jì)意圖：原題是教材中一道非常經(jīng)典的習(xí)題，內(nèi)涵豐富.通過(guò)原題再現(xiàn)，讓學(xué)生重溫經(jīng)典（有的學(xué)生可能根本就沒(méi)做過(guò)），但并不是為了解題而解題，主要是讓學(xué)生通過(guò)解題體驗(yàn)斜坐標(biāo)系的思想.對(duì)問(wèn)題（1）兩種方法的處理，既體現(xiàn)了向量運(yùn)算的統(tǒng)一性，也體現(xiàn)了斜坐標(biāo)系自身的特點(diǎn)；對(duì)問(wèn)題（2）的解讀，即對(duì)平面向量的基本定理進(jìn)行了復(fù)習(xí)，也說(shuō)明了斜坐標(biāo)系的合理性.為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)斜坐標(biāo)系的體驗(yàn)，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的變式，為斜坐標(biāo)系的引入奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)二：斜坐標(biāo)系的引入

1.斜坐標(biāo)系的定義

在平面坐標(biāo)系中，如果x軸和y軸相交成任意的角θ（不一定是直角），如圖2，經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)P作坐標(biāo)軸的平行線PM和PN作為P點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)，這樣的坐標(biāo)系叫作斜坐標(biāo)系.

圖2

2.斜坐標(biāo)系的幾個(gè)結(jié)論

（1）斜坐標(biāo)系也可分為四個(gè)象限，各象限點(diǎn)的坐標(biāo)及符號(hào)與直角坐標(biāo)系定義方式相同.

（2）平面向量中的結(jié)論在斜坐標(biāo)系中成立，且十分方便（基底即有方向的單位長(zhǎng)）.

（3）斜坐標(biāo)系中的直線方程可以利用直角坐標(biāo)系中的截距式方程.設(shè)m、n分別是直線l在x軸、y軸上的“截距”，則l的方程為過(guò)原點(diǎn)的直線方程為y=tx.

（4）在斜坐標(biāo)系中x+y=k為一族平行直線，類比直角坐標(biāo)系，k為兩軸上的“截距”.

3.斜坐標(biāo)系下的“四象九域”

圖3

類比直角坐標(biāo)系下線性規(guī)劃知識(shí)可得：（不妨記1—1區(qū)域?yàn)榈谝幌笙?號(hào)區(qū)域，其余類似，共九個(gè)區(qū)域）

設(shè)計(jì)意圖：教材在平面向量的學(xué)習(xí)中安排這個(gè)習(xí)題，是有一定含義的，平面向量中的結(jié)論在斜坐標(biāo)系中成立，說(shuō)明了斜坐標(biāo)系對(duì)向量的意義.在本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上，突出斜坐標(biāo)系的定義，在這點(diǎn)上學(xué)生是很容易接受的，但有了定義，學(xué)生還不一定會(huì)用，為此，又給出了斜坐標(biāo)系的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論及“四象九域”，為學(xué)生的應(yīng)用提供更多的抓手，特別是與線性規(guī)劃的結(jié)合，充分體現(xiàn)了直角坐標(biāo)系與斜坐標(biāo)系的內(nèi)在聯(lián)系及一致性.

環(huán)節(jié)三：斜坐標(biāo)系下的向量問(wèn)題

1.利用“四象九域”解題

例1 （2016年浙江統(tǒng)測(cè)文）已知平面向量a，b，c，滿足c=xa+yb（x，y∈R），且a·c＞0，b·c＞0.下面結(jié)論正確的是（ ）.

A.若a·b＜0，則x＞0，y＞0 B.若a·b＜0，則x＜0，y＜0

C.若a·b＞0，則x＜0，y＜0 D.若a·b＞0，則x＞0，y＞0

解析：因?yàn)閍·c＞0，b·c＞0，若a·b＜0，則可建立如圖4所示的斜坐標(biāo)系，則向量c在第一象限，所以x＞0，y＞0，故選A.

圖4

圖5

變式1：（2016年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三一模）已知M為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）則實(shí)數(shù)n的取值范圍是______.

