應(yīng)用實例在高等代數(shù)教學(xué)中的作用

曹慧,周蕊,藺小林

(陜西科技大學(xué)理學(xué)院,西安710021)

[摘要]針對學(xué)生難以理解高等代數(shù)中的基本概念, 在高等代數(shù)的教學(xué)過程中，結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容加入一些應(yīng)用實例幫助學(xué)生更好的理解相關(guān)概念和體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用.以講述矩陣特征值和特征向量為例，除講解基本概念和計算方法外，結(jié)合自己的研究工作介紹了人口模型和傳染病模型，給學(xué)生展示了特征值和特征向量應(yīng)用的例子，使得學(xué)生對特征值和特征向量有了更深入的理解.

[關(guān)鍵詞]矩陣; 特征值; 人口模型; 傳染病傳染病

[收稿日期]2013-07-29

[基金項目]國家自然科學(xué)基金(11301314)； 陜西省科技廳自然科學(xué)

[中圖分類號]O175； 37N25[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

1引言

高等代數(shù)課程是數(shù)學(xué)專業(yè)和信息與計算科學(xué)專業(yè)本科生必修的基礎(chǔ)課程之一，熟練的掌握高等代數(shù)課程是這些專業(yè)的本科生學(xué)好后續(xù)課程的一個先決條件.現(xiàn)有的高等代數(shù)教材[1]大部分都集中在講述概念、定理和方法，內(nèi)容都偏于抽象和形式化.如何將這些抽象的知識更好地傳授給學(xué)生，提高教學(xué)質(zhì)量是很多高校數(shù)學(xué)專業(yè)課教師的目標(biāo)[2,3].在高等代數(shù)課程教學(xué)過程中，通過一些應(yīng)用例子入手，盡量通過具體的應(yīng)用實例來導(dǎo)出或幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念，這對提高教學(xué)質(zhì)量有著重要的作用.在本文中我們著重以矩陣、特征值和特征向量為例來說明應(yīng)用實例在高等代數(shù)教學(xué)中的作用.

在高等代數(shù)中，m×n矩陣A就是m×n個數(shù)組成的數(shù)組，n×n矩陣A的特征值就是特征方程f(λ)=|λE-A|=0 (E是同級的單位矩陣)的根λ1,λ2,…,λn，而特征值λi的特征向量就是齊次線性方程組(λiE-A)X=0的基礎(chǔ)解系.特征值就是計算行列式的值，求所得到的多項式方程的根；特征向量是解相應(yīng)的齊次線性方程組.對這些抽象的概念和形式化的計算過程，學(xué)生能夠記住和進(jìn)行規(guī)范化的計算.但求特征值和特征向量的過程比較繁瑣，學(xué)生也不知道他們到底有什么應(yīng)用，就容易產(chǎn)生厭倦感，影響教學(xué)效果.為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得他們更好地理解和掌握矩陣、特征值和特征向量的概念與知識，我們在教學(xué)過程中引入了一些實際應(yīng)用問題，讓學(xué)生看到矩陣、特征值、特征向量在解決實際問題中的具體應(yīng)用，有效地提高了教學(xué)效果.下面我們給出了矩陣、特征值、特征向量在研究人口變化和疾病傳播過程中的兩個應(yīng)用案例.

2矩陣和特征值在人口模型中的應(yīng)用

……

(1)

其中t0表示我們選取的一個初始年份.利用矩陣的形式將(1)表示出

x(t+1)=(F+T)x(t),

(2)

其中

矩陣F中的非零元fj表示各個年齡人口中具有生育能力的個體在單位時間內(nèi)的生育率，稱F為生育矩陣；T中的非零元pj表示年齡為j的個體存活到j(luò)+1的比例，稱T為轉(zhuǎn)移矩陣.通過矩陣得到的遞推關(guān)系(2)就是描述人口增長的數(shù)學(xué)模型.用我國1982年的人口普查數(shù)據(jù)確定初始值和參數(shù)，利用模型(2)進(jìn)行遞推就可以得到我國從1982年以后各年份的人口預(yù)測值，通過人口實際統(tǒng)計值和預(yù)測值的比較讓學(xué)生看到模型的作用和預(yù)測的誤差.

