一道全國大學生數(shù)學競賽試題的解法及推廣

王永喜1，王澤文1，劉冰2，邱淑芳1

(1.東華理工大學理學院，南昌330013；2. 南昌二中，南昌330038)

[摘要]給出了一道全國大學生數(shù)學競賽試題的三種解答， 在此基礎上研究了三角形三內(nèi)角正弦的線性和最大值問題， 從而推廣了競賽試題中的結(jié)論. 最后， 研究了三內(nèi)角正弦的指數(shù)之積以及余弦的指數(shù)之積的上界問題.

[關(guān)鍵詞]大學生數(shù)學競賽； 三角形； 嵌入不等式； 正弦定理； 余弦定理

[收稿日期]2014-11-15

[基金項目]江西省高等學校教學改革研究課題(JXJG-13-6-7); 江西省青年科學家培養(yǎng)計劃(20122BCB23024); 江西省自然科學基金(20142BAB201008)

[中圖分類號]O151.2[文獻標識碼]C

考慮2011年第三屆全國大學生數(shù)學競賽(數(shù)學類)的一道賽題:

對于△ABC， 求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.

解法1該解法是依據(jù)全國大學生數(shù)學競賽組委會給出的參考解答給出的， 但有所不同.

三角形三個角A，B，C的取值范圍為

(A，B，C)∈D≡{(α，β，γ)|α>0，β>0，γ>0且α+β+γ=π}.

首先， 考慮3sinA+4sinB+18sinC在D的閉包

上的最大值. 于是，有

(1)

上述過程與組委會給出的解答稍有不同， 即倒數(shù)第二步直接利用Cauchy-Schwartz不等式得到是“≤”成立， 這是因為我們認為用“=”不是直接的.考慮函數(shù)

在[0，π]上的最大值問題.對于函數(shù)f(C)， 顯然有

f(C)≥f(π-C)，?C∈[0，π/2].

于是， 由微積分中一元函數(shù)取極值的必要條件， 得

(2)

(2)式等價于

(8cosC-1)(27cos2C+32cosC+4)=0.

則有t>0且A=arctan(t)∈(0，π/2)?[0，π-C]. 因此， 成立

綜上所述， 即得

解法2 (配湊法)直接利用Cauchy-Schwarz不等式[1]， 得

3sinA+4sinB+18sinC

=3sinA+4sinB+18sinAcosB+18sinBcosA

=3sinA(1+6cosB)+3cosA(6sinB)+4sinB

解法3因為0

3sinA+4sinB+18sinC=3sinA+4sinB+18sin(A+B).

為此， 在區(qū)域(0，π)×(0，π)上考慮二元函數(shù)

f(x，y)=3sinx+4siny+18sin(x+y)

的極值問題.由二元函數(shù)極值的必要條件， 得

(3)

(4)

整理得

(16t-9)(3t2+16t+9)=0.

(5)

對應t1有

對應t2有

又

那么

EG-F2=12sinxsiny+18sin(x+y)[3sinx+4siny].

受此啟發(fā)，考慮一般的問題: 對于△ABC， 求xsinA+ysinB+zsinC的最大值. 為此，先給出著名的嵌入不等式.

引理1[2-4]對于任一△ABC和任意的實數(shù)x，y，z和正整數(shù)n， 均有

x2+y2+z2≥(-1)n+12(yzcos(nA)+zxcos(nB)+xycos(nC))，

(6)

當且僅當

x∶y∶z=sin(nA)∶sin(nB)∶sin(nC)

時不等式(6)取等號.

不等式(6)常稱為Wolstenholme-Klamkin加權(quán)三角不等式.

定理1設x，y，z，k均是正數(shù)，且滿足

對于任意三角形△ABC，有

(7)

其中上式等號成立當且僅當成立

(8)

在給出定理1證明之前， 先來證明一個引理.

則有

證由題設與正弦定理， 可知

a2∶b2∶c2=p(1-p)∶q(1-q)∶r(1-r)=p(q+r)∶q(p+r)∶r(p+q).

于是

sin(2A)∶sin(2B)∶sin(2C)

=(a2(b2+c2-a2))∶(b2(c2+a2-b2))∶(c2(a2+b2-c2))

=(2pqr(q+r))∶(2pqr(r+p))∶(2pqr(p+q)

=(q+r)∶(r+p)∶(p+q)

定理1的證明首先， 注意到對于給定的正數(shù)x，y，z， 滿足

的k是唯一存在的. 由引理1， 可得

x2+y2+z2+2yzcos(2A)+2zxcos(2B)+2xycos(2C)≥0，x，y，z>0.

等號成立的條件是

x∶y∶z=sin(2A)∶sin(2B)∶sin(2C).

再利用二倍角公式有

(9)

用x2+k，y2+k，z2+k，k>0來代替上式中x，y，z， 則有

(x2+k)sin2A+(y2+k)sin2B+(z2+k)sin2C

上式等號成立的條件是

另一方面， 利用Cauchy-Schwarz不等式有

(xsinA+ysinB+zsinC)2

其中上式等號成立當且僅當

因此， 得到

即為

根據(jù)引理1知等號成立當且僅當

顯然， 當x=3，y=4，z=18時， 由條件

可推出k=96， 故有

另一方面， 知道3sinA+4sinB+18sinC取極值時， 有

接著自然會思考一個問題，如何求解對應的余弦的線性組合的最大值問題， 如求xcosA+ycosB+zcosC 的最值問題. 為了簡單起見，不妨設△ABC是銳角三角形， x，y，z都是正數(shù)的情形， 故得到如下結(jié)論[5-7].

推論1設x，y，z為任意給定的正數(shù)， 則對于任一△ABC， 有

(10)

該定理的證明可直接由嵌入不等式得到[5]. 接下來考慮(sinA)x·(sinB)y·(sinC)z與(cosA)x·(cosB)y·(cosC)z的上界問題.

定理2設x，y，z是任意給定的正數(shù)， 對于任意三角形△ABC， 有

(11)

其中不等式成立當且僅當

證對于任意給定的正數(shù)x，y，z， 令

對u，v，w應用不等式(10)式， 得

再利用加權(quán)冪平均不等式[8]， 得

即

所以

上式取等號當且僅當

定理3在銳角三角形△ABC中， 設x，y，z是任意給定的正實數(shù)， 則有

(12)

其中不等式取等號當且僅當

證利用推論1， 即在(10)式的x，y，z分別置換成

即有

然后， 利用加權(quán)冪平均不等式得

從而證得

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Solutions to a Question of the Chinese Universities Mathematics

Competitions and Its Generalization

WANGYong-xi1，WANGZe-wen1，LIUBing2，QIUShu-fang1

(1. College of Science， East China Institute of Technology， Nanchang 330013， China;

2. Nanchang Second Middle School， Nanchang 330038， China)

Abstract:This paper presents three methods are presented for solving a question of the Chinese universities mathematics competitions， and studies the maximization of the linear summation of three interior angles’ sines of a triangle which extends the conclusion of the competition question. Finally， the bounded problems of the products of the sines and cosines exponents of three interior angles are studied.

Key words: universities mathematics competitions; triangle; embedding inequality; sine theorem; cosine theorem