Guldin定理在一類定積分計算中的應(yīng)用*

黃永

(云南昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,云南 昭通 657000)

摘要：圍繞Guldin定理展開討論，并利用初等幾何和物理學(xué)的液體壓力、有關(guān)功的定積分計算等問題分析思想方法，系統(tǒng)研究了Guldin定理，簡化5類定積分的計算.

關(guān)鍵詞：Guldin定理；定積分；計算問題；應(yīng)用

文章編號：1007-2985(2015)01-0014-05

中圖分類號：O186文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.005

收稿日期：*2014-07-23

作者簡介：黃永(1966—)，女，云南昭通人，云南昭通學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育研究.

Guldin(古爾金)定理是一個重要的定理，但在數(shù)學(xué)專業(yè)及各專業(yè)的《高等數(shù)學(xué)》教材中幾乎沒有提及，在物理專業(yè)的《高等數(shù)學(xué)》中主要是針對重心問題提出，也講之甚少.然而，Guldin定理不僅在初等幾何中能簡化復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，而且其“重心思想”在物理學(xué)中液體壓力、有關(guān)功的計算等方面也能起到化繁為簡的效果，讓微積分運算問題轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學(xué)的乘除運算，使得高等數(shù)學(xué)在工程技術(shù)和生產(chǎn)實際中有特殊的應(yīng)用價值.

1預(yù)備知識及Guldin定理

或

其中：Mx,My分別是n個質(zhì)點對x,y軸的靜力矩(質(zhì)量為m的質(zhì)點對于x,y軸的靜力矩等于質(zhì)量m與該點到x,y軸的距離的乘積，即為質(zhì)量m與坐標y,x的乘積)；M是n個質(zhì)點質(zhì)量總和.若將質(zhì)點組的全部質(zhì)量集中在重心處，則它對某一軸的靜力矩等于質(zhì)點組對同一軸的靜力矩.

證明設(shè)平面薄板(曲邊梯形)是由曲線y=f(x)及直線x=a,x=b,y=0所圍成，其面密度為常數(shù)μ.

則平面薄板對y軸及x軸的靜力矩為

定理1(Guldin第1定理)平面曲線繞此平面上與其不相交的軸(可以是它的邊界)旋轉(zhuǎn)1周，生成的旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積等于此曲線的重心繞同一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圓周長乘以該曲線的弧長.

圖1　平面圖形A

定理2(Guldin第2定理)平面圖形繞與其不相交的軸(可以是它的邊界)旋轉(zhuǎn)所得立體的體積，等于該平面圖形面積與其重心繞軸旋轉(zhuǎn)的周長的乘積.

證明不失一般性，設(shè)平面圖形A是由曲線y=f(x)，y=g(x)及直線x=a，x=b所圍成的(圖1)，其面積為S,面密度為常數(shù)μ,則有平面圖形質(zhì)量為M=μS,再設(shè)f(x)≤g(x),f(x)≥0,g(x)≥0.那么，圖形對于x，y軸的靜力矩分別是

事實上,?x∈[a,b],寬為dx,高為f(x)的小面積繞y軸所得旋轉(zhuǎn)體體積微元為

dV=2πxf(x)dx(ΔV=π((x+dx)2-x2)f(x)).

于是,由y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的圖形繞y軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為

又因為圖形對于y軸的靜力矩

所以圖形重心的橫坐標

2Guldin定理的重心思想

Guldin第1定理給出了一條平面曲線Γ繞其所在平面上與其不相交的軸L(曲線Γ的端點可與L相交) 旋轉(zhuǎn)1周而成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算方法.對于曲線重心到軸的距離以及曲線的長度容易計算時，利用古爾金第一定理可以很方便地求得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.

Guldin第2定理則給出一個平面圖形Σ繞其所在平面上與其不相交的軸L(曲面Σ的邊界可與L相交) 旋轉(zhuǎn)1周而成的旋轉(zhuǎn)體體積的計算方法.同樣，對于平面的重心到軸的距離以及平面面積容易計算時，利用古爾金第2定理可以很方便地求得旋轉(zhuǎn)體的體積.

