☉山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清第一中學(xué) 馬 晶

變式探究圓錐曲線中一類定點(diǎn)問題

☉山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清第一中學(xué) 馬 晶

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，且在高考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，能有效考查考生分析問題、解決問題的能力.定點(diǎn)問題是圓錐曲線的重要考查題型，設(shè)問形式通常是證明或探索直線或曲線是否過某一定點(diǎn).圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，便是考查學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要途徑.此類問題主要涉及直線、圓與圓錐曲線等方面的知識(shí)，滲透了函數(shù)、化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，是高考的熱點(diǎn)題型之一.本文以一道有關(guān)定點(diǎn)問題的命題為引例，進(jìn)行變式探究，以供同學(xué)們參考.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M

點(diǎn)評(píng)：此命題是證明圓過定點(diǎn)，因此可利用圓的幾何性質(zhì)，即直徑所對(duì)的圓周角為直角以及坐標(biāo)法、代入消元法、根與系數(shù)的關(guān)系，向量轉(zhuǎn)化思想等直接證明，難度中等.下面以此為基礎(chǔ)進(jìn)行變式拓展.

一、變證為求

在新課標(biāo)教育理念下，動(dòng)曲線或動(dòng)直線是否過定點(diǎn)的問題考查了學(xué)生的探究能力和探索精神.對(duì)于此類問題的常規(guī)做法是將動(dòng)曲線的方程寫出，再想法消參，使得曲線方程中只含有一個(gè)參變量，從而找出定點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓G的方程.

（Ⅱ）設(shè)橢圓G的短軸端點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是橢圓G上異于點(diǎn)A，B的一動(dòng)點(diǎn)，直線PA，PB分別與直線x=4交于M，N兩點(diǎn)，以線段MN為直徑作圓C.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，求圓C半徑的最小值.

②問：是否存在一個(gè)圓心在x軸上的定圓與圓C相切？若存在，指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.

（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0），A（0，1），B（0，-1），所以直線PA的方程為

當(dāng)x0=-2時(shí)，圓C半徑的最小值為3.

當(dāng)P在左端點(diǎn)時(shí)，圓C的方程為（x-4）2+y2=9，

當(dāng)P在右端點(diǎn)時(shí)，設(shè)P（2，0），A（0，1），B（0，-1），

令x=4，得yM=-1.同理得yN=1.

圓C的方程為（x-4）2+y0=1，

易知與定圓（x-2）2+y2=1相切，半徑R=1.

當(dāng)-2≤x0＜0時(shí)，d=r-R此時(shí)定圓與圓C內(nèi)切；

當(dāng)0＜x0≤2時(shí)，d=此時(shí)定圓與圓C外切.

所以存在一個(gè)圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（2，0）和半徑R=1.

（注：存在另一個(gè)圓心在x軸上的定圓與圓C相切，該定圓的圓心為（6，0）和半徑R=1.結(jié)果同樣正確）

點(diǎn)評(píng)：本題求解中從特殊情況入手，即先令點(diǎn)P為橢圓上特殊的點(diǎn)（左端點(diǎn)、右端點(diǎn)），探索出定圓，在此基礎(chǔ)上對(duì)題目進(jìn)行一般性的探究，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維策略.

二、改變命題

變式訓(xùn)練能有效考查考生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握及靈活運(yùn)用程度.在解答完一道題后，可嘗試對(duì)題目的條件或結(jié)論進(jìn)行變式，從多角度對(duì)問題進(jìn)行探究.

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

設(shè)P（m，n），又F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

（Ⅱ）設(shè)lAB：y=代入橢圓消去y，整理得（2k2+，Δ＞0成立.

記A（x1，y1），B（x2，y2），

點(diǎn)評(píng)：解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的探索存性在問題，主要有兩個(gè)方向：（1）根據(jù)圓錐曲線的方程及性質(zhì)，通過聯(lián)立直線與橢圓的方程得到二次方程，然后通過解方程或利用判別式可作出判斷；（2）通過假設(shè)存在，然后由此出發(fā)進(jìn)行推證，最后觀察其推導(dǎo)結(jié)果是否合理.同時(shí)本例中要注意向量思想方法的應(yīng)用.

三、改變曲線類型

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，它們具有統(tǒng)一的第二定義.對(duì)于橢圓具有的某些性質(zhì)，雙曲線與拋物線可能同時(shí)具有.因此可嘗試改變曲線的類型進(jìn)行探究.

例3 在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+b與曲線C相切于點(diǎn)P，與直線x=-1相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過x軸上某定點(diǎn).

解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）.

由拋物線定義知，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為以（1，0）為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.

所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為y2=4x.

（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+b（顯然k≠0）.

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)P（x0，y0），則解得

所以以PQ為直徑的圓恒過x軸上定點(diǎn)M（1，0）.

點(diǎn)評(píng)：探索直線或曲線是否過某一定點(diǎn)問題的解決方法通常有兩種：其一是特殊法，即從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)，其二是探索直線過或曲線過定點(diǎn)，先將要證明過定點(diǎn)的直線方程表示為某參數(shù)的直線系方程的形式，再由直線系或曲線系方程進(jìn)行消去參數(shù)求出定點(diǎn).

總之，在處理有關(guān)“定點(diǎn)、定值、定直線”問題時(shí)，我們要注意動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，一般情況都是轉(zhuǎn)化為恒成立問題，重點(diǎn)是要確定好與哪一變量無關(guān)，同時(shí)也要對(duì)動(dòng)與靜的關(guān)系的觀察，加深對(duì)動(dòng)與靜本質(zhì)的理解，便于尋求解題策略，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性和廣闊性.