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        環(huán)F2+uF2+u2F2上循環(huán)碼的Gray距離

        2016-01-06 01:40:47張昊
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2015年3期

        環(huán)F2+uF2+u2F2上循環(huán)碼的Gray距離

        張昊

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230009)

        [摘要]定義了環(huán)R=F2+uF2+u2F2(u3=0)到的一個(gè)新的Gray映射.首先介紹環(huán)R上奇長度的循環(huán)碼的撓碼,給出了各階撓碼的生成多項(xiàng)式.利用一階撓碼與二階撓碼確立了R上奇長度的循環(huán)碼的Gray距離.

        [關(guān)鍵詞]循環(huán)碼; 撓碼; Gray映射

        [收稿日期]2014-03-17

        [中圖分類號(hào)]O157.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

        1引言

        1994年Hammons,Sloane等人[1]發(fā)現(xiàn)Kerdock碼等二元非線性碼可以看作是Z4環(huán)上的循環(huán)碼通過Gray映射得到的二元象,由此有限環(huán)上的糾錯(cuò)碼理論研究有了突破性發(fā)展.此后,很多學(xué)者研究不同有限環(huán)上的循環(huán)碼,常循環(huán)碼,負(fù)循環(huán)碼等線性碼的結(jié)構(gòu)[2-7],并把這些碼與域上的碼利用Gray映射做出對應(yīng),從而發(fā)現(xiàn)很多性質(zhì)良好的碼,文獻(xiàn)[2]給出了Z4上負(fù)循環(huán)碼及Gray象的性質(zhì).多項(xiàng)式剩余環(huán)作為一種結(jié)構(gòu)介于環(huán)和域之間的有限環(huán),近年來其上糾錯(cuò)碼理論也有很大的進(jìn)展.文獻(xiàn)[3]研究了環(huán)F2+uF2上常循環(huán)碼及其Gray象的性質(zhì),文獻(xiàn)[4]研究了Fq+uFq+…+uk-1Fq上重根常循環(huán)碼的Gray象.文獻(xiàn)[5]分類了Fpm+uFpm上長度為ps所有常循環(huán)碼.

        2基本概念

        對于一個(gè)有限環(huán)R,考慮R的n元組集合Rn.Rn中的子集C稱為R上長度為n的線性碼,如果它是Rn的R-子模.R上長為n的線性碼C稱為循環(huán)碼,如果它的每一個(gè)碼字x=(x0,x1,…,xn-1)∈C,那么它的循環(huán)移位(xn-1,x0,…,xn-2)∈C. 含有8個(gè)元素的環(huán)

        R={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2}

        可以表示為

        F2+uF2+u2F2,

        其中u3=0.環(huán)R實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式剩余類環(huán)F2[u]/(u3),其中F2是二元域{0,1}.容易看出,環(huán)R是極大理想為的局部環(huán),顯然,R中的任意元素r可唯一表示為

        r=r0+ur1+u2r2,

        其中r0,r1,r2∈F2.

        定義多項(xiàng)式映射

        引理1與文獻(xiàn)[5]中引理2.3類似

        于是存在多項(xiàng)式e(x)∈R[x],有

        f1g1+f2g2=1+ue,

        令e0=ue(1+ue)∈R[x],有

        e0(f1g1+f2g2)=ue,

        于是

        (1-e0)f1g1+(1-e0)f2g2=1,

        即f1,f2互素.必要性是顯然的.

        Hensel引理設(shè)f(x)是R[x]中首一多項(xiàng)式,若存在兩兩互素的不可約多項(xiàng)式g1(x),…,gr(x)∈F2(x),使得

        那么在R[x]中存在唯一兩兩互素的首一基本不可約多項(xiàng)式f1(x),…,fr(x),使得

        引理2如果xn-1=f1f2…fr是xn-1在F2[x]中兩兩互素的不可約分解,那么xn-1在R[x]中兩兩互素的首一基本不可約分解由xn-1=f1f2…fr直接給出.

        證由于n是奇數(shù),根據(jù)Hensel引理,xn-1在R[x]中可以唯一分解為兩兩互素的首一基本不可約多項(xiàng)式乘積.注意到F2[x]是R[x]的一個(gè)子環(huán),由此得出結(jié)論.

        3撓碼

        C(r)={c∈Rn|rc∈C}.

        由驗(yàn)證易知,當(dāng)C是R上循環(huán)碼時(shí),C(r)也是R上循環(huán)碼.

        引理3設(shè)C是R上長度為n的線性碼,則有

        證由C(ui)定義及C=C(u0)知,對于c∈C,有uc∈C,所以有

        C=C(u0)?C(u)?C(u2),

        因而也有

        引理4設(shè)C是R上長為n的線性碼,則

        |C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|..

        證設(shè)碼C具有下面標(biāo)準(zhǔn)形式的生成矩陣

        其中Aij(i≥1,j≥1)是二元矩陣,則Tor0(C)=Res(C)的生成矩陣為

        Tor1(C)的生成矩陣為

        Tor1(C)的生成矩陣為

        因?yàn)閨C|=8k04k12k2,而

        |Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|=2k02k0+k12k0+k1+k2,

        所以

        |C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|.

