鄭輝

摘 要：幾何證明題的圖形紛繁復(fù)雜、千變?nèi)f化，這使學(xué)生在解題過(guò)程中把握不住圖形的本質(zhì)，找不到解題的突破口。但任何復(fù)雜的幾何圖形都是由相關(guān)的基本圖形所構(gòu)建而成，對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行合理分解，從中分離出基本圖形，可以為解題找到突破口。依托基本圖形的教學(xué)，雖可有效排除無(wú)關(guān)信息干擾，快速凸顯解題突破口，提高思維的敏捷性。教師若尺度把握不當(dāng)，也可能造成學(xué)生的一種“模塊化”思維定勢(shì)，阻礙學(xué)生思維的發(fā)展。而初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是要培養(yǎng)學(xué)生的多種思維能力，這就要求教師在教學(xué)時(shí)把握好這個(gè)教學(xué)的尺度，時(shí)常注意打破原有的教學(xué)“模式化”，克服思維定式，拓寬思維領(lǐng)域，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞：基本圖形教學(xué)；創(chuàng)新思維；思維定式

時(shí)代的發(fā)展，需要?jiǎng)?chuàng)造型人才，而創(chuàng)造型人才，必須具有創(chuàng)新思維。因此，在數(shù)學(xué)基本圖形教學(xué)過(guò)程中，注重學(xué)生的創(chuàng)新思維的培養(yǎng)就顯得十分重要了。如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，最大限度地挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，充分發(fā)展他們的思維能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)。本文試就筆者在中學(xué)數(shù)學(xué)的基本圖形教學(xué)法教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維談一點(diǎn)膚淺的認(rèn)識(shí)：

一、形象思維與抽象思維相結(jié)合，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)

形象思維是用直觀形象和表象解決問題的思維。其特點(diǎn)是具體形象性，屬于感性認(rèn)識(shí)階段。抽象思維是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)活動(dòng)中運(yùn)用概念、判斷、推理等思維形式，對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)進(jìn)行間接的、概括的反映的過(guò)程，屬于理性認(rèn)識(shí)階段。抽象思維是創(chuàng)造性思維的重要組成部分，對(duì)于那些抽象的定理、性質(zhì)，直接給出時(shí)的效果總不太理想。在教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生的思維從形象逐步過(guò)渡、上升到抽象，才能在獲取知識(shí)的同時(shí)發(fā)展能力。有了創(chuàng)新意識(shí)，才能有創(chuàng)新思維，繼而進(jìn)行創(chuàng)造活動(dòng)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類的一種活動(dòng)，是一種創(chuàng)造性的活動(dòng)。數(shù)學(xué)基本圖形的學(xué)習(xí)過(guò)程就是數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何方面的學(xué)習(xí)要求學(xué)生“……能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，……利用直觀來(lái)進(jìn)行思考”。初中生開始學(xué)習(xí)空間與圖形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，確實(shí)存在很多困難，概念集中又抽象，難理解；由“數(shù)”轉(zhuǎn)入“形”，難適應(yīng)；推理論證邏輯性強(qiáng)，難下手。因此，在幾何基本圖形教學(xué)中應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)基本圖形進(jìn)行抽象、歸類，逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)幾何圖形的識(shí)別、組合與分解的能力。此時(shí)必須突出幾何基本圖形教學(xué)的直觀、形象性，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中利用基本圖形努力創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。教師在教學(xué)中可從一些最基本、最簡(jiǎn)單的幾何基本圖形入手，讓學(xué)生在頭腦中先形成各種基礎(chǔ)知識(shí)的表象圖形，在實(shí)際運(yùn)用中組合成較為復(fù)雜的圖形或分解那些較為復(fù)雜的幾何圖形，去解決生活中的實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生組合與創(chuàng)新，及從復(fù)雜問題中去分析、解決問題的能力。 例如：

例1：如圖（1），E為平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，交邊CD于G，交對(duì)角線BD于F，求證：FA2=FG×FE

教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生由乘積式FA2=FG×FE入手，只要證比例式=，而比例式左右兩邊的比很直觀，分別是平行線型相似三角形“Ⅹ”字形基本圖形圖（2）與圖（3）的組成部分，而圖（2）與圖（3）的公共部分BFD，就是該道題的突破口，只要把中間比建立在BFD上，不難找出中間比“”，從而問題得證。

