代數(shù)中“生成”概念的教學思考

趙正俊

(安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院，安徽安慶246011)

[摘要]由從事代數(shù)教學的經(jīng)驗出發(fā)，探討了代數(shù)中一組向量生成線性子空間、一組元素生成子群、子環(huán)，以及環(huán)(或者域)添加元素所生成的擴環(huán)(或者擴域)這些概念的教學，強調(diào)“生成”概念由“最小”的角度的解釋的重要性.另外，從“最小”觀點解釋整環(huán)擴張所生成的分式域出發(fā)，揭示了分式化、代數(shù)擴域、代數(shù)閉包及整閉包等概念的“生成”實質(zhì).

[關(guān)鍵詞]生成； 最??； 代數(shù)教學； 線性子空間

[收稿日期]2015-01-31

[基金項目]國家自然科學基金(11326052)； 安慶師范學院科研啟動基金

[中圖分類號]G47[文獻標識碼]C

1引言

大學數(shù)學系課程中代數(shù)的內(nèi)容存在著一些對初學者來說較難理解的知識點，其中比較典型的如“生成”這一概念.關(guān)于它最為常見的例子有：在一個線性空間中，選取一組向量，由這組向量生成的線性子空間；在一個群(或者環(huán))中，一組元素生成的子群(或者子環(huán))；環(huán)(或者域)添加元素所生成的擴環(huán)(或者擴域)，整環(huán)擴張所生成的分式域等等.由此可見“生成”無疑是研究代數(shù)系統(tǒng)的一個重要的方法.實質(zhì)上，這種方法不僅限于代數(shù).比如在拓撲學中給定某集合的一族子集S生成的拓撲，實際上即為包含S的“最小”拓撲.

初學者最大的問題是首次看到這些概念不知道這些“生成”的代數(shù)系統(tǒng)中大致該有哪些元素，知道該代數(shù)系統(tǒng)的具體內(nèi)容后又不知道為什么有這些元素.

本文作者在實際教學中曾經(jīng)采用的代數(shù)教材，例如[2]，[3]和[5]，參考過的教材如[1]，[4]和[6]，將“生成”這個概念講的都很透徹，但是均沒有突出對那些與“生成”相關(guān)的實例給出從“最小”角度的統(tǒng)一詮釋，因此許多學生沒有在整體的角度建立對“生成”這一常見概念的統(tǒng)一認識.本文展示作者在教學中的強調(diào)“最小”角度一點嘗試，把這些“生成”的典型實例的教學放在一起加以分析.

2“生成”的典型實例的“最小”解釋

2.1　子空間、子群與理想

在一個代數(shù)系統(tǒng)內(nèi)部選取一組元素生成一個子代數(shù)系統(tǒng)是研究代數(shù)系統(tǒng)的常見方法.

也是“生成”這一概念的最基本的形式.教學中如能適當強調(diào)其“極小”的一面，則可以使學生更容易理解“生成”的內(nèi)涵.

例如，在研究齊次線性方程組Ax=0的解集S的結(jié)構(gòu)時，學生已經(jīng)初步接觸到“生成”的概念：S其實是由基礎(chǔ)解系Σ生成的線性子空間.如果深入研究就會發(fā)現(xiàn)Σ“生成”S的含義是：任意S中向量是Σ的線性組合；Σ的線性組合一定在S中.這樣可以看到在包含意義下S是包含Σ的“最小”線性子空間.

這是一個典型例子.它提供了在給定代數(shù)系統(tǒng)的一個子集的情況下，“生成”指定子代數(shù)系統(tǒng)的基本模式.揭示了“生成”的實質(zhì)為考慮必需的運算，給出包含這一集合的“最小”代數(shù)系統(tǒng)的過程.具體地，在上述例子中用一個向量的集合生成線性子空間等價于，考慮每個向量的倍數(shù)然后再相加后所得全體向量的過程.而保持加法與數(shù)乘封閉恰好是線性子空間的定義.

幾乎所有“生成”代數(shù)系統(tǒng)的過程都與之類似，但是具體來說彼此之間又有細微的差別.對學生來說，理解的最常見的困難來自元素以及運算的多寡.

比如，群中一個元素生成的循環(huán)群的結(jié)構(gòu)是較容易理解的.因為群中只考慮一種運算，而包含一個元素時必然包含該元素的一切整數(shù)次方冪(群中運算除了特別強調(diào)始終認為是乘法)，而這些方冪恰好能夠形成一個群.但是如果遇到的是多個元素——可能是任意多個元素——生成的子群，學生通常很難理解其中元素的形式.如果從“最小”的角度——也可以說，至少含有哪些內(nèi)容——來講述，包含元素的形式就較易理解：包含一個元素的子群至少包含該元素的一切整數(shù)次方冪，包含兩個元素的子群至少包含這兩個元素的乘積，因此包含一組元素的子群至少包含這組元素中任意有限多元素的乘積，這些有限乘積的全體恰是一個子群，再由這組元素生成的子群是包含這組元素的“最小”子群，可知這些有限乘積即為所求.