接下來，引導(dǎo)學(xué)生分析由模型(2)所描述的人口長久的變化趨勢，這就和模型(2)中矩陣F+T的特征值和特征向量相關(guān).通過計算和分析，讓學(xué)生看到矩陣F+T有惟一的正特征值λ1，并且λ1所對應(yīng)的特征向量的各個分量都為正.利用特征值和特征向量的關(guān)系，讓學(xué)生明白λ1就是人口的增長率，其對應(yīng)的正特征向量給出了時間趨于無窮時各年齡組人口的相對比例.利用矩陣特征值和特征向量的知識，很容易得到當(dāng)λ1<1時，人口趨于零；當(dāng)λ1>1時，人口趨于無窮.人口趨于穩(wěn)定的充分必要條件就是λ1=1.這樣一來，學(xué)生對矩陣、特征值、特征向量的實際背景和應(yīng)用就有了很好的體會.

為了更進(jìn)一步讓學(xué)生看到矩陣的特征值的應(yīng)用，對模型(2)進(jìn)行進(jìn)一步的分析.直接計算可知|E-T|=1≠0，即(E-T)-1存在，并且

定義p0=1，進(jìn)一步計算可得

所以矩陣(E-T)-1F特征值分別是0和b，并且可以驗證(E-T)-1Fξ=bξ.也就是，ξ是矩陣(E-T)-1F對應(yīng)于特征值b的特征向量.

3矩陣和特征值在傳染病模型中的應(yīng)用

矩陣和特征值也可以用來描述和分析結(jié)核病傳播問題.根據(jù)世界衛(wèi)生組織的估計，我國每年大約有130萬結(jié)核病新發(fā)病例，發(fā)病人數(shù)居世界第二，僅次于印度.結(jié)核是我國重點關(guān)注的傳染病之一，是我國面臨的一個嚴(yán)重的公共衛(wèi)生問題.用模型來描述和預(yù)測未來幾年我國結(jié)核的傳播情況有著重要的作用.

S(t+1)=S(t)+Λ-βI(t)-dS(t)+γI(t),

L(t+1)=L(t)+βI(t)-(d+α)L(t),

I(t+1)=I(t)+αL(t)-(d+μ+γ)I(t).

(3)

這里，Λ是單位時間內(nèi)進(jìn)入易感者類的人數(shù)；d是各類人口的自然死亡率；μ是染病者的因病死亡率；β表示肺結(jié)核的傳染率；α表示肺結(jié)核的發(fā)病率；γ表示單位時間內(nèi)染病者的治愈率.根據(jù)問題的實際意義可知，所有的參數(shù)非負(fù)，且滿足d+α<1，d+μ+γ<1. 引入下面的向量和矩陣

將模型(3)寫為

x(t+1)=Ax(t)+B.

(4)

根據(jù)我國第四次全國結(jié)核病流調(diào)數(shù)據(jù)可以確定出2000年我國結(jié)核病易感者人數(shù)S(0)，潛伏感染者人數(shù)L(0)，染病者人數(shù)I(0)，以及模型中的參數(shù)，利用模型(3)遞推計算就可以得到2000年以后各年份我國結(jié)核病的易感者人數(shù)S(t)，潛伏者人數(shù)L(t)和染病者人數(shù)I(t).

還可以借助矩陣的知識對結(jié)核病的發(fā)展趨勢進(jìn)行定性的分析.由模型(4)看出，潛伏者和染病者所滿足的方程與易感者無關(guān)，所以可以引入

從模型(4)得到潛伏者和染病者所滿足的遞推模型為

z(t+1)=Mz(t),或者z(t)=Mtz(0).

(5)

由模型(5)看出，結(jié)核病的傳播趨勢依賴于矩陣M.矩陣M的特征值對疾病的流行趨勢有重要影響.矩陣M的特征方程為|λE-M|=0，其中

為了使得對矩陣M兩個特征根的分析簡單一些，令λ=σ+1，則σ滿足f(σ)=0，其中

f(σ)=σ2+(d+α+d+μ+γ)σ+(d+α)(d+μ+γ)(1-R0),

對于σ滿足的二次方程f(σ)=0，有

Δ=(d+α+d+μ+γ)2-4(d+α)(d+μ+γ)(1-R0)

=((d+α)-(d+μ+γ))2+4(d+α)(d+μ+γ)R0>0.

所以方程f(σ)=0一定有兩個實根，分別記為σ1和σ2.即矩陣M一定有兩個實特征根，λ1=σ1+1和λ2=σ2+1，σ1和σ2分別為

由σ1和σ2的表達(dá)式及f(σ)的形式知道，當(dāng)R0<1時，σ1<σ2<0.又由于

σ1是R0的減函數(shù).且當(dāng)R0=1時，

σ1=-(d+α+d+μ+γ)>-2.

