環(huán)F2+uF2+u2F2上循環(huán)碼的Gray距離

張昊

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

[摘要]定義了環(huán)R=F2+uF2+u2F2(u3=0)到的一個(gè)新的Gray映射.首先介紹環(huán)R上奇長度的循環(huán)碼的撓碼，給出了各階撓碼的生成多項(xiàng)式.利用一階撓碼與二階撓碼確立了R上奇長度的循環(huán)碼的Gray距離.

[關(guān)鍵詞]循環(huán)碼; 撓碼; Gray映射

[收稿日期]2014-03-17

[中圖分類號(hào)]O157.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

1引言

1994年Hammons，Sloane等人[1]發(fā)現(xiàn)Kerdock碼等二元非線性碼可以看作是Z4環(huán)上的循環(huán)碼通過Gray映射得到的二元象，由此有限環(huán)上的糾錯(cuò)碼理論研究有了突破性發(fā)展.此后，很多學(xué)者研究不同有限環(huán)上的循環(huán)碼，常循環(huán)碼，負(fù)循環(huán)碼等線性碼的結(jié)構(gòu)[2-7]，并把這些碼與域上的碼利用Gray映射做出對應(yīng)，從而發(fā)現(xiàn)很多性質(zhì)良好的碼，文獻(xiàn)[2]給出了Z4上負(fù)循環(huán)碼及Gray象的性質(zhì).多項(xiàng)式剩余環(huán)作為一種結(jié)構(gòu)介于環(huán)和域之間的有限環(huán)，近年來其上糾錯(cuò)碼理論也有很大的進(jìn)展.文獻(xiàn)[3]研究了環(huán)F2+uF2上常循環(huán)碼及其Gray象的性質(zhì)，文獻(xiàn)[4]研究了Fq+uFq+…+uk-1Fq上重根常循環(huán)碼的Gray象.文獻(xiàn)[5]分類了Fpm+uFpm上長度為ps所有常循環(huán)碼.

2基本概念

對于一個(gè)有限環(huán)R，考慮R的n元組集合Rn.Rn中的子集C稱為R上長度為n的線性碼，如果它是Rn的R-子模.R上長為n的線性碼C稱為循環(huán)碼，如果它的每一個(gè)碼字x=(x0，x1，…，xn-1)∈C，那么它的循環(huán)移位(xn-1，x0，…，xn-2)∈C. 含有8個(gè)元素的環(huán)

R={0，1，u，u2，1+u，1+u2，u+u2，1+u+u2}

可以表示為

F2+uF2+u2F2，

其中u3=0.環(huán)R實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式剩余類環(huán)F2[u]/(u3)，其中F2是二元域{0，1}.容易看出，環(huán)R是極大理想為的局部環(huán)，顯然，R中的任意元素r可唯一表示為

r=r0+ur1+u2r2，

其中r0，r1，r2∈F2.

定義多項(xiàng)式映射

引理1與文獻(xiàn)[5]中引理2.3類似

于是存在多項(xiàng)式e(x)∈R[x]，有

f1g1+f2g2=1+ue，

令e0=ue(1+ue)∈R[x]，有

e0(f1g1+f2g2)=ue，

于是

(1-e0)f1g1+(1-e0)f2g2=1，

即f1，f2互素.必要性是顯然的.

Hensel引理設(shè)f(x)是R[x]中首一多項(xiàng)式，若存在兩兩互素的不可約多項(xiàng)式g1(x)，…，gr(x)∈F2(x)，使得

那么在R[x]中存在唯一兩兩互素的首一基本不可約多項(xiàng)式f1(x)，…，fr(x)，使得

引理2如果xn-1=f1f2…fr是xn-1在F2[x]中兩兩互素的不可約分解，那么xn-1在R[x]中兩兩互素的首一基本不可約分解由xn-1=f1f2…fr直接給出.

證由于n是奇數(shù)，根據(jù)Hensel引理，xn-1在R[x]中可以唯一分解為兩兩互素的首一基本不可約多項(xiàng)式乘積.注意到F2[x]是R[x]的一個(gè)子環(huán)，由此得出結(jié)論.

3撓碼

C(r)={c∈Rn|rc∈C}.

由驗(yàn)證易知，當(dāng)C是R上循環(huán)碼時(shí)，C(r)也是R上循環(huán)碼.

引理3設(shè)C是R上長度為n的線性碼，則有

證由C(ui)定義及C=C(u0)知，對于c∈C，有uc∈C，所以有

C=C(u0)?C(u)?C(u2)，

因而也有

引理4設(shè)C是R上長為n的線性碼，則

|C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|..

證設(shè)碼C具有下面標(biāo)準(zhǔn)形式的生成矩陣

其中Aij(i≥1，j≥1)是二元矩陣，則Tor0(C)=Res(C)的生成矩陣為

Tor1(C)的生成矩陣為

Tor1(C)的生成矩陣為

因?yàn)閨C|=8k04k12k2，而

|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|=2k02k0+k12k0+k1+k2，

所以

|C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|.

