☉廣東省東莞市第四高級中學(xué) 唐良生

2016年全國卷I文科數(shù)學(xué)第20題的解法與探源

☉廣東省東莞市第四高級中學(xué) 唐良生

一、試題再現(xiàn)

題目 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p＞0）于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.

（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否還有其他公共點？說明理由.

二、解法分析

（Ⅱ）直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下：

點評：這個解法充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法思想，凸顯了解析幾何的解析味道，是學(xué)生必須掌握的方法，這個解法還從代數(shù)的角度證明了直線MH是拋物線過點H的切線.

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如圖1，作HH1垂直于準(zhǔn)線垂足為H，交1y軸于點Q，由（Ⅰ）知△H1QM≌△FOM，從而∠H1MQ=∠FMQ，H1，M，F(xiàn)三點共線，由|HF|=|HH1|，|FM|= |H1M|，得HM是線段H1F的垂直平分線.

設(shè)直線MH上除H以外，與C還有一個公共點I，作準(zhǔn)線的垂線II1，垂足為I1，連接IH1，IF，因為I是H1F垂直平分線上的點，所以|IH1|=|IF|.又I是拋物線y2=2px上的點，所以|II1|=|IF|，所以|IH1|=|II1|.

與△II1H1為直角三角形矛盾，所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點，即直線MH為拋物線的切線.

點評：這個解法緊扣拋物線的定義及平面幾何的相關(guān)知識，回歸本質(zhì)，凸顯了解析幾何的幾何味道.它不但從幾何的角度證明了直線MH是拋物線過點H的切線，而且發(fā)現(xiàn)了直線MH就是“人教A版選修1-1，56頁引入拋物線時圖2.3-1中的直線m”，即線段FH的垂直平分線m，如圖2所示.至此，這道高考題的起源就被找到了.

三、尋根探源

根據(jù)前面的分析，本題來源于人教A版數(shù)學(xué)選修1-1，56頁：“信息技術(shù)應(yīng)用：用幾何畫板畫圖，如圖2.3-1，點F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡.你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？”

教科書設(shè)置“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目，給出了拋物線生成的過程.通過幾何畫板的制作，學(xué)生可以從作法中了解曲線上的點所滿足的幾何條件，明確拋物線的定義，用幾何畫板作拋物線的方法，依據(jù)的就是這個欄目.但該欄目的作用絕不是僅此而已，它還給我們留下了如下寬廣的探究空間.

探究1：點M的軌跡是拋物線C，那么與之相關(guān)的垂線m與拋物線C有什么關(guān)系呢？借助幾何畫板的跟蹤軌跡功能，我們猜想它是拋物線的切線，點M為切點，如圖3.

我們可以從代數(shù)和幾何兩個角度來證明垂直平分線m是拋物線過點M的切線，其證法與這道高考題的證法完全相同.至此，這道高考題就可以水到渠成地命制出來了.利用這個結(jié)論或者這道高考題的結(jié)論，如果知道拋物線的焦點、準(zhǔn)線、對稱軸、頂點中任意兩個，就可以作出過拋物線上任意一點的切線.

圖3

圖4

探究2：如圖4，若m與x軸相交于點T，則四邊形MHTF為菱形.

圖5

探究3：如圖5，AB為拋物線的焦點弦，作AC垂直準(zhǔn)線于點C，作BE⊥準(zhǔn)線于點E，作CF的垂直平分線m，交x軸于點D，作EF的垂直平分線n，交x軸于點G，得菱形ACDF和菱形BEGF，且菱形ACDF與菱形BEGF相似，相應(yīng)對角線相互平行.

四、高考鏈接

下面再提供一道以直線m為背景的高考題.

例1 （2009年湖北卷文科20題）如圖6，過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1.

圖6

圖7

（Ⅰ）求證：FM1⊥FN1；

（Ⅱ）記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、 S2、S3，試判斷是否成立，并證明你的結(jié)論.

分析：本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力.證明方法很多，若作出線段FM1的垂直平分線m，作出線段FN1的垂直平分線n，菱形MM1TF的對角線M1F與菱形NN1KF的對角線N1F互相垂直，立即得FM1⊥FN1.

1.孔德泉.思題所解 敘己所思——2015年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅱ理科第20題的拓展研究 ［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（9）.

2.劉海亞.一條直線及其妙用［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（北京），2011（4）.