這樣通過(guò)直觀因素來(lái)解決抽象問題，進(jìn)行形象思維與抽象思維結(jié)合的訓(xùn)練，不但激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且提高了觀察力和概括能力，對(duì)激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，無(wú)疑有巨大的促進(jìn)作用。

二、正向思維與逆向思維相結(jié)合，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

逆向思維，是對(duì)常見的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式。敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問題的相反面深入地進(jìn)行探索，樹立新思想，創(chuàng)立新形象。對(duì)于概念、定理、性質(zhì)，往往習(xí)慣于正面看、正面想、正面用，極易形成思維定勢(shì)。在解決新問題面前，這種思維定勢(shì)是一種負(fù)遷移，作用是消極的。學(xué)生往往感到束手無(wú)策，寸步難行，所以，在重視正向思維的同時(shí)，養(yǎng)成經(jīng)常逆向思維的習(xí)慣，“反其道而行之”，破除常規(guī)的正向思維帶來(lái)的定勢(shì)束縛。

如何進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練呢？在具體的基本圖形教學(xué)中要注意兩點(diǎn)：

（一）重視逆向教學(xué)

邏輯思維能力是初中生在幾何證明中進(jìn)一步接觸嚴(yán)密的邏輯推理方法，而其中的逆向思維，從問題的反面揭示本質(zhì)，彌補(bǔ)了正向思維的不足，使學(xué)生突破傳統(tǒng)的思維定勢(shì)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的關(guān)鍵。因此，教師在對(duì)有關(guān)證明題進(jìn)行分析時(shí)，應(yīng)逐步向?qū)W生灌輸幾何證明中常用而且最有效的方法——分析法，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“執(zhí)果索因”，從而增強(qiáng)直觀感，激發(fā)學(xué)生的興奮感與成功感。

例如：

例2：如圖（4），已知ABCD是圓內(nèi)接四邊形，EB是⊙O的直徑，且EB⊥AD，AD與BC的延長(zhǎng)線交于F，求證

顯然該道題，容易受制垂徑定理的基本圖形帶來(lái)的正向思維的定勢(shì)束縛，但要引導(dǎo)學(xué)生打破定勢(shì)思維的框框，利用分析法進(jìn)行逆向思維，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行執(zhí)果索因，要證=，只要證△ABC∽△FDC，故連接輔助線AC，從圖中易知∠ABC=∠FDC，則只要證，∠ACB=∠FCD，又∠FCD=∠BAD，故只要證∠ACB=∠BAD，再只要證這兩個(gè)圓周角所對(duì)的劣弧AB=劣弧BD ，而再由已知中具有的垂徑定理的基本圖形不難看出，這兩段劣弧易證相等了。

（二）強(qiáng)調(diào)一些基本方法的逆用

逆向思維也叫求異思維。在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中，求異思維占主導(dǎo)地位，也有求同的成分，而且兩者是密不可分的。解決問題時(shí)從局部考慮不易，是否能整體處理；一般情況下不好辦，考慮特殊情況；前進(jìn)有困難，退一步如何；正面入手分類太多，對(duì)立面如何；“執(zhí)果索因”與“由因?qū)Ч眱煞矫鎸ふ医忸}途徑；直接證明不行，則考慮用間接證法等。

在教學(xué)中，只有引導(dǎo)學(xué)生從“同中求異”與“異中求同”的反復(fù)結(jié)合，才能培養(yǎng)思維的流暢性、變通性、新奇性。比如，在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，因三個(gè)內(nèi)角位置分散，眾所周知，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線使角集中起來(lái)，這是思維的求同；至于如何添加適當(dāng)?shù)妮o助線，這便是思維的求異。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從基本圖形“三線八角”出發(fā)進(jìn)行探索，尋找能否構(gòu)造“三線八角”中的“F”“Z”“U”，由學(xué)生各自表達(dá)各種不同的見解。學(xué)生有的認(rèn)為：過(guò)一頂點(diǎn)作直線平行對(duì)邊；有的認(rèn)為：過(guò)一頂點(diǎn)作一射線平行對(duì)邊；也有的認(rèn)為：過(guò)一頂點(diǎn)作射線平行對(duì)邊，但還得再延長(zhǎng)一邊；還有同學(xué)想到：在一邊上取一點(diǎn)后，分別做另兩邊的平行線；甚至有的學(xué)生會(huì)想到：取三角形內(nèi)任意一點(diǎn)做三邊的平行線。多種方法能夠解決問題，學(xué)生的求異思維十分活躍，然后通過(guò)比較，異中選優(yōu)。