2.2　擴環(huán)、擴域

添加一些元素到某個代數(shù)系統(tǒng)生成新的代數(shù)系統(tǒng)，使得原代數(shù)系統(tǒng)成為新系統(tǒng)的子系統(tǒng)是構(gòu)造新代數(shù)系統(tǒng)的一種基本方法.比較典型的例子如：給定一個環(huán)R，添加一個元素s生成擴環(huán)R[s].如果教學中適當弱化一些公理化的細節(jié)，即認為s的正整數(shù)次方冪以及s與R中元素的乘積與R中原有乘法一致，由“最小”的角度考慮R[s]，則可以讓學生發(fā)現(xiàn)得到R[s]的過程與2.1節(jié)中的例子非常類似.即

如果F是域，同樣可以考慮添加一個元素α生成擴域F(α).對這一過程，作者向?qū)W生強調(diào)要以上述生成擴環(huán)的過程為基礎(chǔ).這是因為域首先是環(huán)，所以可以首先生成包含F(xiàn)，α的環(huán)即F[α]，再解釋包含F(xiàn)[α]的最小擴域即是F[α]分式域.

3由“最小”理解一些概念的“生成”本質(zhì)

3.1　分式域與分式化

眾所周知，整環(huán)分式域是受到由整數(shù)環(huán)構(gòu)造有理數(shù)域的啟發(fā)產(chǎn)生的概念.對于學生來說首次遇到分式域，大多數(shù)人由定義來看，不能判斷它是否與“生成”有關(guān)系.但是通過從“最小”的角度對他們解釋，他們就會可以發(fā)現(xiàn)整環(huán)D的分式域是包含D上所有方程ax=b(a≠0)的解的“最小域”.這就使他們了解到分式域也是“生成”的，但是生成的方式與前面的例子有所差別.可以認為分式域是D添加所有非零元素的逆生成的域.

如果ax=b中的a限制于D的一個乘法子集S，當然此時不需要考慮包含所有解的最小域，只需要考慮最小的環(huán)(因此上述分式域的敘述中的“最小域”可以改為“最小環(huán)”)，這時得到是D關(guān)于S的分式化S-1D.因此S-1D可以看作是D添加S中所有元素的逆生成的環(huán).

3.2　代數(shù)擴域、代數(shù)閉包與整閉包

整環(huán)擴充得到分式域的思想在代數(shù)中有很多推廣.例如代數(shù)擴域即可看成其中重要的一例.如果F是域，它的分式域是平凡的，就是它自己.如果我們在形如ax=b的方程之外再考慮某些高次方程的解，那么包含所有這些方程的解的“最小域”一般不再平凡，而它恰好是學生熟悉的F的代數(shù)擴域.而從“最小”觀點理解單擴域的過程我們在2.2節(jié)中已經(jīng)論及.這樣從另一角度可以使學生認識到代數(shù)擴域與單擴域相同的“生成”本質(zhì).

如果把方程式選擇的范圍擴大到F上一切代數(shù)方程，那么包含所有這些方程的解的“最小域”即為F的一個代數(shù)閉包.因此代數(shù)閉包實質(zhì)也是“生成”出來的域.

如果把域F減弱為一個整環(huán)R，在R的某個擴環(huán)S中考慮包含R上一切首1方程的解“最小環(huán)”，那么得到的是R在S中的整閉包，這樣的解釋也向?qū)W生揭示了整閉包的生成實質(zhì).

4結(jié)論

以“最小”的觀點解釋或者定義“生成”的方法相當普遍.通過教學實踐，作者深切感覺到適當強調(diào)“生成”概念的“最小”解釋，可以加深學生對眾多“生成”概念的統(tǒng)一理解.本文中，作者只是選取了代數(shù)教學中較為典型的例子，相信許多從事代數(shù)教學的同行們能提出許多更深刻的實例與見解，希望本文能夠起到拋磚引玉的作用.

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OnTeachingofDefinitionforGenerationinAlgebra

ZHAO Zheng-jun

(SchoolofMathematicsandComputationScience，AnqingNormalUniversity，AnqingAnhui246133，China)

Abstract:With the help of experience of teaching in algebra， we talk over in this paper the teaching of some definitions for subspace generated by some vectors in linear space， subgroups and subrings generated by some elements in group and ring respectively and extended ring (or extended field) generated by adding elements to the given ring (or field). We stress the importance of minimality in the teaching of the definition for generation. In addition， we reveal in this paper from generation the essence of the definitions for ring of fractions， algebraic extension of fields， algebraic closure and integral closure.

Keywords:generation;minimal;teachingofalgebra;linearsubspace