所以當(dāng)R0<1時，

-1<λ1=1+σ1<1，-1<λ2=1+σ2<1.

這表明，不管疾病發(fā)生時的初始狀態(tài)如何，當(dāng)R0<1時，由于矩陣M的特征值都是小于1，隨著時間t的變化，疾病一定呈現(xiàn)遞減的趨勢，也就是最終可以被消滅.另一方面，如果R0>1，則有σ2>0，并且λ2=1+σ2>1.由z(t)的表達(dá)式得到，在一些情況下，病人會逐漸增加，引起結(jié)核的大爆發(fā).因此，為了有效的控制結(jié)核的流行，就需要

這可以通過降低結(jié)核的發(fā)病率α或者結(jié)核的傳染率β來實現(xiàn).

事實上，R0也是某個矩陣的特征值.將矩陣M寫為M=F+V，其中

進(jìn)一步計算可得

顯然，矩陣F(E-V)-1的正特征值就是

矩陣F和V及R0都有著明確的傳染病學(xué)解釋.R0稱為“基本再生數(shù)”，R0給出了所有的個體都是易感者時，一個染病者所能感染的人數(shù).R0的大小反映了傳染病流行程度的大小.

R0<1與矩陣M模最大的特征值小于1事實上是等價的.這個結(jié)論利用矩陣論的相關(guān)知識是可以從理論上給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明的，一年級的學(xué)生可以借助數(shù)學(xué)軟件Matlab或者M(jìn)aple數(shù)值計算來體會這一結(jié)論的正確性.利用我國結(jié)核病數(shù)據(jù)確定模型中的參數(shù)值

α=0.005，β=0.223，d=0.006，μ=0.005，γ=0.216.

相應(yīng)地，矩陣F(E-V)-1的正特征值R0=0.491189<1.另一方面，由這些參數(shù)值得到

直接計算M的特征值分別得到λ1=0.766947<1和λ2=0.994053<1.顯然，R0<1, |λ1|<1和|λ2|<1同時成立.從這里也可以看到，矩陣F(E-V)-1的正特征值R0有具體的表達(dá)式，確定參數(shù)后可以直接計算得到.而矩陣M的特征值需要求解一個多項式方程的根，模型的維數(shù)高時還有一定的困難.

4結(jié)論與認(rèn)識

高等代數(shù)教材中的絕大部分內(nèi)容都是通過一些公理化語言表述的比較抽象的概念、定理、以及一些形式化的計算過程，這對于剛剛邁入大學(xué)校園的本科生而言想要徹底理解和掌握是比較困難的.教師在授課時最好為這些抽象的數(shù)學(xué)概念和定理給出一些具體的應(yīng)用例子，使得學(xué)生體會這些概念和定理的應(yīng)用背景，讓學(xué)生看到這些比較抽象的數(shù)學(xué)概念、定理和方法的具體應(yīng)用，幫助學(xué)生更好的理解和掌握專業(yè)知識，以便為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和未來的發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ).

本文中我們以矩陣、特征值和特征向量為例，具體給出了它們在研究人口和傳染病問題方面的應(yīng)用.同時，介紹了在教學(xué)過程中如何將高等代數(shù)的相關(guān)理論與這些實際問題的分析結(jié)合起來，如何利用數(shù)學(xué)軟件和計算機(jī)等工具對數(shù)學(xué)的理論知識進(jìn)行實驗和體會，讓學(xué)生更深入的理解應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的巨大作用，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的積極性，以及訓(xùn)練和培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件的能力.

[參考文獻(xiàn)]

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Application Examples in Teaching Advanced Algebra

CAOHui,ZHOURui，LINXiao-lin

(School of Science，Shaanxi University of Science & Technology，Xi’an 710021, China)

Abstract:Most concepts and theorems in advanced algebra are quite abstract and less applicable, which are difficult for freshmen to understand. Application examples in teaching advanced algebra can help students to understand the abstract concept and theorems and their applications. In order to make our teaching more interesting, understandable, and applicable, we have chosen population model and epidemic model as our application examples when we teach matrix, eigenvalues, and eigenvectors. Those models, closely related with our research projects, have given students typical application examples of matrix, eigenvalue and eigenvector. Those examples are very good application which help students to experience the role of mathematics in solving real world problems, and to give students more motivation to learn matrix, eigenvalues, and eigenvectors better.

Key words: matrix; eigenvalues; population model; epidemic model