超幾何分布的數字特征和概率計算的探討

李玉萍1，劉心馨2

(1.鄭州師范學院數學與統(tǒng)計學院，鄭州450044;2.華中師范大學計算機學院，武漢430079)

[摘要]用定義法、性質法、概率母函數法三種方法探索了超幾何分布的數學期望和方差的求法，同時又給出了超幾何分布、二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的近似關系，從而解決了超幾何分布的概率計算問題.

[關鍵詞]期望； 方差； 概率母函數； 二項分布； 泊松分布

[收稿日期]2015-01-09;[修改日期]2015-05-11

[基金項目]河南省科技廳軟科學計劃項目 (132400410697)

[中圖分類號]O212[文獻標識碼]C

超幾何分布是產品計數抽樣檢驗、可靠性問題中常常遇到的一類重要的數理統(tǒng)計模型.然而國內概率論與數理統(tǒng)計教材中，有的教材給出相關例題，沒有提到超幾何分布的名稱，有的教材只是簡單地給出它的定義以及與二項分布的區(qū)別.很少有教材涉及到這種分布的數字特征問題，因此本文對超幾何分布的數學期望和方差來做進一步的探討和研究，進一步地為了解決超幾何分布的概率計算問題，探索了超幾何分布、二項分布、泊松分布和正態(tài)分布之間的近似關系.下面給出超幾何分布的定義

定義設隨機變量X的概率分布為

其中d=max(0，n+M-N)，r=min(n，M)，則稱隨機變量X服從參數為n，N，M的超幾何分布，

記為

X~h(n，N，M).

1超幾何分布的數字特征

1.定義法求期望與方差

(i)

(ii)由于

所以

2.性質法求期望和方差

對于超幾何分布，構造一個抽產品模型：設N件產品中有M件次品，從中任取n件進行檢查，求查得的次品數X的數學期望和方差.

(i) 設

(1)

則

Xi01PN-MNMN

則

故

注① 隨機變量和的期望等于期望的和，這里并不要求和中的隨機變量相互獨立；

② X的分布為

所以X的期望為

由上面的計算得

③ 若X表示n次有放回地抽取所得次品數，則

(ii)

(2)

(3)

從而對1≤k≤j≤n有

(4)

因此，Xk與Xj的協方差為

(5)

由(3)，(5)可以得到服從超幾何分布的隨機變量X的方差為

(6)

2概率母函數法求期望和方差

先引入母函數的定義和性質

定義設X是概率空間(Ω，F，P)上定義的N上取值的隨機變量，N={0，1，2，…}，則稱E(tX)為隨機變量X的概率母函數，記為

性質 φ′X(1)=E(X)，φ″X(1)=E[X(X-1)]，Var(X)=φ″X(1)+φ′X(1)-[φ′X(1)]2.

若把超幾何分布的概率母函數記為φ(M，N-M，n，t)，則

在這里，記(M)[i]=M(M-1)…(M-i+1)，φ(M，N-M，n，t)對t求導數得

運用概率母函數的性質得

(7)

(ii)DX =E(X2)-[E(X)]2=φ″(N，M，n，1)+φ′(N，M，n，1)-[φ′(N，M，n，1)]2

(8)

3超幾何分布的概率計算問題

對于超幾何分布，當抽取的個數n遠遠小于產品總數N時，每次抽取后，其次品的概率變化很小，即不放回與放回抽樣差別不大.于是，n固定，N無限增大，有下面的結論：

定理1

(9)

(10)

當n充分大，p足夠小，np的大小適中，二項分布的計算的有關問題可用泊松分布近似計算.

定理3設在獨立實驗序列中，事件A在各次試驗中發(fā)生的概率為p (0

(11)

其中x為任意實數，p+q=1.

當n充分大時，服從二項分布的隨機變量ηn近似地服從正態(tài)分布N(np，npq).

綜上，在超幾何分布的概率計算問題中，由式(9)知只要N≥10n，就可用二項分布近似計算.而二項分布的概率計算問題中，當n充分大時的計算也相當復雜.由式(10)知，當N≥10，p≤0.1，就可用泊松分布近似計算；當n→∞時，就可用正態(tài)分布來近似計算.至此有了三種分布的近似關系，超幾何分布的概率計算問題就得到了很好的解決.

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Explore the Digital Characteristic and Hypergeometric

Distribution Probability Calculation

LIYu-ping1，LIUXin-xin2

(1.School of Mathematics and Statistics，Zhengzhou Normal University， Zhengzhou 450044，China;

2. College of Computer Sciece and Technology， Central China Normal University ，Wuhan 430079， China)

Abstract:Expectation and variance of the hypergeometric distribution is explored by using the definition， the nature and generating function method， and the approximate relationship between the hypergeometric distribution， geometric distribution， Poisson and normal distribution is obtained， which solve the hypergeometric distribution probability calculation.

Key words: expectation; variance; Poisson distribution; binomial distribution; probability generating function