解析：如圖5，以AB為x軸，以AC為y軸建立斜坐標(biāo)系，AB、AC分別為x軸、y軸方向上的單位長(zhǎng)度，則BC的方程為x+y=1，因?yàn)镸在三角形內(nèi)部，所以n＞0，且所以

圖6

變式2：（2006年湖南理15）如圖6，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則x的取值范圍是_________；當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是_________.

解析：以O(shè)A、OB分別為x軸、y軸建立斜坐標(biāo)系，如圖6，OA、OB為單位長(zhǎng)，則AB的方程為x+y=1，OM的方程為x+y=0，由點(diǎn)P所處位置，則x＜0，0＜x+y＜1，因?yàn)樗?/p>

設(shè)計(jì)意圖：“四象九域”是斜坐標(biāo)系的基本要素，為了讓學(xué)生更好地理解斜坐標(biāo)系，掌握斜坐標(biāo)系的應(yīng)用，特設(shè)計(jì)例1和兩個(gè)變式，這三個(gè)問(wèn)題利用“四象九域”來(lái)解決，顯得尤為自然和簡(jiǎn)捷，學(xué)生也能夠很快掌握，當(dāng)然，我們也不能否定其他的解法.

圖7

2.斜坐標(biāo)系與線性規(guī)劃的結(jié)合

例2 （2016年杭州一模）在直角△ABC中，∠C是直角，CA=4，CB=3，△ABC的內(nèi)切圓交CA、CB于點(diǎn)D、E，P是圖7中陰影區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)（不包含邊界），若則x+y的值可以是（ ）.

A.1 B.2 C.4 D.8

解析：分別以CB、CA為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，易知△ABC內(nèi)切圓半徑為1，則DE的直線方程為x+y=1，此時(shí)顯然不合題意，把DE適度上下平移，易知只有x+y=2滿足題意，故選B.

例3 （2015年?yáng)|北四校聯(lián)考）已知點(diǎn)A（1，-1），B（4，0），C（2，2），點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P（x，y）組成的平面區(qū)域的面積為（ ）.

A.2 B.4 C.8 D.12

如圖8，建立斜坐標(biāo)系，結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)，則點(diǎn)P（x，y）組成的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，其面積為三角形ABC面積的2倍，故選C.

圖8

變式3：（2016年紹興市高三第一學(xué)期高三期末）正△ABC的邊長(zhǎng)為1，向量則動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為______.

解析：仿照例3建立斜坐標(biāo)系，易求得動(dòng)點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)以直角坐標(biāo)系導(dǎo)入，通過(guò)例3和變式3的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)利用斜坐標(biāo)系處理向量問(wèn)題的快捷，大大減少了思維量，從斜坐標(biāo)系的視角處理線性規(guī)劃問(wèn)題，學(xué)生掌握的不僅僅是一種方法，更是對(duì)思維的一種提升，是對(duì)數(shù)學(xué)更深刻的理解.

圖9

3.由平面向空間拓展

例4 如圖9所示，點(diǎn)O∈平面A′B′C′∥平面ABC，點(diǎn)Q在三棱錐O-ABC內(nèi)部運(yùn)動(dòng)（不含邊界），記則x的取值范圍是_________.若時(shí)，則y+z的取值范圍是________.

解析：如圖9建立空間斜坐標(biāo)系，結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)，易得x＞0，y＞0，z＞0，且0＜x+y+z＜1，所以x的取值范圍是0＜x＜1.若所以

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是將斜坐標(biāo)系由平面推廣到空間，旨在開拓學(xué)生的思維空間，學(xué)生的理解也是水到渠成，以例1為基礎(chǔ)，本解法自然流暢，給人耳目一新之感.考慮到學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，此處不易過(guò)度拓展，否則也不符合高考要求，所以本環(huán)節(jié)只安排一個(gè)例題，也沒(méi)必要設(shè)置變式.

圖10

4.活用斜坐標(biāo)系直線的“截距”

例5 （2016年稽陽(yáng)聯(lián)誼高三聯(lián)考）如圖10，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)P.若A→P=xA→B+則2x+y=______；若Q是△BCP內(nèi)部（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且則m+2n的取值范圍為______.

解析：如圖10，分別以AB，AD為x軸，y軸，AB，AD為單位長(zhǎng)建立斜坐標(biāo)系，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AD，則易得P點(diǎn)坐標(biāo)為所以

圖11

例6 （2011屆蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研）如圖11，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量則λ+μ的最小值為______.