三、收斂思維與發(fā)散思維相結(jié)合，開發(fā)創(chuàng)新精神

在創(chuàng)造性思維過(guò)程中，發(fā)散思維起著主導(dǎo)作用，是創(chuàng)造性思維的核心。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，關(guān)鍵是要使學(xué)生能夠打破思維定勢(shì)，改變單一的思維方式，運(yùn)用聯(lián)想、想象、猜想、推想等盡量地拓展思路，從問題的各個(gè)角度、各個(gè)方面、各個(gè)層次進(jìn)行敏捷的思考。思維的發(fā)散才能多角度、多層次地從不同方面去思考，才能深刻地理解、鞏固并靈活運(yùn)用知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力?；緢D形教學(xué)中，例題的講解應(yīng)該注意一題多解、一題多變，即條件發(fā)散、過(guò)程發(fā)散、結(jié)論發(fā)散，強(qiáng)調(diào)思維的發(fā)散，增強(qiáng)思維的靈活性。在例題教學(xué)中，可叫學(xué)生先做例題，引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，探求多種解法，然后教師再給學(xué)生分析、比較各種解法的優(yōu)劣，找出最佳的、新穎的或巧妙的解法，開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

（一）注重證題思路中的“一題多解”，促進(jìn)收斂思維

收斂思維是創(chuàng)新思維的一種形式，與發(fā)散思維不同，發(fā)散思維是為了解決某個(gè)問題，從這一問題出發(fā)，想的辦法、途徑越多越好，總是追求還有沒有更多的辦法。而收斂思維也是為了解決某一問題，在眾多的現(xiàn)象、線索、信息中，向著問題一個(gè)方向思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)或發(fā)散思維中針對(duì)問題的最好辦法去得出最好的結(jié)論和最好的解決辦法。收斂思維所追求的目標(biāo)是迅速地進(jìn)行篩選，采用科學(xué)的方法將問題簡(jiǎn)化，作出正確的判斷，選取較理想、較合適的方案，使問題得到正確的解決。

“一題多解”是幾何教學(xué)中眾多學(xué)者談?wù)撗芯康囊环N有助于提高學(xué)生邏輯思維能力的方法，俗話說(shuō)：“條條大路通羅馬”，可見解決問題并不只是一種方法。在初中幾何教學(xué)法中，可以過(guò)典型例題引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同層次、多方位地思考。探索各種不同的解法，例如，在解題時(shí)，不要滿足于把題目解答出來(lái)便完事大吉，而應(yīng)向更深層次探求它們的內(nèi)在規(guī)律，可以引導(dǎo)學(xué)生變化題目的條件、結(jié)論等。比如，證明“勾股定理”。 有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分巧妙，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名，其中以面積證法較為巧妙簡(jiǎn)捷。該題證明后，可以變換角度，廣泛聯(lián)想，訓(xùn)練發(fā)散思維。可以看出，對(duì)數(shù)學(xué)問題的回味與引申，使學(xué)生從不同角度處理問題，增加學(xué)生總結(jié)、歸納、概括、綜合問題的意識(shí)和能力，培養(yǎng)了思維的靈活性、變通性和創(chuàng)造性。

總之，通過(guò)“一題多解”的長(zhǎng)期練習(xí)，并且從中比較哪種方法最簡(jiǎn)捷，是最佳方案等，這樣學(xué)生對(duì)基本圖形的理解就能根深蒂固。因?yàn)槊空业揭环N新的解法，說(shuō)明他的思維觸角又伸了一個(gè)新的領(lǐng)域。這樣就開拓了學(xué)生的分析思路，進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。