引理5[7]設(shè)C是R上奇長度n的循環(huán)碼，則F2[x]中存在多項(xiàng)式g0，g1，g2滿足

C=〈g0，ug1，u2g2〉，g2|g1|g0|(xn-1).

定理1設(shè)C=〈g0，ug1，u2g2〉是R上長為n的循環(huán)碼，其中

g0，g1，g2∈F2[x]，g2|g1|g0|xn-1，

則Tori(C)(i=0，1，2)是長為n的二元循環(huán)碼，生成多項(xiàng)式為gi(i=0，1，2).

證設(shè)

Ci=〈gi(x)〉?R[x]/〈xn-1〉，i=0，1，2，

對任意多項(xiàng)式f(x)∈Ci，存在α(x)∈R[x]/〈xn-1〉，使得

f(x)=α(x)gi(x)，

那么uif(x)=uiα(x)gi(x)∈C，從而有f(x)∈C(ui)，Ci?C(ui)，注意到

所以有〈gi(x)〉?Tori(C)?F2[x]/〈xn-1〉，由此得到|Tori(C)|≥2n-gi(x) ，從而有

|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|≥23n-deg(g0(x))-deg(g1(x))-deg(g2(x)) ，

而通過引理4和5得到了

|C|=|Tor0(C)||Tor1(C)||Tor2(C)|=23n-deg(g0(x))-deg(g1(x))-deg(g2(x)) ，

因而有

即證.

4Gray距離

Φ(r)=(c，c+a，c+b).

(r0，r1，…，rn-1)→(c0，c1，…，cn-1，c0+a0，c1+a1，…，cn-1+an-1，c0+b0，c1+b1，…，cn-1+bn-1)，

其中ri=ai+ubi+u2ci，i=0，…，n-1.

對R上任意元素r=a+ub+u2c，定義r的Gray重量

WG(r)=WH(Φ(ri))，

其中WH(Φ(ri))指的是Φ(ri)的Hamming重量.

對于R上碼字c1和c2，兩者的Gray距離

dG(c1，c2)=WG(c1-c2).

R上碼C的Gray重量定義為其所有非零碼字中的最小Gray重量，對于R上的線性碼C，它的Gray距離dG(C)等于其最小Gray重量.

定理2設(shè)C=〈g0(x)，ug1(x)，u2g2(x)〉是R上奇長度為n的循環(huán)碼，其中

g0(x)，g1(x)，g2(x)∈F2[x]，g2(x)|g1(x)|g0(x)|xn-1，

設(shè)d1，d2分別是Tor1(C)和Tor2(C)的Hamming距離，則

dG(C)=min{d1，3d2}.

證注意到二元域F2是R的子環(huán)，則gi(x)(i=0，1，2)可以看作R[x]/〈xn-1〉中元素，而

Tor0(C)?C，uTor1(C)?C，u2Tor2(C)?C，

則Tor0(C)，uTor1(C)，u2Tor2(C)都是C的子碼，由Gray重量的定義，則Tor0(C)，uTor1(C)，u2Tor2(C)作為C的子碼，其Gray距離分別為d0，d1，3d2.

所以C的Gray距離

dG(C)=min{d0，d1，3d2}，

而Tor0(C)?Tor1(C)，有d0≥d1，從而得出結(jié)論

dG(C)=min{d1，3d2}.

例1已知在F2[x]中，

x7-1=(x-1)(x3+x+1)(x3+x2+1).

設(shè)C=〈g0(x)，ug1(x)，u2g2(x)〉是F2+uF2+u2F2上長7的循環(huán)碼，其中

g0(x)=x3+x+1，g1(x)=x3+x+1，g2(x)=1.

因?yàn)門or0(C)=〈g0(x)〉是二元[7，4，3]-線性碼，Tor1(C)=〈g1(x)〉是二元[7，4，3]-線性碼，而Tor2(C)=〈g2(x)〉是二元[7，7，1]-線性碼，根據(jù)定理2，碼C是F2+uF2+u2F2上(7，215，3)-線性碼，它的Gray像是二元[21，15，3]-線性碼.

5結(jié)束語

本文利用撓碼確定了環(huán)F2+uF2+u2F2(u3=0)上奇長度的循環(huán)碼的Gray距離，這為研究環(huán)F2+uF2+u2F2上編碼與譯碼提供了重要的理論依據(jù).進(jìn)一步的研究是確立更一般的有限鏈環(huán)Fq+uFq+…+uk-1Fq(uk=0)上循環(huán)碼的齊次距離.另外，如何利用環(huán)F2+uF2+u2F2上循環(huán)碼構(gòu)造參數(shù)較好的二元線性碼也值得進(jìn)一步探討.

[參考文獻(xiàn)]

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Gray Distance of Cyclic Codes Over F2+uF2+u2F2

ZHANGHao

(School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China)

Key words: cyclic code; torsion code; Gray distance