文/李嚴(yán)

高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧

文/李嚴(yán)

摘要：分析高中不等式知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)題型,并分類總結(jié),然后給出解題技巧并用實(shí)例加以說(shuō)明,以期對(duì)高中不等式的教學(xué)起到一定的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；易錯(cuò)題；解題技巧

中圖分類號(hào)：G634.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：碼：A

文章編號(hào)：號(hào)：2095-9214(2015)08-0050-01

不等式是高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn),每年在高考試卷中所占比例也較大,往往結(jié)合數(shù)列以壓軸題的形式出現(xiàn),是易錯(cuò)點(diǎn)之一,筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐對(duì)不等式的易錯(cuò)題型進(jìn)行了總結(jié),并給出了一些解題技巧和思路。

1.與線性規(guī)劃結(jié)合問(wèn)題

這類題型在高考數(shù)學(xué)中占比例較大,考察知識(shí)點(diǎn)較多,包括最值、定義域、面積計(jì)算等,若沒(méi)有準(zhǔn)確理解不等式及線性規(guī)劃的性質(zhì),容易出錯(cuò)。

A：-1B：-1/2C：1/2D：1

此題的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)在于三條直線所的圍成的圖形示意圖以及三角形面積的計(jì)算。解題思路是先畫(huà)出三條直線的示意圖,如圖1所示,然后把四個(gè)選項(xiàng)代入即可得答案為B。

圖1　例1直線示意圖

解答此類題型的技巧主要有兩個(gè)：

a,求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)出可行域,理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

b,目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù),旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性,從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手,從圖形的動(dòng)態(tài)分析,對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)量的準(zhǔn)確定位,是求解這類問(wèn)題的主要思維方法。

2高次不等式的解法

高次不等式易錯(cuò)點(diǎn)主要是容易遺忘特殊點(diǎn)(特殊區(qū)域)以及判斷不準(zhǔn)函數(shù)的升降。

例2：求(x+3)·(x-2)·(x-4)≤0解集。

圖2　函數(shù)曲線示意圖

解題思路：

a,先在數(shù)軸上標(biāo)出方程的3個(gè)零點(diǎn),3個(gè)零點(diǎn)-3,2,4把數(shù)軸分成4個(gè)區(qū)間,如圖2所示。

b,最右的第一區(qū)間為正,以后正負(fù)相間,在區(qū)間標(biāo)明正負(fù)號(hào)

c,不等式小于等于零的解找標(biāo)有負(fù)號(hào)的區(qū)間,得解

d,所以該不等式的解集為{x丨2≤x≤4或x≤-3}

解答此類題型的技巧是擅長(zhǎng)使用函數(shù)圖線簡(jiǎn)圖來(lái)劃定區(qū)間,并注意一些特殊點(diǎn)。

3.含參不等式問(wèn)題

往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,選擇合理的分類依據(jù)進(jìn)行完成。(參數(shù)是否為零等,不重不漏)

例3解關(guān)于x的不等式ax^2-2x+1>0(a為常數(shù),a∈R)

此題要分情況來(lái)討論,分別是a=0、a>0和a<0三種情況,同時(shí)在a>0時(shí)還要區(qū)分△的值。

此類題型的解題技巧是要牢記參數(shù)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類來(lái)說(shuō)明,保證不重不漏。

基本不等式：湊項(xiàng),拆項(xiàng),配系數(shù),換元,取倒數(shù),“1”的代換

4.解絕對(duì)值不等式

解絕對(duì)值不等式主要通過(guò)同解變形去掉絕對(duì)值符合轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式(組)進(jìn)行求解,含有多個(gè)絕對(duì)值符合的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法求解,但利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值得幾何意義求解較便捷,對(duì)于最值問(wèn)題也可以考慮絕對(duì)值三角不等式。核心思想是“想方設(shè)法”將其轉(zhuǎn)換成不含絕對(duì)值的式子求解。

5.不等式恒成立問(wèn)題

不等式恒成立問(wèn)題往往與數(shù)列或抽象函數(shù)相結(jié)合來(lái)命題,這類問(wèn)題是高中不等式問(wèn)題的難點(diǎn),而且由于抽象性較強(qiáng),極易出錯(cuò)。

例4(2014年陜西高考數(shù)學(xué)卷23題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)n∈N+,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n﹣f(n)的大小,并加以證明。

該題的考點(diǎn)是結(jié)合不等式、函數(shù)導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值并研究函數(shù)的單調(diào)性。

解答此類題型的技術(shù)往往采取分離變量或適當(dāng)變形,或變換主元,或構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解；最值問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成利用基本不等式求解。同時(shí)在轉(zhuǎn)化不等式中要注意不等式不等號(hào)的方向,注意“一正,二定,三相等”。

結(jié)束語(yǔ)

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,闡述了不等式知識(shí)點(diǎn)的易錯(cuò)題型,除了上面論述的之外,不等式的證明、不等式的轉(zhuǎn)換、不等式的最值等問(wèn)題也容易出錯(cuò),任課教師需要在講解時(shí)注意。

(作者單位：陜西省渭南市杜橋中學(xué))

參考文獻(xiàn)：

[1]張惠淑.高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[D].天津師范大學(xué),2012.

[2]錢煜.基于高考試題的高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)研究[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(高中數(shù)學(xué)教學(xué))2014(12).