（二）注重證題形式的變化即“一圖多題”，促進(jìn)發(fā)散性思維

所謂一圖多題，就是同一種幾何圖形，由于已知、求證的差異可構(gòu)成多種不同的幾何問題，在教學(xué)中多進(jìn)行這一方面的訓(xùn)練，有助于開闊學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力，達(dá)到從一個(gè)幾何圖形訓(xùn)練對(duì)基本圖形的認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生多向思維和發(fā)散性思維的目的。同時(shí)，也可以使學(xué)生避免枯燥煩人的“題海戰(zhàn)術(shù)”，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的新鮮感和求知欲。

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（圖5）

根據(jù)圖（5）可引出以下兩例：

例3：如圖（5），從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線AB、AC，切點(diǎn)分別為B、C，又BD為⊙O的直徑，連結(jié)CD、AO，求證：CD∥AO。

例4：如圖（5），從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線AB，切點(diǎn)為B，BD為⊙O的直徑，過(guò)D作CD交⊙O與C，且使得CD∥AO，連結(jié)AC、AO。求證：AC是⊙O的切線。

通過(guò)圖（5）兩例的拓廣，可使學(xué)生對(duì)“切線長(zhǎng)”基本圖形與切線的性質(zhì)和判定有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能將所學(xué)的知識(shí)充分聯(lián)系在一起，并加以聯(lián)想、歸納，從而有助于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)。

（三）注重圖形的適當(dāng)變換即“一圖多變”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造性思維也是一種求異思維，是指不拘泥，不局限于常規(guī)，善于發(fā)現(xiàn)與眾不同解決問題的途徑，從而求得問題解答的一種思維方式。幾何習(xí)題圖形多變，證題思路千變?nèi)f化，學(xué)生有手足無(wú)措之感，會(huì)被表面現(xiàn)象所迷惑，而不能抓住事物的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)。教師在幾何教學(xué)中，要讓學(xué)生結(jié)合基本圖形來(lái)掌握所學(xué)，加深學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)知，幫助學(xué)生建立圖形與性質(zhì)、定理的密切聯(lián)系。在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行拆積木式的分解過(guò)程中，能訓(xùn)練學(xué)生的識(shí)圖能力，有利于能力的遷移，有利于在復(fù)雜圖形中快速找到解題的思路。就基本圖形的應(yīng)用這一部分，筆者認(rèn)為基本圖形的演變雖然繁多，但萬(wàn)變不離其宗，教師可通過(guò)圖形的適當(dāng)變換，產(chǎn)生新的題型，例如：

例5：已知，如圖（3），CD是⊙O的直徑，AB是弦，AE⊥AB，垂足為A，BF⊥AB，垂足為B，求證：CE=DF。

變式一：把CD和AB的相對(duì)位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論均不變，便得新題，變化后如圖（4）：AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：CE=DF。

變式二：如圖（5），旋轉(zhuǎn)AB，令A(yù)B與CD相交，條件、結(jié)論都不變，又得新題。

變式三：把直線EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖（6），直線MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，（1）求證：AC平分∠BAE；（2）求證：AB=AE+BF；（3）求證：EF2=4EA×BF。

如此這般的“一圖多變”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，逐步理解涉及基本圖形的一些常規(guī)證法。同時(shí)，教師在基本圖形教學(xué)中要敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的智慧火花，引導(dǎo)學(xué)生能通過(guò)圖形的變換和題目的不同敘述形式，輻射式地展開思路，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力及創(chuàng)造性思維能力。

總而言之，數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，而初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是要培養(yǎng)學(xué)生的多種思維能力。故在基本圖形教學(xué)法中教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，要充分利用基本圖形的分解和組合，引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行思維活動(dòng)。在穩(wěn)固舊知與尋找新知的融合過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神，形成獲取新知識(shí)、動(dòng)用新知識(shí)解決問題的能力，并通過(guò)基本圖形的演繹來(lái)訓(xùn)練學(xué)生思維的收斂與發(fā)散，正向遷移與逆向探究，促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)造性的發(fā)展，最大限度地挖掘每個(gè)學(xué)生的潛能，充分發(fā)展他們的思維能力，以達(dá)到發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的目的。

參考文獻(xiàn)：

鮑健強(qiáng)，黃舒涵，蔣惠琴.論發(fā)散性思維和收斂性思維的辯證統(tǒng)一[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2010（02）.

編輯 謝尾合