        引理5[7]設(shè)C是R上奇長度n的循環(huán)碼,則F2[x]中存在多項(xiàng)式g0,g1,g2滿足

        C=〈g0,ug1,u2g2〉,g2|g1|g0|(xn-1).

        定理1設(shè)C=〈g0,ug1,u2g2〉是R上長為n的循環(huán)碼,其中

        g0,g1,g2∈F2[x],g2|g1|g0|xn-1,

        則Tori(C)(i=0,1,2)是長為n的二元循環(huán)碼,生成多項(xiàng)式為gi(i=0,1,2).

        證設(shè)

        Ci=〈gi(x)〉?R[x]/〈xn-1〉,i=0,1,2,

        對任意多項(xiàng)式f(x)∈Ci,存在α(x)∈R[x]/〈xn-1〉,使得

        f(x)=α(x)gi(x),

        那么uif(x)=uiα(x)gi(x)∈C,從而有f(x)∈C(ui),Ci?C(ui),注意到

        所以有〈gi(x)〉?Tori(C)?F2[x]/〈xn-1〉,由此得到|Tori(C)|≥2n-gi(x) ,從而有

        |Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|≥23n-deg(g0(x))-deg(g1(x))-deg(g2(x)) ,

        而通過引理4和5得到了

        |C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|=23n-deg(g0(x))-deg(g1(x))-deg(g2(x)) ,

        因而有

        即證.

        4Gray距離

        Φ(r)=(c,c+a,c+b).

        (r0,r1,…,rn-1)→(c0,c1,…,cn-1,c0+a0,c1+a1,…,cn-1+an-1,c0+b0,c1+b1,…,cn-1+bn-1),

        其中ri=ai+ubi+u2ci,i=0,…,n-1.

        對R上任意元素r=a+ub+u2c,定義r的Gray重量

        WG(r)=WH(Φ(ri)),

        其中WH(Φ(ri))指的是Φ(ri)的Hamming重量.

        對于R上碼字c1和c2,兩者的Gray距離

        dG(c1,c2)=WG(c1-c2).

        R上碼C的Gray重量定義為其所有非零碼字中的最小Gray重量,對于R上的線性碼C,它的Gray距離dG(C)等于其最小Gray重量.

        定理2設(shè)C=〈g0(x),ug1(x),u2g2(x)〉是R上奇長度為n的循環(huán)碼,其中

        g0(x),g1(x),g2(x)∈F2[x],g2(x)|g1(x)|g0(x)|xn-1,

        設(shè)d1,d2分別是Tor1(C)和Tor2(C)的Hamming距離,則

        dG(C)=min{d1,3d2}.

        證注意到二元域F2是R的子環(huán),則gi(x)(i=0,1,2)可以看作R[x]/〈xn-1〉中元素,而

        Tor0(C)?C,uTor1(C)?C,u2Tor2(C)?C,

        則Tor0(C),uTor1(C),u2Tor2(C)都是C的子碼,由Gray重量的定義,則Tor0(C),uTor1(C),u2Tor2(C)作為C的子碼,其Gray距離分別為d0,d1,3d2.

        所以C的Gray距離

        dG(C)=min{d0,d1,3d2},

        而Tor0(C)?Tor1(C),有d0≥d1,從而得出結(jié)論

        dG(C)=min{d1,3d2}.

        例1已知在F2[x]中,

        x7-1=(x-1)(x3+x+1)(x3+x2+1).

        設(shè)C=〈g0(x),ug1(x),u2g2(x)〉是F2+uF2+u2F2上長7的循環(huán)碼,其中

        g0(x)=x3+x+1,g1(x)=x3+x+1,g2(x)=1.

        因?yàn)門or0(C)=〈g0(x)〉是二元[7,4,3]-線性碼,Tor1(C)=〈g1(x)〉是二元[7,4,3]-線性碼,而Tor2(C)=〈g2(x)〉是二元[7,7,1]-線性碼,根據(jù)定理2,碼C是F2+uF2+u2F2上(7,215,3)-線性碼,它的Gray像是二元[21,15,3]-線性碼.

        5結(jié)束語

        本文利用撓碼確定了環(huán)F2+uF2+u2F2(u3=0)上奇長度的循環(huán)碼的Gray距離,這為研究環(huán)F2+uF2+u2F2上編碼與譯碼提供了重要的理論依據(jù).進(jìn)一步的研究是確立更一般的有限鏈環(huán)Fq+uFq+…+uk-1Fq(uk=0)上循環(huán)碼的齊次距離.另外,如何利用環(huán)F2+uF2+u2F2上循環(huán)碼構(gòu)造參數(shù)較好的二元線性碼也值得進(jìn)一步探討.

        [參考文獻(xiàn)]

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        Gray Distance of Cyclic Codes Over F2+uF2+u2F2

        ZHANGHao

        (School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

        Key words: cyclic code; torsion code; Gray distance

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