要計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積，有2個決定要素：一個是旋轉(zhuǎn)前曲線?；蚱矫鎴D形Σ的大小，另一個是每個點旋轉(zhuǎn)的路程(即弧長).由于每個點旋轉(zhuǎn)半徑不同，因此需要在曲線或平面圖形上選擇1個有代表性的點，該點的運動路程應(yīng)是所有點運動路程的平均值，自然地，重心具有這一功能.古爾金定理利用物理學(xué)上的這一重要概念，集中了幾何體的全部“質(zhì)量” 這一特點，將一個幾何圖形看作是一個質(zhì)點組，質(zhì)點組的全部質(zhì)量集中在重心處，則它對某一軸的靜力矩(質(zhì)點質(zhì)量m與此點到軸的距離的乘積)等于質(zhì)點組對同一軸的靜力矩.此重心思想推廣到曲線、平面的情形，則求重心的問題就轉(zhuǎn)化為求靜力矩的問題.

3Guldin定理的應(yīng)用

3.1 幾何體的有關(guān)計算

(1)求重心.

(2)求側(cè)面積和體積.

例2計算圓周x2+(y-b)2=a2(b≥a)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積.

又因圓面積S1=πa2.由Guldin第2定理得旋轉(zhuǎn)體體積為

平面圖形的面積S較易求得時，知道它的重心，則由Guldin定理很快就能計算出它繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積；反之，若知道平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所得的體積，同樣地由Guldin定理也能迅速計算出它的重心.可見，Guldin定理是建立面積、體積和重心坐標之間關(guān)系的橋梁.

3.2 計算與液面垂直放置薄片一側(cè)所受液體的壓力

設(shè)液體比重為r，在相同深度處液體的靜壓強相同，其值等于液體的比重與深度的乘積,當(dāng)Δx很小時，薄片上從深度x到x+Δx這一狹條所受的靜壓力為

Δp≈dp=rxf(x)dx，

則平面薄片所受的液體壓力p為

其中A為平面薄片的面積，h為平面薄片重心到液面的距離.

例3一底為8 cm、高為6 cm的等腰三角形片，垂直沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3 cm，試求三角形片側(cè)面所受的壓力.

p=r·A·h=9.8×103×24×7=164.64 N.

3.3 有關(guān)功的計算

設(shè)液體比重為r，體積為V，重心到液面的距離為h,按3.2節(jié)中公式推導(dǎo)方法推得抽盡液體所做的功為

例4設(shè)一圓柱形蓄水池，深18 m，口徑20 m，現(xiàn)用唧筒將16 m深的水全部抽出，求唧筒所作的功.

W=9.8×103×1 600π×10≈1.57×108πJ.

4應(yīng)用Guldin定理需注意的問題

Guldin定理主要針對一些需定積分計算的幾何體、液體壓力、功等問題的簡化計算.但是必須注意，只有當(dāng)幾何圖形重心的位置和面積容易求出時，才能起到簡化的作用.如例2中，當(dāng)|b|

另外，Guldin定理還可應(yīng)用于工程技術(shù)等更廣泛的領(lǐng)域，比如解決風(fēng)機設(shè)計過程中，對于形狀不規(guī)則的回轉(zhuǎn)體零部件質(zhì)量的計算.其計算過程是，先求出回轉(zhuǎn)體零件的體積，若已知該零件的密度，則可計算該零件的質(zhì)量.這類問題，在此不予探討.

參考文獻：

四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(物理類專業(yè)用).第1冊.北京：高等教教育出版社，1987:350-353.

費定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解.第3冊.濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1981.

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Application of Guldin Theorem to Definite Integral Calculation

HUANG Yong

(College of Mathematics and Statistics,Zhaotong College,Zhaotong 657000,Yunnan China)

Abstract:Using elementary geometry,physics of liquid pressure,and the relevant analyzing methods for definite integral calculation,the author studies systematically Guldin theorem.The calculation of definite integrals of five classes is thus simplified.

Key words:Guldin theorem;definite integral;computing problems;application

(責(zé)任編輯向陽潔)