設(shè)計(jì)意圖：斜坐標(biāo)系下直線的“截距”式方程是斜坐標(biāo)系的亮點(diǎn)工具之一，有著美麗的幾何意義，本環(huán)節(jié)通過(guò)兩個(gè)例題的設(shè)置向?qū)W生充分展示了它的應(yīng)用.對(duì)于學(xué)生而言，初用斜坐標(biāo)系可能一時(shí)還無(wú)法適應(yīng)，思維還會(huì)停留在原有的習(xí)慣上，但通過(guò)一定的訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)很快接受的.對(duì)于這兩個(gè)例題，我們既可以用幾何法解決，也可以通過(guò)基底思想進(jìn)行求解，但我們從斜坐標(biāo)系的視角來(lái)處理，指向更為明確，只要合理的建系，問(wèn)題便可迎刃而解.

三、教學(xué)反思

1.恰當(dāng)?shù)靥幚砗谜n本與復(fù)習(xí)資料的關(guān)系

如何用好復(fù)習(xí)資料，讓它發(fā)揮最大的效益，如何處理好課本與復(fù)習(xí)資料的關(guān)系，這是高三復(fù)習(xí)過(guò)程中首先要解決的一個(gè)基本問(wèn)題.教材是教學(xué)的藍(lán)本，無(wú)論是學(xué)生還是教師都要給予足夠的重視，尤其教材中比較經(jīng)典的習(xí)題，我們更應(yīng)花大力氣去研究、探討，甚至是去拓展，本案例通過(guò)對(duì)一道課本習(xí)題的開發(fā)與拓展，并與高考熱點(diǎn)相結(jié)合，收到了較好的復(fù)習(xí)效果.

2.對(duì)于教材習(xí)題拓展應(yīng)適度

高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，最難把握的就是教學(xué)的難度問(wèn)題.對(duì)于教材習(xí)題拓展到什么程度，也是值得探討的問(wèn)題.本節(jié)課筆者在三個(gè)不同層次的學(xué)校都上過(guò)，教學(xué)效果也大相徑庭，基礎(chǔ)好的學(xué)校效果明顯要好.對(duì)于基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生而言，并不是他們接受不了，而是對(duì)斜坐標(biāo)系毫無(wú)概念，讓其在一節(jié)課之內(nèi)完全接受，難度可想而知.事實(shí)上，對(duì)教材習(xí)題的研究不僅僅是在高三，而應(yīng)該貫穿在我們教學(xué)的全過(guò)程中.

3.讓高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的課堂真正“活”起來(lái)

高三數(shù)學(xué)以復(fù)習(xí)課為主，傳統(tǒng)做法是大容量、大密度，以老師講為主，學(xué)生被動(dòng)地接受，在課堂上基本上是圍繞著教輔資料轉(zhuǎn)，圍著題目轉(zhuǎn)，師生都成了解題機(jī)器，復(fù)習(xí)效果往往事倍功半.事實(shí)上只要我們把頭抬起來(lái)，看看教材，研究一下教材習(xí)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一片新天地.本案例的意圖就是要打破常規(guī)，從研究教材的視角向?qū)W生傳遞一個(gè)信息，教材是根，課本才是我們高三復(fù)習(xí)的根本.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，這樣的復(fù)習(xí)課學(xué)生的參與度明顯提高，課堂真正活了起來(lái)，雖然本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，在容量、難度等處理上有很多值得商榷的地方，但學(xué)生還是比較歡迎，效果也比較理想.

著名數(shù)學(xué)家G.波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一個(gè)門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”事實(shí)上，教材中的習(xí)題是編者從茫茫的題海中經(jīng)過(guò)反復(fù)篩選，精心選擇出來(lái)的，在解題思路和方法上具有典型性和代表性，在由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力上具有示范性和啟發(fā)性.本案例正是基于這種思想，通過(guò)對(duì)一道教材習(xí)題背景的揭示與拓展，去詮釋研究數(shù)學(xué)教材習(xí)題、開發(fā)教材習(xí)題的必要性，從而提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效率.

1.沈新權(quán).MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.