朱建華，趙　微，孟新柱

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東青島266590)

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等周問題求解新探索

朱建華，趙微，孟新柱

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東青島266590)

[摘要]將實(shí)型Fourier級(jí)數(shù)延拓成復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)，利用復(fù)型的Fourier級(jí)數(shù)和數(shù)學(xué)分析中的格林公式以及參數(shù)方程，借助Parseval等式，對(duì)等周問題進(jìn)行求解.

[關(guān)鍵詞]復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)； 參數(shù)方程； 等周問題； Parseval等式

1引言

等周問題最早是由著名數(shù)學(xué)家Joham Beynoulli在1679年提出的， 即在具有定長(zhǎng)的一切平面單純閉曲線中， 圓是最大面積的曲線.在隨后的300多年里，人們圍繞等周問題開展了深入的研究與討論， 并將其稱為等周定理(等周不等式).現(xiàn)在比較典型的三種證明方法分別是1902年Hurwitz給出的第一個(gè)解析證明、1939年Schmidt的證明和1978年蘇步青教授在文[1]中介紹的改良后的Hurwitz方法(即用Fourier級(jí)數(shù)的方法).近年來(lái)， 國(guó)內(nèi)學(xué)者在等周問題的研究和拓廣方面取得了一些新的進(jìn)展，一般都是以Fourier級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)前人的方法進(jìn)行改進(jìn)[2-4].本文是在劉深泉[5]老師啟示下，參考姚淵[6]等作者的方法，在他們的基礎(chǔ)上，將實(shí)型Fourier級(jí)數(shù)延拓成復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)，利用復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)以及參數(shù)方程、格林公式以及幾何知識(shí)對(duì)等周問題做進(jìn)一步證明.

2主要內(nèi)容

引理2(Parseval等式)如果f(x)，g(x)∈L2(T)，并且

則有

參考文獻(xiàn)其具體的證明方法可以參照[7]中的證明.

首先利用參數(shù)方程，把平面曲線L的參數(shù)方程表示為

使其滿足

L是光滑曲線，那么曲線的總長(zhǎng)度為

因?yàn)長(zhǎng)所形成的閉區(qū)域是單連通的，所以利用格林公式

取Q=x，P=-y.那么

為了計(jì)算方便，令s=1，現(xiàn)在以弧長(zhǎng)作為參數(shù)

因?yàn)閤(s)在0≤s≤1是按段光滑的，所以可以將其延拓成以1為周期的函數(shù)，即

其中an，bn為系數(shù)且滿足

(1)

將Fourier級(jí)數(shù)延拓到復(fù)平面得

其中cn為復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)的系數(shù)，仿照實(shí)型Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)定義，其滿足

(2)

比較(1)和(2)可以得出復(fù)型的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)滿足

由x(s)是逐段光滑的，可得

由引理可以得到

由于x(s)在區(qū)間上面是光滑的，故x′(s)在[0，1]上是可積的，并且展開后的Fourier級(jí)數(shù)收斂于x′(s)，所以將其寫成

其中

(3)

由(2)，(3)兩式可得

c′(n)=2πinc(n).

(4)

同理，還可以得到

其中

(5)

由(5)可得d′(n)=2πind(n). 由引理2可得

(6)

由(4)，(5)和(6)可得

(7)

由引理2可得

(8)

由(7)，(8)兩式可以得出

(9)

根據(jù)(4)，(5)兩式，將(9)式化簡(jiǎn)可以得到

(10)

(11)

由(7)，(11)可以求得

(12)

將(12)拆開可得

即

(13)

由(13)可得

(14)

由(13)，(14)可以得到

所以當(dāng)封閉曲線的面積達(dá)到最大時(shí)恰好是一個(gè)圓.

3結(jié)語(yǔ)

定長(zhǎng)封閉的曲線所圍成的最大面積以及曲面面積一定的封閉曲面最大體積等問題，吸引著許多數(shù)學(xué)家的研究興趣，也給出一些理論證明方法.本文的證明方法是將實(shí)型Fourier級(jí)數(shù)延拓成復(fù)型Fourier級(jí)數(shù)，利用它的性質(zhì)，借助參數(shù)方程和格林公式，以及Parseval等式，在封閉的曲線所包圍的面積達(dá)到最大時(shí)候，反推出它是一個(gè)圓.該方法也可以用來(lái)證明其它類似的問題.

[1]蘇步青. 微分幾何五講[M]. 上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社， 1978.

[2]汪遐昌. 均值不等式的重要應(yīng)用-等周問題的一個(gè)簡(jiǎn)潔證明[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) ， 1996， 19(6):81-82.

[3]姬小龍. 關(guān)于等周問題級(jí)數(shù)解法的一些改進(jìn)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，21(2): 82-84.

[4]項(xiàng)武義. 等周問題的一個(gè)初等證明[J]. 數(shù)學(xué)年刊A 輯(中文版) ， 2002， 23(1):7-12.

[5]劉深泉.美國(guó)數(shù)學(xué)月刊中的問題分析和教學(xué)中的應(yīng)用[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)，2007，S(2)(5)：241-243.

[6]姚淵.關(guān)于等周問題級(jí)數(shù)解法的一些改進(jìn)[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2006(3):15-17.

[7]河田龍夫著，周民強(qiáng)譯.Fourier分析[M].北京：高等教育出版社，1984:108-112.

[8]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社，1990.

A New Exploration of Solving Isoperimetric Problem

ZHUJian-hua，ZHAOWei，MENGXin-zhu

(College of Mathematics and Systems Science， Shandong University of Science and Technology， Qingdao 266590，China)

Abstract:This paper extends real Fourier series into complex Fourier series， uses complex Fourier series， Green’s theorem in mathematical analysis， parametric equation and Parseval equality to solve isoperimetric problem.

Key words:complex Fourier series； parametric equation； isoperimetric problem； Parseval equality

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11371230)； 山東省自然科學(xué)基金(ZR2012AM012)； 山東科技大學(xué)教學(xué)研究“群星計(jì)劃”基金(qx2013227)

[收稿日期]2014-11-12

[中圖分類號(hào)]O174

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)02-0020-04